相似原則與縮尺模型試驗

關(guān)于相似原則與縮尺模型試驗1概述

1.1引言人們在對自然規(guī)律的不倦探索過程中，首先采用數(shù)理分析的方法對自然現(xiàn)象進行計算和分析，這是人們探索自然的一種有力工具。隨后采用現(xiàn)場測試來解決一些比較直觀的現(xiàn)象，推動了生產(chǎn)的發(fā)展。但自然界的現(xiàn)象畢竟是錯綜復(fù)雜的。有許多實際問題至今靠高等數(shù)學(xué)尚不能全部解決或根本無法解決，于是迫使人們不得不走直接實驗的道路。第2頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

但最先人們采用直接實驗的方法發(fā)現(xiàn)它有著較大的局限性，在于它常常只能得出個別量之間的規(guī)律性關(guān)系，難以發(fā)現(xiàn)或抓住現(xiàn)象的本質(zhì)（全部），從而無法向?qū)嶒灄l件范圍以外的同類現(xiàn)象推廣。 但通過人們長期實踐、總結(jié)，一種用于指導(dǎo)自然規(guī)律研究的全新理論——“相似理論”便應(yīng)運而生了。它是把數(shù)學(xué)解析法和試驗法的優(yōu)點結(jié)合起來，用來研究和解決生產(chǎn)和工程中的問題。這是科學(xué)研究的主要方法之一，也是解決生產(chǎn)和工程問題的一種有效方法。從而擴展了人們探索自然奧秘的領(lǐng)域。

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當(dāng)今，社會生產(chǎn)在不斷發(fā)展，各個產(chǎn)業(yè)部門所提出問題日益復(fù)雜和繁多。用數(shù)學(xué)解析法（理論解）來解決這些課題愈來愈感到困難。有些課題至今尚未得到解析解，或者只作一些假設(shè)或簡化后再求解，因而帶來了一些誤差。為了解決生產(chǎn)中和工程中提出的問題，人們開展了模型試驗研究。第4頁,共120頁，2024年2月25日，星期天各種研究方法比較：理論分析法——解析解較多。數(shù)值計算——仿真分析——由于土木工程的一些不確定因素，輸入?yún)?shù)難以精確，還有模型簡化等問題，存在一定局限性。現(xiàn)場實測——只有在工程施工過程中進行，投入較大，周期長。模型實驗——可使工程中發(fā)生的現(xiàn)象在實驗室中再現(xiàn)出來，而且還可以對試驗中主要因素進行獨立控制。與現(xiàn)場實測相比，可進行方案的前期優(yōu)化，具有省時、省力的優(yōu)點。第5頁,共120頁，2024年2月25日，星期天1.2相似理論相似理論——是說明自然界和工程中各種相似現(xiàn)象相似原理的學(xué)說。它的理論基礎(chǔ)，是關(guān)于相似的三個定理。以相似理論為指導(dǎo)，形成研究自然界和工程中各種相似現(xiàn)象的新方法，即所謂的“相似方法”。

“相似方法”——是一種可以把個別現(xiàn)象的研究成果，推廣到所有相似的現(xiàn)象上去的科學(xué)方法。

“模擬”——一般情況是指在實驗室條件下，用縮小的（特殊情況下也有放大的）模型來進行現(xiàn)象的研究。第6頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

“模擬試驗”——用人工的方法再現(xiàn)自然界的某一現(xiàn)象。

模擬：（a）、原型；(b)、模型。這樣，又引伸出“模型試驗”的概念。

模型試驗是相似方法的重要內(nèi)容。在研究中起著很重要的作用，從相似理論的角度出發(fā)，“模型”——是與物理系統(tǒng)密切有關(guān)的裝置，通過對它的觀察與試驗，可以在需要的方面精確地預(yù)測系統(tǒng)的性能。這個被預(yù)測的物理系統(tǒng)，通常被叫做“原型”。第7頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

根據(jù)這個定義，為了利用一個模型，當(dāng)然有必要在模型與原型間滿足某種關(guān)系。這種關(guān)系稱為模型設(shè)計條件，或系統(tǒng)的相似性要求。由此可見，相似理論與模型試驗的關(guān)系是十分密切的，是整個問題的兩個組成部分。第8頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

1.3模型試驗的意義和現(xiàn)狀 模型試驗的意義，可從五個方面加以說明： ①模型試驗作為一種研究手段，可以嚴(yán)格控制試驗對象的主要參數(shù)而不受外界條件和自然條件的限制，做到結(jié)果準(zhǔn)確。 ②模型試驗有利于在復(fù)雜的試驗過程中突出主要矛盾，便于把握、發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系。并且有時可用來對原型所得結(jié)論進行校驗。 ③由于模型與原型相比，尺寸一般都是按比例縮小的。故制造加工方便，節(jié)省資金、人力和時間。第9頁,共120頁，2024年2月25日，星期天 ①

模型試驗?zāi)茴A(yù)測尚未建造出來的實物對象或根本不能直接研究的實物對象的性能。 ②

當(dāng)其它各種分析方法不可能采用時，模型試驗就成了現(xiàn)象相似性問題唯一的和更為重要的研究手段。 目前，相似理論和模型試驗方法已用于物理、化學(xué)、工程結(jié)構(gòu)、熱力學(xué)、氣象、航天等各個領(lǐng)域，并有著廣泛的應(yīng)用前景。第10頁,共120頁，2024年2月25日，星期天1.4物理模擬和數(shù)學(xué)模擬模擬試驗——簡單地說，是用人工的方法再現(xiàn)自然界的某一現(xiàn)象。物理模擬——是指基本現(xiàn)象相同情況下的模擬，也稱為同類模擬。這時模型與原型的所有物理量相同，物理本質(zhì)一致。區(qū)別只在于各物理量的大小比例不同。（兩個現(xiàn)象物理量及其性質(zhì)相同，只有大小不同）。第11頁,共120頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)模擬——是指存在于不同類型現(xiàn)象之間的模擬這時模型與原型的物理過程有本質(zhì)的區(qū) 別，但它們的對應(yīng)量都遵循著同樣的方 程式，具有數(shù)學(xué)上的相似性。如二階運 算子:▽2=的微分方程， 它可代表重力場、電勢場、溫度場等。 這時，人們只要對不同的物理量建立起 一一對應(yīng)關(guān)系，便可用一個現(xiàn)象去類比 另一不同現(xiàn)象的解。 在工程中，常用電場來模擬溫度場、材料的應(yīng)力場和有限自由度的振動系統(tǒng)。第12頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

