高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法（10年高考真題）：計(jì)數(shù)原理、排列與組合

計(jì)數(shù)原理

計(jì)數(shù)原理、排列與組合

考點(diǎn)計(jì)數(shù)原理、排列、組合

1.（2020新高考/,3,5分）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1

名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種C.60種D.30種

答案C解題思路:第一步:安排甲場(chǎng)館的志愿者，則甲場(chǎng)館的安排方法有瑪=6種,第二步:安排乙場(chǎng)館

的志愿者,則乙場(chǎng)館的安排方法有熊=10種,第三步:安排丙場(chǎng)館的志愿者,則丙場(chǎng)館的安排方法有髭=1種.

近以甚直念1S怎世獨(dú)丕圓的凝血迭故選《（易錯(cuò):注意分配到每個(gè)場(chǎng)館的志愿者是不分順序的,所以不

用全排列）.

2.（2022新高考〃,5,5分，應(yīng)用性）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，

丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

答案B丙和丁相鄰共有A；-A1種站法，甲站在兩端且丙和丁相鄰共有C尹A1.A』種站法,所以甲不站

在兩端且丙和丁相鄰共有A,?A：-瑪-Ag?Al=24種站法,故選B.

3.（2021全國(guó)乙理,6,5分）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行

培訓(xùn)I,每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

答案C先將5人分為4組，其中一組有2人，另外三組各1人,共有髭=10種分法，然后將4個(gè)項(xiàng)目全排

列,共有A*24種排法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到不同的分配方案共有量-A*=240種,故選C.

易錯(cuò)警示本題容易出現(xiàn)將5人分為4組,共有分法髭-C1.的=60種的錯(cuò)誤結(jié)果.

4.（2016四川理,4,5分）用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.24B.48C.60D.72

答案D奇數(shù)的個(gè)數(shù)為C/*72.

5.（2015四川理,6,5分）用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有

（）

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A.144個(gè)B.120個(gè)C.96個(gè)D.72個(gè)

答案B數(shù)字0,1,2,3,4,5中僅有0,2.4三個(gè)偶數(shù)，比40000大的偶數(shù)為以4開(kāi)頭與以5開(kāi)頭的數(shù).其中

以4開(kāi)頭的偶數(shù)又分以0結(jié)尾與以2結(jié)尾,有2A；=48個(gè);同理以5開(kāi)頭的有3A；=72個(gè)于是共有48+72=120

個(gè),故選B.

評(píng)析本題考查了分類與分步計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)的知識(shí).

考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

6.（2014大綱全國(guó)理,5,5分）有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小

組.則不同的選法共有（）

A.60種B.70種C.75種D.150種

答案C從6名男醫(yī)生中選出2名有《種選法，從5名女醫(yī)生中選出1名有乙種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理

得不同的選法共有C”服=75種.故選C.

7.（2014遼寧理,6,5分）6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）

A.144B.120C.72D.24

答案D先把三把椅子隔開(kāi)擺好，它們之間和兩端有4個(gè)位置，再把三人帶椅子插放在四個(gè)位置，共有

A：=24種放法,故選D.

8.（2014四川理,6,5分）六個(gè)人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共

有（）

A.192種B.216種C.240種D.288種

答案B若最左端排甲,其他位置共有點(diǎn)=120種排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4個(gè)位置

有A：=24種排法,所以共有120+4x24=216種排法.

9.（2014重慶理,9,5分）某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序,

則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

答案B先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰,保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共有/?A^144種,再剔除小品類

節(jié)目相鄰的情況,共有星?A”A>24種，于是符合題意的排法共有144-24=120種.

10.（2013山東理,10,5分）用0,1,…,9十個(gè)數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.243B.252C.261D.279

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答案B由分步乘法計(jì)數(shù)原理知:用0,1,…,9十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)（可有重復(fù)數(shù)字）的個(gè)數(shù)為9xl0x

10=900,組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9x9*8=648,則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

900-648=252,故選B.

評(píng)析本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理,考查學(xué)生的推理運(yùn)算能力.

11.（2012課標(biāo)理,2,5分）將2名教師,4名學(xué)生分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),每

個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成,不同的安排方案共有（）

A.12種B.10種C.9種D.8種

答案A2名教師各在1個(gè)小組,給其中1名教師選2名學(xué)生,有四種選法,另2名學(xué)生分配給另1名教師,

然后將2個(gè)小組安排到甲、乙兩地,有A界中方案，故不同的安排方案共有《A分12種,選A.

評(píng)析本題考查了排列組合的實(shí)際應(yīng)用,考查了先分組再分配的方法.

12.（2012遼寧理,5,5分）一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家.若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為（）

A.3x3!B.3x（3!）3

C.（3!）4D.9!