下面以單自由度振動系統(tǒng)的電模擬法為例來說明這個問題。

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右邊代表一個L—R—C串聯(lián)電路，現(xiàn)在要由它來模擬左邊由k，m，u組成的單自由度振動系統(tǒng)。 作為它們一一對比的量是：電感L質(zhì)量m

電阻R阻尼u

電容C彈簧k

外加電壓E外力F，電荷q位移y，

(——單位時間的電荷變化量。)

第14頁,共120頁，2024年2月25日，星期天它們之間方程式和初始相似性在于：

ky=F(t)

t=0時，y=y0

，。

L+R

t=0時,q=q0，。 所以，只要適當(dāng)?shù)剡x擇各種物理量和初始條件，就能使y(t)和q(t)在對應(yīng)的時間內(nèi)完全成比例地變化 因此，通過測量各種電量就能換算出位移、速度等機械量。

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類似這種電路系統(tǒng)，當(dāng)其適應(yīng)性很強時，就是通常所說的模擬計算機。（仿真系統(tǒng)）。物理模擬和數(shù)學(xué)模擬各有其特點:物理模擬可把具體的現(xiàn)象再現(xiàn)出來，較之?dāng)?shù)學(xué)模擬能更全面地表現(xiàn)被模擬的現(xiàn)象。數(shù)學(xué)模擬由于以方程為基礎(chǔ)，可較方便地看出各種參量對結(jié)果的影響。

第16頁,共120頁，2024年2月25日，星期天物理模擬試驗：相似材料模型試驗；光彈性模擬試驗；其它模擬試驗：離心模型試驗；底摩擦模型試驗（模 擬重力場）。測試技術(shù)：電測光測 聲測測試系統(tǒng)：傳感器→量測儀表→記錄分析器。第17頁,共120頁，2024年2月25日，星期天2

量綱理論

2.1量綱

——物理量的廣義度量單位，相同的物理量具有相同的量綱。如尺寸（長度）——[L]

力[F]

時間[T]

它是表示物理量的種類，不是單位。如長度單位有m，cm，mm，但量綱皆為[L]。第18頁,共120頁，2024年2月25日，星期天2.2．基本量綱與導(dǎo)出量

力學(xué)系統(tǒng)：[F]、[L]、[T]為基本量綱。基本量綱具有：(a)、獨立性

(b)、完整基本量綱不是固定不變的，可根據(jù)具體研究問題決定。一般選[F]、[L]、[T]較為方便。

v[v]=[L]/[T]

導(dǎo)出量綱：根據(jù)定義、定律由基本量綱導(dǎo)出的量綱。

F=mam=[M]=第19頁,共120頁，2024年2月25日，星期天導(dǎo)出量綱：某一量：[Q]=[La·Fb·Tc][M]=[F][T2]/[L]

則a=-1b=1c=2無量綱量：如應(yīng)變ε[ε]=[L0FoTo]=[1]

泊松比u

無量綱量：與單位無關(guān)，模型大小可不相同。第20頁,共120頁，2024年2月25日，星期天2.3微商的量綱

s與ds的量綱皆為[L]。

t與dt的量綱皆為[T]。

v=，[V]=

a=，[a]=

第21頁,共120頁，2024年2月25日，星期天2.4量綱的性質(zhì)a、相同的物理量具有相同的量綱，但相同的量綱具有不同的物理量。

如應(yīng)力和彈性模量，σ、E，

b、同量綱的物理量的比值為無量綱的量，此量與單位無關(guān)。（ε=σ/E）c、基本量綱的組合不能成為無量綱的量，但基本量綱與導(dǎo)出量綱的組合可成為無量的量。如，,第22頁,共120頁，2024年2月25日，星期天2．5量綱的齊次原則一個物理方程各項的量綱相同，稱為量綱齊次原則。對于完全方程，除以方程中的任一項，將變?yōu)闊o量綱的量。如：s=v0t+[L] 但對于非完全方程如P=0.013H(重液公式)則不成立。第23頁,共120頁，2024年2月25日，星期天2.6量綱分析基本量綱為:[L][M][T]例1、現(xiàn)在研究一個動力學(xué)問題，即m、t、v、F間相 互關(guān)系，簡寫為：

F=f(m,t，v) F=k.ma.

tb.vc

[F]=k[MaTb]①

[F]=[M.L.T-2]②兩式量綱相同：a=1,b-c=-2c=1所以F=kmt-1v=k(——牛頓準(zhǔn)則。

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例2：均布荷載作用下簡支梁的跨中撓度。[解]y=f(q，EI，L)基本量綱：[F][L]靜力學(xué)問題，與時間無關(guān)。[y]=[L]y=kqa(EI)b.Lc[L]=k[FaL-a.(FbL-2b.L4b).Lc]第25頁,共120頁，2024年2月25日，星期天[L]：1=-a-2b+4b+c①[F]：0=a+b②∴∴y=kq-b[EI]bL1-3b

令：d=-b∴y=k做二次試驗后解得：d=1,k=

∴y=

從上面二例可以看出，采用量綱分析法求等式的關(guān)鍵在于：選擇的物理參數(shù)要正確。量綱分析法除了求導(dǎo)相似準(zhǔn)則外，還可用于：（1）、導(dǎo)出無量綱量；（2）、可簡化方程，把多個物理量減少等，其用途較多。第26頁,共120頁，2024年2月25日，星期天3、相似理論

3.1相似概論相似——兩種物理量對應(yīng)時刻的對應(yīng)點成比例，可稱相似。3.1.1幾何相似

——對應(yīng)尺寸成比例。如兩個三角形相似，對應(yīng)邊成比例，比例值CL稱為幾何相似常數(shù)。

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對應(yīng)角相等（角度為無量綱的量）。

CL1-2=相似常數(shù)相似常數(shù)——一對相似現(xiàn)象中所有對應(yīng)點在對應(yīng)時刻上同一物理量均保持其比值不變。

=idom（相似不變量）相似不變量——在對應(yīng)點和對應(yīng)時刻上保持相同的數(shù)值。所有相似相象的相似不變量是一個常數(shù)，不變的。它是一個無量綱的量。

第28頁,共120頁，2024年2月25日，星期天一個現(xiàn)象中的幾個量的比值，在所有與它相似的現(xiàn)象中保持不變。在所有相似現(xiàn)象中，某一量（無量綱綜合數(shù)群）在相對應(yīng)點和相對應(yīng)時刻上保持相同的數(shù)值。

梁的截面模量w=Cw=

CI=C第29頁,共120頁，2024年2月25日，星期天3.1.2物理相似荷載相似——模型與原型在對應(yīng)點上同一時刻的對應(yīng)荷載成比例。（荷載方向相同，大小成比例）。集中荷載相似：（集中荷載相似常數(shù)）。令幾何相似常數(shù)荷載集度相似常數(shù)cq=彎矩相似常數(shù)cm=第30頁,共120頁，2024年2月25日，星期天自重相似常數(shù)，壓強：c

密度：c如果模型與原型在對應(yīng)點的荷載相似（成比例），只要其中一種荷載相似常數(shù)已定，則其它種荷載常數(shù)也就確定了。彈性模量相似常數(shù)

面力：

第31頁,共120頁，2024年2月25日，星期天3.1.3

運動相似

時間相似:

時間相似常數(shù)

（距離相似）

則速度相似常數(shù):

研究動力學(xué)還有質(zhì)量相似：

第32頁,共120頁，2024年2月25日，星期天對于均質(zhì)物體可用密度來表示：動力學(xué)問題:F=ma.cF=cmca=cρ.c3L.cL.ct-2∴動力學(xué)相似指標(biāo)

第33頁,共120頁，2024年2月25日，星期天3．1．4邊界相似力學(xué)：邊界約束條件等。平面應(yīng)力模型平面應(yīng)模型模型試驗中約束條件很重要。3.1.5起始條件相似初始條件，如運動學(xué)中初始振動相位等

第34頁,共120頁，2024年2月25日，星期天3.2相似第一定理它是說明相似現(xiàn)象的性質(zhì)，模型與原型相似，那么應(yīng)具有：a、

在對應(yīng)點對應(yīng)時刻成比例。b、

變化規(guī)律相同，可用相同的關(guān)系方程式來描述。 其中大多數(shù)的物理現(xiàn)象，其關(guān)系方程又可用微分方程的形式獲得，如質(zhì)點運動方程和力學(xué)方程分別為：c、

各相似常數(shù)值不能任意選擇，它們要服從于某種自然規(guī)律的約束。

下面我們以速度公式為例具體說明：（1）

第35頁,共120頁，2024年2月25日，星期天代入有關(guān)相似常數(shù)得：（2）（1）式實際上可用于描述彼此相似的兩個現(xiàn)象。這時第一現(xiàn)象質(zhì)點的運動方程為： （3）第二現(xiàn)象質(zhì)點運動方程為：（4）將式（2）代入式（4），亦即在基本微分方程中對參數(shù)作相似變換，可得：（5）第36頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

作相似變換時，為了保持基本微分方程（3）、（5）的一致性,需使：故 以后，我們把C稱為相似指標(biāo)，其意義在于：對于相似現(xiàn)象，它的數(shù)值為1。 同時也說明，各相似常數(shù)不是任意選擇的，它們的相互關(guān)系要受“C值為1”這一條件的約束。 換言之，在cv、ct、

cL三者中，只有二者可任意選擇，余者由上式確定。第37頁,共120頁，2024年2月25日，星期天這種約束關(guān)系還可以采取另外的形式，將相似常數(shù)cL等代入得：

或不變量同理對于f=ma，得：或不變量。上兩式的綜合數(shù)群和，都是不變量，它們被稱之為相似準(zhǔn)則。第38頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

應(yīng)該注意：相似準(zhǔn)則的概念是“不變量”，而非“常量”。所說不變量，是因為相似準(zhǔn)則這一綜合數(shù)群只有在相似現(xiàn)象的對應(yīng)點和對應(yīng)時刻上才相等。 如果由微分方程說明的現(xiàn)象，取同一現(xiàn)象的不同點，則因其物理變化過程的不穩(wěn)定性，有： 所以，相似準(zhǔn)則只能說成是不變量，不能說成是常量。第39頁,共120頁，2024年2月25日，星期天相似第一定理： 兩相似現(xiàn)象的相似指標(biāo)為1，相似準(zhǔn)則相同。

相似指標(biāo)——相似現(xiàn)象的比例常數(shù)。相似準(zhǔn)則——相似現(xiàn)象應(yīng)遵守的規(guī)律。相似準(zhǔn)則與相似常數(shù)是不同的，它是總合地而不是個別地反映單個因素的影響，能更清楚地顯示過程的內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)用相似第一定理指導(dǎo)模型研究時，首先重要的是導(dǎo)出相似準(zhǔn)則，然后在模型試驗中測量所有與相似準(zhǔn)則有關(guān)的物理量。當(dāng)微分方程較簡單時，找出相似準(zhǔn)則并不困難。但當(dāng)方程無從知曉時，或是很復(fù)雜時，應(yīng)采用其它的方法。當(dāng)現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則數(shù)超過一個時，問題便進入了相似第二定理的范疇。