答案C第1步:3個(gè)家庭的全排列，方法數(shù)為3!;

第2步:家庭內(nèi)部3個(gè)人全排列,方法數(shù)為3!,共3個(gè)家庭，方法數(shù)為（3!）、，總數(shù)為（3!）x（3!）J（3!尸,故選

C.

評(píng)析本題主要考查計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力.

13.（2012安徽理,10,5分）6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換,任意兩位同學(xué)之間最多交換一次,

進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品.已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)

為（）

A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4

答案D由題意及《=15知只需少交換2次.記6位同學(xué)為A1、A2S限、小、限不妨討論①川少交換2

次如A沫與A-A,交換,則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)僅為做A,2人;②A,、兒各少交換1次，如4與A,未交

換,&與A,未交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)有4人為品A-&A4.故選D.

14.（2016課標(biāo)U,5,5分）如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓

參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）

A.24B.18C.12D.9

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答案B分兩步，第一步，從E-F,有6條可以選擇的最短路徑;第二步，從F-G,有3條可以選擇的最短路

徑.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6x3=18條可以選擇的最短路徑.故選B.

思路分析小明到老年公寓,需分兩步進(jìn)行,先從E到F,再?gòu)腇到G,分別求各步的最短路徑條數(shù),再利用分

步乘法計(jì)數(shù)原理即可得結(jié)果.

15.（2016課標(biāo)山，12,5分）定義"規(guī)范01數(shù)列"｛&｝如下：｛a?｝共有2m項(xiàng),其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意

kW2m,aba2,....隊(duì)中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，若m=4,則不同的”規(guī)范01數(shù)列"共有（）

A.18個(gè)B.16個(gè)C.14個(gè)D.12個(gè)

答案C當(dāng)m=4時(shí),數(shù)列⑸｝共有8項(xiàng),其中4項(xiàng)為0.4項(xiàng)為1,要滿足對(duì)任意kW8,a“a2,ak中0的個(gè)數(shù)

不少于1的個(gè)數(shù)，則必有aFO,as=l,出可為0,也可為1.⑴當(dāng)a2=0時(shí),分以下3種情況:①若a3=0,則

at,a$,a6,a,中任意一個(gè)為0均可,則有C：=4種情況;②若a3=l,a4=0,則a5,a6,a,中任意一^個(gè)為0均可,有*=3

種情況;③若a3=l,a曰則a$必為0,a6,a,中任一個(gè)為0均可,有己=2種情況；⑵當(dāng)a2=l時(shí),必有a3=0,分以

下2種情況:①若a,=0,則as,a6,a,中任一個(gè)為0均可,有C；=3種情況;②若a4=l,則a$必為0,a6,a7中任一個(gè)

為0均可，有4=2種情況.綜上所述,不同的“規(guī)范01數(shù)列"共有4+3+2+3+2=14個(gè)故選C.

思路分析根據(jù)題意可知ai=0,a8=l,進(jìn)而對(duì)a2,a3,a,取不同值進(jìn)行分類討論（分類要做到不重不漏），從而利

用分類加法計(jì)數(shù)原理求出不同的"規(guī)范01數(shù)列"的個(gè)數(shù).

16.（2018浙江,16,4分）從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字,一共可以組成

個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答）

答案1260

解析本小題考查排列、組合及其運(yùn)用，考查分類討論思想.

含有數(shù)字0的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有C式叢叢上540個(gè),不含有數(shù)字0的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有

CK：A*720個(gè),故一共可以組成540+720=1260個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

易錯(cuò)警示數(shù)字排成數(shù)時(shí)，容易出錯(cuò)的地方：

⑴數(shù)字是否可以重復(fù)；

⑵數(shù)字0不能排首位.

17.（2015廣東理,12,5分）某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共

寫了條畢業(yè)留言.（用數(shù)字作答）

答案1560

解析1.同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言,且全班共有40人,.?.全班共寫了40x39=1560條畢業(yè)

留言.

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18.（2013北京理,12,5分）將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張.如果分給同

一人的2張參觀券連號(hào),那么不同的分法種數(shù)是.

答案96

解析5張參觀券分成4份,1份2張,另外3份各1張，且2張參觀券連號(hào),則有4種分法,把這4份參觀券

分給4人,則不同的分法種數(shù)是4A*96.

19.（2013大綱全國(guó)理,14,5分）6個(gè)人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種.（用數(shù)

字作答）

答案480

解析先將除甲、乙兩人以外的4人排成一行,有A*24種排法,再將甲、乙插入有煦=20種,所以6人排成

一行，甲、乙不相鄰的排法共有24x20=480種.

20.（2013浙江理,14,4