第40頁,共120頁，2024年2月25日，星期天3.3相似第三定理相似的充分必要條件。相似現(xiàn)象應(yīng)遵守的條件：①

兩相似現(xiàn)象一定能用一個方程組來描述。②

單值條件相似。幾何條件（幾何相似）物理條件：荷載介質(zhì)的E、μ、R（強度）。運動條件：t、v邊界條件始初條件第41頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

(3)由單值量組成的相似準(zhǔn)則要相等?！浞直匾獥l件 （而不是任意的相似準(zhǔn)則要相等）。 單值量——是指單值條件下的物理量。而單值條件是將一個個別現(xiàn)象從同類現(xiàn)象中區(qū)分開來。 相似第一定理是從現(xiàn)象已經(jīng)相似這一事實出發(fā)來考慮問題的，它說明是相似現(xiàn)象的性質(zhì)。第42頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)有二現(xiàn)象相似，它們都符合質(zhì)點運動的微分方程V=，如圖所示的兩組相似曲線（實線）。

得到：

第43頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

圖中“1”

、“2”為兩現(xiàn)象的對應(yīng)點。 現(xiàn)在，設(shè)想通過第二現(xiàn)象的點1和點2，找出同類的另一現(xiàn)象——第三現(xiàn)象，圖中虛線所示。 顯然，第二、第三現(xiàn)象的曲線并不重合，故第三現(xiàn)象與第一現(xiàn)象并不相似，說明通過點1、點2的現(xiàn)象并不都是相似現(xiàn)象。 為了使通過點1、點2現(xiàn)象取得相似，必須從單值條件上加以限制。如在這種情況下，加入初始條件：t=0，v=0，L=0。第44頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

這樣，既有初始條件的限制，又有單值量組成的相似準(zhǔn)則值一致，兩個現(xiàn)象便必相似。 由此看來，同樣是值相等，相似第一定理未必能保證現(xiàn)象的相似，而第三定理從單值條件上對它進行補充，保證了現(xiàn)象的相似。 因此，第三定理是構(gòu)成相似的充要條件。嚴(yán)格地說，這也是一切模型試驗應(yīng)遵循的理論基礎(chǔ)。第45頁,共120頁，2024年2月25日，星期天3.4相似第二定理（π定理） 相似第二定理可表述為： 設(shè)一個物理現(xiàn)象如果含有n個物理量φ(x1、x2、、x3、…xn)=0，其中有m個為基本物理量（其量綱是相互獨立的），那么這n個物理量可表示成是（n-m）個相似準(zhǔn)則π1、π2、…πn-m

之間的函數(shù)關(guān)系：

f(π1、π2、…πn-m)=0(1)準(zhǔn)則方程。第46頁,共120頁，2024年2月25日，星期天 π定理的作用： 對于彼此相似的現(xiàn)象，在對應(yīng)點和對應(yīng)時刻上相似準(zhǔn)則都保持同一值，所以它的π關(guān)系式也應(yīng)當(dāng)是相同的。一般用下標(biāo)“p”

和“

m”分別表示原型和模型，則π關(guān)系式分別為：

f1(π1、π2、…πn-m)p=0 f2(π1、π2、…πn-m)m=0(2)其中：π1m=π1p

π2m=π2p(3)

π(n-m)m=π(n-m)p(4)第47頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

由（4）式可見，如果把某現(xiàn)象的實驗結(jié)果整理成（1）式所示的無量綱的π關(guān)系式，則該關(guān)系式便可推廣到與它相似的所有其它現(xiàn)象上去。 而在推廣的過程中，由式（4）可知，并不需要列出各π項間真正的關(guān)系方程（不論該方程發(fā)現(xiàn)與否）。 基本物理量：具有基本量綱的物理量。 而準(zhǔn)則方程是無量綱量。我們不能由基本物理量組成n個準(zhǔn)則方程。 如設(shè)想n=m的特殊情況，這時所有參量的量綱是相互獨立的，故其自身便無法構(gòu)成任一個無量綱組合的相似準(zhǔn)則。（否則，如何將其量綱消去）。第48頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

當(dāng)由n個物理量、構(gòu)成n-m個π項，每個π項中必定要有一個物理量區(qū)別于其它π項的獨立變量。 定性準(zhǔn)則——由單值條件組成的相似準(zhǔn)則。 非定性準(zhǔn)則——由非單值條件組成的相似準(zhǔn)則。 有時，可由定性準(zhǔn)則導(dǎo)出非定性準(zhǔn)則。 由此可見，相似第二定理是十分重要的，它可用于多相似準(zhǔn)則之間的模擬。但是，在它的指導(dǎo)下，模型實驗結(jié)果能否正確推廣，關(guān)鍵又在于是否正確地選擇了與現(xiàn)象有關(guān)的物理量。 對于一些復(fù)雜的物理現(xiàn)象，由于缺乏微分方程的指導(dǎo)，問題較難。

第49頁,共120頁，2024年2月25日，星期天4、

相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法

作為相似第二定理的補充，必須找到相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法。 相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法常用有：定律分析法、方程分析法、量綱分析法三種。 從理論上說，三種方法可得到同樣的結(jié)果，只是用不同的方法來對物理現(xiàn)象（或過程）作數(shù)學(xué)上的描述。

第50頁,共120頁，2024年2月25日，星期天4.1用定律分析法導(dǎo)出相似準(zhǔn)則 這種方法要求人們對所研究的現(xiàn)象運用已掌握的全部物理定律，并能辨別其主次。一旦這個要求得到滿足，問題的解決并不困難，而且還可獲得數(shù)量足夠的、反映現(xiàn)象實質(zhì)的π項。 但這種方法的缺點是： ①只是就事論事，看不出現(xiàn)象的變化過程和內(nèi)在聯(lián)系，故作為一種方法，缺乏典型意義。 ②由于必須要找出全部物理定律，所以對于未能全部掌握其機理的、較為復(fù)雜的物理現(xiàn)象，運用這種方法是不可能的。 關(guān)于這方面內(nèi)容，大家可參考有關(guān)資料。第51頁,共120頁，2024年2月25日，星期天4.2用方程分析法導(dǎo)出相似準(zhǔn)則 這里所說的方程，主要是指微分方程，此外，也有積方程，積分—微分方程。這種方法的優(yōu)點是： ①結(jié)構(gòu)嚴(yán)密，能反映對現(xiàn)象來說最為本質(zhì)的物理定律，故結(jié)論可靠。 ②分析過程程序明確，不易出錯。 ③各種因素的影響地位一覽無遺，有利推斷、比較和檢驗。 缺點：在方程尚處于建立階段時，需要人們對現(xiàn)象的機理有深入的認(rèn)識。求解方程有時難以得到完整解。第52頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

用方程分析法求相似準(zhǔn)則時，主要有：相似轉(zhuǎn)換法和積分類比法。作為實例，現(xiàn)在考察圖右的“彈簧—質(zhì)量—阻尼”系統(tǒng)。 研究y的函數(shù)關(guān)系。第53頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

系統(tǒng)有7個變量： 變量：量綱 位移L

質(zhì)量FL-1T2

阻尼系數(shù)FL-1T

彈簧剛度FL-1

初始速度v0LT-1

初始距離y0L

時間tT

顯然，表中除位移y外，均為獨立變量因此，如考慮基本量綱數(shù)為3，則獨立相似準(zhǔn)則為：（7-1）-3=3個。

第54頁,共120頁，2024年2月25日，星期天4.2.1相似轉(zhuǎn)換法

其步驟為：①寫出現(xiàn)象的基本微分方程。

質(zhì)量的位移方程為：m(1)②寫出全部單值條件，第一現(xiàn)象用“′”表示，第二現(xiàn)象用“″”表示，因此可得各參量的相似常數(shù)為：第55頁,共120頁，2024年2月25日，星期天考慮物理條件相似時：

cm=,cu=,ck=考慮邊界條件相似時：cy=,考慮起始條件相似時(此時t=0) cv0=,cy0=

(2)第56頁,共120頁，2024年2月25日，星期天③將微分方程按不同現(xiàn)象寫出：

m′

(3) m″ (4)第57頁,共120頁，2024年2月25日，星期天④進行相似轉(zhuǎn)換。將“″”參量用“′”參量代替，式（4）按（2）的關(guān)系代入得：

（5） 作相似變換時，為了保證基本微分方程的一致性，各項系數(shù)必須彼此相等，即：

故得兩相似指標(biāo)方程如下：

(6）

第58頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

（7） 另一個相似指標(biāo)方程要由分析起始條件建立，即當(dāng)t=0時，，y=y0,

若這時考慮二現(xiàn)象，可得：，y′=y

,y″=y第59頁,共120頁，2024年2月25日，星期天也進行相似轉(zhuǎn)換，得：

cy=cy0

（8）第60頁,共120頁，2024年2月25日，星期天 ⑤將式（2）所表示的相似常數(shù)值代入（6）（7） （8）式，可得相似準(zhǔn)則式為：

不變量=π1

不變量=π2

不變量=π3

此處，即為獨立的相似準(zhǔn)則。第61頁,共120頁，2024年2月25日，星期天非獨立相似準(zhǔn)則為：y/y0，綜合以上，可構(gòu)成π關(guān)系式為，π方程式：

4．2．2積分類比法 積分類比法是一種比較簡單的辦法，一般都用它來代替相似轉(zhuǎn)換法。其步驟如下：

m(1)第62頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

①

寫出現(xiàn)象的基本方程（或方程組）及其全部單位條件。同前。②

用方程中的任一項除其它各項（如前例中）：

③將各項中涉及的導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)量比值，即所謂的積分類比來代替。就是說，將所有微分符號去掉，僅留下量本身的比值，就是以則：

第63頁,共120頁，2024年2月25日，星期天U,ky/m,對于統(tǒng)一代替物v/L。第64頁,共120頁，2024年2月25日，星期天 ④上面兩式的相似準(zhǔn)則由于只利用了物理和邊界兩種單值條件的參量，故利用起始條件，可另立二式如下，即t=0時：

y=y0，對前式進行積分類比得：不變量由后式則可得因變量л項為：。第65頁,共120頁，2024年2月25日，星期天⑤至此，各л項全部求得：其л關(guān)系式為： 上式中給出的л關(guān)系式并不合理，因為在自變л項中帶有待測因變參量y，不利于模型試驗的進行。為此可將初始條件代入л項，使之改換成而л關(guān)系式也因此變?yōu)椋旱?6頁,共120頁，2024年2月25日，星期天4．3用量綱分析法導(dǎo)出相似準(zhǔn)則 量綱分析法是在研究現(xiàn)象相似性問題的過程中，對各種物理量的量綱進行考察時產(chǎn)生的。它的理論基礎(chǔ)是量綱的齊次原理。 量綱分析法的優(yōu)點：對于一切機理尚未徹底弄清，規(guī)律也未充分掌握的復(fù)雜現(xiàn)象來說，尤其明顯。它能幫助人員迅速通過相似性實驗核定所選參量的正確性，并在此基礎(chǔ)上不斷加深人們對現(xiàn)象機理和規(guī)律的認(rèn)識。 在定律分析法、方程分析法和量綱分析法三種中，后二種方法用得較多，其中又以量綱分析法為多。它是解決近代工程技術(shù)問題的重要手段之一。第67頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

當(dāng)所研究的物理現(xiàn)象較為復(fù)雜時，要通過量綱方程來說明問題就很困難，往往會遺漏、錯選與現(xiàn)象有關(guān)的主要參量。這就要求人們通過實踐不斷摸索，抓住主要參量，得出近似的結(jié)果，即“近似模擬”。 通過相似理論證明，在復(fù)雜現(xiàn)象中，因量綱分析法的弱點而產(chǎn)生的近似模擬，常常是比較合理的。 相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出： 當(dāng)用量綱分析法決定相似準(zhǔn)則時，我們需知道現(xiàn)象所包含的物理量就可以了。但當(dāng)物理量很多時，л項的數(shù)目也會多起來，決定它們并不容易。下面從簡單例子說起。第68頁,共120頁，2024年2月25日，星期天例一：自由落體 參量為s,g,t,如果參量選擇正確，即相似準(zhǔn)則可取如下形式：

л=sagb.tc

將量綱代入：[л]=[L0t0]=[L]a[LT-2]b[T]c

兩邊量綱相等： L：a+b=0T:-2b+c=0

上式為二個方程，三個未知數(shù)，故無法解出a、b、c具體值。為此需設(shè)定其中一個值。若設(shè)a=-1，可得：b=1，c=2，便可求得：

л=第69頁,共120頁，2024年2月25日，星期天如設(shè)a=1，b=-1，c=-2，則可得：л′=也是相似準(zhǔn)則。例二、質(zhì)點的力學(xué)方程參數(shù)為f，m，v，t，則相似準(zhǔn)則可取如下形式：

л=fambvctd [л]=[F0L0T0]=[F]a[FL-1T2]b[LT-1]c[T]d F:a+b=0 L:-b+c=0 T:2b-c+d=0

得л=第70頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

上面二例，都符合相似第二定律關(guān)于相似準(zhǔn)則數(shù)的論述，即3-2=1，4-3=1。 上面為單個相似準(zhǔn)則，如為多個相似準(zhǔn)則，可采用量綱矩陣的方法，它為人們求取具體相似準(zhǔn)則提供了一種更為直觀的形式。方法如下： 對于我們前面用方程分析法導(dǎo)出相似準(zhǔn)則的例子（此為“彈簧—質(zhì)量—阻尼”系統(tǒng)）：該系統(tǒng)有7個變量分別為y、m、u、k、v0、y0、

t。如果我們不知道它們的關(guān)系式如何，可令其為：f(y，m，u，v0，y0，t)=0其準(zhǔn)則關(guān)系式為：л=第71頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

將量綱矩陣的上方加上各參量的指數(shù)就行了。a1a2……a7即為指數(shù)，則量綱矩陣如下所示。 它們的量綱矩陣是：（上式中：m：FL-1/T2，u：FL-1T，k：FL-1）

第72頁,共120頁，2024年2月25日，星期天按此矩陣，可得三個線性齊次代數(shù)方程如下：F：L：T： 三個方程無法解出7個未知數(shù)，故應(yīng)使未知數(shù)中的三個轉(zhuǎn)化為其余4個未知數(shù)的函數(shù)關(guān)系。 設(shè)a4、a5、a7為三個方程中的任意假定的已知量，則a1、a2、a3分別為：

(1)第73頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

因本例中相似準(zhǔn)則數(shù)為：7-3=4個，（獨立的為3個）。故a4、a5、a6、a7應(yīng)前后設(shè)定四套數(shù)值。最簡單的為辦法是設(shè)其中一個值為1，而其余值為0，因此：當(dāng)a4=1,a5=a6=a7=0時，可得：a1=0a2=1a3=-2；當(dāng)a5=1,a4=a6=a7=0時，可得：a1=-1a2=1a3=-1；當(dāng)a6=1,a4=a5=a7=0時,可知：a1=-1a2=0a3=0；當(dāng)a7=1,a4=a5=a6=0時,可得：a1=0a2=-1a3=1。第74頁,共120頁，2024年2月25日，星期天此解可簡明地列矩陣形式，取名為π矩陣：

從上面π矩陣可以看出，第一、二、三列所代表的四行恰好是式（1）各方程中等號右側(cè)a4、a5、a6、a7的系數(shù)。而四、五、六、七列則構(gòu)成單位矩陣。掌握了這個特點，可以很快地將π矩陣寫出。第75頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

在π矩陣中，每一行代表無量綱乘積的一組指數(shù)。據(jù)此，可建立起數(shù)目與行數(shù)相同的各獨立π項來。分別為：

π1=mu-2k=

π2=y-1mu-1v0=

π3=y-1y0=

π4=m-1ut=

因為位移π項作為因變π項，式（2）的不合理處在于參量y包含在獨立π項的π2中。為使模型試驗得以進行，需以π2除π3改造成π2′；第76頁,共120頁，2024年2月25日，星期天這樣便建立起π關(guān)系式為：

（3） 在前面關(guān)于方程分析法一節(jié)，我們得到這一系統(tǒng)的π關(guān)系式為：

（4） 比較式（3）和式（4）可知，前者各獨立π項分別以獨立變量k、v0、t相區(qū)別，后者各獨立π項分別以獨立變量u、t、v0相區(qū)別。但從性質(zhì)上說，兩個π關(guān)系式都是一致的。因為式（3）各π項的代數(shù)轉(zhuǎn)變，可得式（4）結(jié)果。

第77頁,共120頁，2024年2月25日，星期天補充：π關(guān)系式的特性：任何兩個（或多個）π項的代數(shù)轉(zhuǎn)變，如加、減、乖、除、提高或降低冪次，仍不改變原關(guān)系式的函數(shù)性質(zhì)。但條件是：①

冪次不得升、降至零。②

π項總數(shù)不得增加或減少（因π項總數(shù)是由物 理量總數(shù)和基本量綱之差決定，是個定值）。具體為：若相似準(zhǔn)則分別為π1、π2、……πr，則：

a、

πiai

b、

πc、

πa11±πd、

πi±ae、aπi第78頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

這是因為經(jīng)過轉(zhuǎn)換后的π項仍是無量綱綜合數(shù)據(jù)。這也說明相似準(zhǔn)則形式的可轉(zhuǎn)換性。為了利于模型設(shè)計，在求相似準(zhǔn)則時，可考慮以下幾點：①

第一個應(yīng)為因變量（第一個為所求量）。然后對 所求量影響大和容易控制的越在前。②

π矩陣越簡單越好。③

準(zhǔn)則的個數(shù)=物理量-基本物理量。④

每個準(zhǔn)則中至少有一個物理量其它準(zhǔn)則中沒有，才是獨立的，否則不獨立。第79頁,共120頁，2024年2月25日，星期天⑤

準(zhǔn)則最好有一定的物理意義。⑥

準(zhǔn)則盡量應(yīng)容易滿足，即準(zhǔn)則包括的物理量越少越好，最多為m+1。⑦

需要被測量的物理量最好在非定性準(zhǔn)則中出現(xiàn)。 并可通過代數(shù)轉(zhuǎn)換，去掉相似準(zhǔn)則中無法測量或難測量的量。 我們求準(zhǔn)則的目的在于指導(dǎo)模型，那么，有了準(zhǔn)則，可根據(jù)相似指標(biāo)為1來設(shè)計模型。 再根據(jù)相似準(zhǔn)則將模型結(jié)果還原到原型上去。

第80頁,共120頁，2024年2月25日，星期天5

模型設(shè)計

5.1模型設(shè)計

模型設(shè)計的理論基礎(chǔ)是相似理論，我們這里所說的相似是指物理模擬（同類模擬）。在模型試驗中，首要問題是如何設(shè)計模型，以及如何將模型試驗的結(jié)果推廣到原型實體對象中。一般情況下，模型設(shè)計程序為：（1）

根據(jù)試驗任務(wù)、目的，選擇模型類型。物理模擬、數(shù)學(xué)模擬。如按模型試驗研究范圍可分為：彈性模型試驗、強度模型試驗。第81頁,共120頁，2024年2月25日，星期天如按試驗?zāi)M的程度分類：斷面模型試驗（平面），半整體模型，整體模型試驗。如按試驗加載方法分類：靜力結(jié)構(gòu)模型試驗，動力結(jié)構(gòu)模型試驗，等等。（1）

對研究對象進行理論分析，用方程分析法或量綱分析法求相似準(zhǔn)則。（2）

確定幾何相似常數(shù)CL，定出模型的幾何尺寸。

第82頁,共120頁，2024年2月25日，星期天CL取選是一個關(guān)鍵一步，主要應(yīng)考慮：

a、

模型的尺寸大小要適中，可行，對于與結(jié)構(gòu)物相互作用問題，應(yīng)考慮影響范圍。

b、

測量手段，應(yīng)考慮傳感器的大小和精確度要求。當(dāng)傳感器精度不夠時應(yīng)加大模型尺寸。

c、

試驗待求量應(yīng)方便、可以實施。

第83頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

常用模型的縮尺比例結(jié)構(gòu)類型彈性模型強度模型殼體板構(gòu)橋梁砼壩第84頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

所以在結(jié)構(gòu)模型試驗中，其幾何尺寸的確定需要綜合考慮模型類型、材料、制作條件、加載能力、測點布置以及設(shè)備條件等等，才能確定出一個最優(yōu)的幾何尺寸。 小尺寸模型所需載荷小，但制作困難，加工精度高，對量測儀器要求也高。尺寸大的模型所需荷載大，但制作方便，對量測儀器一般無特殊要求。 通常，線性模型尺寸較小。而非線性、強度破壞模型，特別是鋼筋砼結(jié)構(gòu)模型尺寸較大。具體如上表。第85頁,共120頁，2024年2月25日，星期天（1）

根據(jù)相似準(zhǔn)則，計算各參數(shù)在模型試驗中的數(shù) 值——模型設(shè)計。（2）

繪制模型制造、測點布置和載荷分置圖。（3）

安排試驗順序。（4）

進行試驗和量測。（5）

數(shù)據(jù)整理。并把模型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到原型上去。或 確定試驗結(jié)果可以應(yīng)用的條件。第86頁,共120頁，2024年2月25日，星期天例1靜態(tài)應(yīng)力模型這是一個彈性模型，可求解靜態(tài)應(yīng)力問題。a、

求導(dǎo)準(zhǔn)則平衡方程：

幾何方程：

，第87頁,共120頁，2024年2月25日，星期天物理方程：

單值條件：幾何相似：

物理相似：

體力相似：

邊界條件：第88頁,共120頁，2024年2月25日，星期天非定性量（被測量）： 應(yīng)力：

應(yīng)變： 位移：第89頁,共120頁，2024年2月25日，星期天采用方程分析法求相似準(zhǔn)則：對于平衡方程：

相似指標(biāo)：,相似準(zhǔn)則π1=①由幾何方程：，л2=②第90頁,共120頁，2024年2月25日，星期天由物理方程：,л3=③

cu=1л4=u④由面力邊界：л5=⑤由于上面5個準(zhǔn)則是由5個不同方程求得的，故是相互獨立的。

第91頁,共120頁，2024年2月25日，星期天b、對于為廣義相似

對于c時，為嚴(yán)格相似，最好。

對于一些相似材料模型試驗，當(dāng)c=2～8時，在小變形情況下所引起的應(yīng)力誤差<5%，這在工程上是允許的。但在大變形情況下，不精確。第92頁,共120頁，2024年2月25日，星期天對于嚴(yán)格相似（c）時，有：

第93頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

如對于一個軟弱巖體高邊坡問題，原型為20m高，試驗室內(nèi)可采用相似材料模型試驗，取1m，則cL=20/1=20,可采用石膏作相似材料，通過試驗可知：CE=，由得：

即（石膏的混合料比巖石大10倍，很難，找不到這種材料。）為此：取≠1而是=5，

則，故可在石膏中加鐵屑即可。這就是說，不是非取1不可，在小變形范圍內(nèi)，可取第94頁,共120頁，2024年2月25日，星期天對于相似材料試驗：Cl=20，Cr=2，CE=20，Cu=1則有：Cε=CrCl/CE=2Cδ=CεCl=2*20=40

但對于大多數(shù)結(jié)構(gòu)試驗，采用嚴(yán)格相似，則=1，這時不考慮自重應(yīng)力場第95頁,共120頁，2024年2月25日，星期天5.3試驗方法5.3.1模型材料（一）

模型材料的選擇對模型材料，一般要求為：a、

對于研究應(yīng)力狀態(tài)，模型材料必須保證具有良好的線彈性特性。對于強度模型，則模型材料應(yīng)接近或等于原型結(jié)構(gòu)的材料強度，才有可能進行破壞試驗。b、滿足相似指標(biāo)要求，如E、u、ρ等均應(yīng)符合相似條件。c、

滿足必要的測量精度。為了提高測試精度，宜采用E較低和容重較大的材料，但也應(yīng)防止材料的非線性特性。第96頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

另外，用于結(jié)構(gòu)模型試驗的材料，從試驗技術(shù)的角度出發(fā)，需考慮如下具體問題：

a、彈性模量

E大，獲得足夠的變形，增加荷載，模型支座的剛度要強，不如降低E。

E過小，結(jié)構(gòu)剛度過低，測量儀器的剛性又可能妨礙模型結(jié)構(gòu)的變形，影響試驗結(jié)果。

b、泊松比無量綱量，應(yīng)相同才能滿足相似指標(biāo)。如不相同，產(chǎn)生試驗誤差。第97頁,共120頁，2024年2月25日，星期天c、徐變即變形是時間、溫度和應(yīng)力的函數(shù)。一切合成材料幾乎都有徐變。為提高試驗精度，應(yīng)選用徐變小的材料。d、導(dǎo)熱性目前，結(jié)構(gòu)模型試驗中測量多用電阻應(yīng)變片測量，所以模型材料導(dǎo)熱系數(shù)有重要的影響，應(yīng)選項導(dǎo)熱性好的材料。e、可加工性?！鄳?yīng)綜合考慮。第98頁,共120頁，2024年2月25日，星期天（二）常用結(jié)構(gòu)模型試驗材料常用材料如下：

a、金屬金屬的力學(xué)特性大多符合彈性理論的基本假定，如果原型結(jié)構(gòu)為金屬結(jié)構(gòu)且對測量值的準(zhǔn)確度有嚴(yán)格要求時，則它是最適宜的模型材料，最常見的是鋼和鋁。最近，鋁合金材料用得較多，因為它有較低的E和良好的導(dǎo)熱性。

第99頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

b、

塑料有雙氧樹脂、聚乙烯和有機玻璃等。和鋼材、砼、石膏相比較，其優(yōu)點是強度高而彈模低（約是金的0.1～0.02倍），便于加工。缺點是徐變大、E隨溫度、時間而變化。塑料被大量地用來制作板、殼、框架、橋梁以及形狀復(fù)雜的結(jié)構(gòu)模型，其中有機玻璃和環(huán)氧樹脂用得最多。（光彈模型材料）。第100頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

c、

石膏石膏用作結(jié)構(gòu)模型材料已有40多年的歷史，它 的性質(zhì)和砼較接近，常用來模擬砼或鋼筋砼。 其優(yōu)點是成型方便、性能穩(wěn)定、易于加工等。 且可以石膏作基本膠結(jié)材料，通過摻加不同外加料 的方法改善其力學(xué)和變形特性。如加入巖粉、砂、 水泥、浮石、鐵砂等。

d、

水泥砂漿第101頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

e、

微砼用作砼或鋼筋砼結(jié)構(gòu)的相似模型。（石子直徑 ≤5mm）。其力學(xué)性能與砼相接近。模型用鋼筋一般是采用細鋼絲。f、地基基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)模型相似材料 相似材料一般常以砂為基本材料，以石膏、石灰 、粘土作為粘結(jié)料，來組成模型土體相似材料。 通常cL=20～50時，采用石膏和砂為主的混合料 ，或加入適當(dāng)?shù)膿郊恿稀?/p>

第102頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

5.3.2

加荷方法（一）

集中力加荷通常采用掛重法、杠桿加載和千斤頂加載等。掛重法：數(shù)值穩(wěn)定、載荷值不自動下降，其缺點是能產(chǎn)生的載荷值較小，一般≯200KN，加、卸載不方便。千斤頂加載方便、數(shù)值大小可調(diào)，缺點是設(shè)備較貴。（二）面力加載單位面力強度為常數(shù)，如均布堆載、為線性變化，如水、土壓力。面力加載方法有：重堆堆載、掛載，液壓加載、氣壓加載、千斤頂加載等。液壓多用水和水銀，用液壓加載可利用液壓作用力沿高度呈三角形分布的特點來模擬水壓力。第103頁,共120頁，2024年2月25日，星期天（三）體力加載在結(jié)構(gòu)模型試驗中，體力是一項重要的荷載，它是指結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)及其地基巖土的自重。通常施加體力的方法有：①、用分散集中載荷代替自重②、用面力代替體力的方法③、選高容重、低強度模型材料。a、用分散集中力代替體力方法將模型劃分成許多部分，找出每一部分重心，然后施加等于該部分模型自重的集中載荷。b、

用面力代替體力的方法。對于常體力彈性模型，可采用以面力代替體力。第104頁,共120頁，2024年2月25日，星期天

c、

選擇高容重、低強度模型材料的方法由相似原理，當(dāng)時，即模型與原型材料容重相同，不需另加模型自重荷載。但c,c,即彈模小，∴強度低。d、預(yù)應(yīng)力加載對于預(yù)應(yīng)力鋼筋砼或其它預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生的載荷在模型在施加的方法一般有兩種。一是采用錨頭和張拉設(shè)備；另一種方法是施加外載，但應(yīng)在彈性范圍內(nèi)。第105頁,共120頁，2024年2月25日，星期天e、動力加載（1）激振法小尺寸模型的激振可采用聲波（揚聲器）或壓電晶體激振模型，強迫模型振動的激振。大尺寸模型可采用沖撞形式施加。（2）電磁振動法 電磁振動臺是結(jié)構(gòu)模型試驗中常用的加載方法。（3）電液伺服法這是目前最先進的動力加載方法。精度高。

第106頁,共120頁，2024年2月25日，星期天6

離心模擬試驗

6.1基本原理巖土工程問題中，自重產(chǎn)生的應(yīng)力場