大一微積分下冊經(jīng)典題目及解析

微積分練習(xí)冊［第八章］多元函數(shù)微分學(xué)

習(xí)題8-1多元函數(shù)的根本概念

1.填空題：

Y

11)假設(shè)于(x,y)=x2+y2-xytan—,那么/(Zx,ty)=

y

2,2

⑵假設(shè)/心)=丁’那么〃2,-3)=——,加,十——

⑶假設(shè)/?(2)=△+'(y>0),那么/(x)=

%y

⑷假設(shè)/'(X+y,2)=x2—y2,那么了(尤,y)=

X

[5)函數(shù)z="二y,的定義域是_______________

ln(l-^-y)

(6)函數(shù)z=的定義域是

(7)函數(shù)z=arcsin—的定義域是

x

出)函數(shù)z=L的間斷點是_______________

y2-2%

2.求以下極限：

-r2-Jxy+4

⑴lim----------

%邙孫

yf0,

「sin肛

(2)hm-----

x->0V

y-?0

l-cos(x2+y2)

⑶lim

x->0(x2+y2)x2y2

yf0

3.證明lim.=0

(%,y)TO,O)J.2+/

4.證明：極限limJ?、，=0不存在

42

(%,y)f(0,0)X+y

xsin—7^--,(x,y)w(0,0)

5.函數(shù)/Uy)={x2+y2在點[0,0)處是否連續(xù)？為什么

0,(x,y)=(0,0)

習(xí)題8-2偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用

1.填空題

YdzAz

⑴設(shè)z=lntan—,那么一二_________二=____________;

ydxdy

(2)設(shè)z=e孫(%+y),刃口么幺=_________=________________;

dxdy

,、、門y,dududu

(3)設(shè)〃=%上，那么一=_________,—=____________,一二__________;

zdxdydz

，八、幾yznrr/?Z?Z&Z

［4］僅z=oxctan-,那么——=__________,——=___________,-----=_____

xdx2dy2dxdy

［5)設(shè)M=(二)z,那么三%=_________;

ydxdy

16)設(shè)了(x,y)在點(a,。)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，那么lim,《土元■一/("二二")=_

xfO%

2.求以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

3.設(shè)z=y,求函數(shù)在［1,1)點的二階偏導(dǎo)數(shù)

、幾1,、—53z力d3z

4.設(shè)z=xln(xy),求一-一和----

dx2dydxdy2

(+)

-~-y…八g2sz2sz

5.z=e,試化簡必一+y-一

dxdy

0,0)

/(X,V)=<廠+y

6.試證函數(shù)c-z小c在點［0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù).

0,(x,y)=(0,0)

習(xí)題8-3全微分及其應(yīng)用

1.X公司和Y公司是機床行業(yè)的兩個競爭者，這兩家公司的主要產(chǎn)品的需求曲線分別為：

Px=1000-5Qx;PY=1600-4QY

公司X、Y現(xiàn)在的銷售量分別是100個單位和250個單位。

(1)X和Y當(dāng)前的價格彈性是多少？

(2)假定Y降價后，使。丫增加到300個單位，同時導(dǎo)致X的銷量Qx下降到75個單位，試問

X公司產(chǎn)品的交叉價格彈性是多少？

(利用弧交叉彈性公式:2-Q%]/P>2一%)

。X2+Py2+Pyi

2.假設(shè)市場由A、B兩個人組成，他們對商品X的需求函數(shù)分別為：

(1)商品X的市場需求函數(shù)；

(2)計算對商品X的市場需求價格彈性；假設(shè)Y是另外一種商品，Pr是其價格，求商品X對Y

的需求交叉彈性

3.求以下函數(shù)的全微分

s-t

1

⑵設(shè)〃x,y,z)=(—x)z,求以1,1,1)

y

(3〕z=ln(l+x2+y2),求當(dāng)x=1,y=2,Ax=0.1,Ay=0.2的全增量Az和全微分dz

4.計算J(l.02)3+(1.97)3的近似值

習(xí)題8-4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么

1.填空題

[1)設(shè)2=沈2]11?而腐=一#=3%—2'，那么——=__________,——

ydxdy

⑵設(shè)2=〃七抽(%-丁)而％=3，，那么一=

dt

e^(y-z)?du

(3)設(shè)〃=---------，而y=〃sinx,z=cos%,那么——=

a+1dx

[4)設(shè)z=arctang),而y=",那么一=

dx

(5)設(shè)〃=/(%2—y2,1y),那么—=.

[6)u=f(x,xy,xyz)那么——=

一.fdx

⑴

1d2z

2.設(shè)z=—/(盯)+W(%+y)J具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求彳丁

xoxoy

3.設(shè)z=/(xX,/),/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求rj37

ydx

2o2

4.設(shè)z=4(2x,二),/,具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求”.

xdxdy

d2

5.設(shè)z=/(sin%,cosy,e>y),/,具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求三z

dx

呼zc)2z

7.設(shè)/與g有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且z=/(%+〃，)+證明：

習(xí)題8-5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

1.填空題：

[1)設(shè)InJ*+J?=arctan),那么也=

xdx

[2)設(shè)x+2y+z-2不xyz=0,那么一=_________=___________

'sdxdy

,、、門%iz苗門,Szdz

[3[設(shè)一二In—,那么——________,——______________

zydxdy

Qzdz

⑷設(shè)z'=V，那么幺=__________，—二__________

dxdy

、江z492z

2.設(shè)e=xyz,求---

dxdy

3.設(shè)-3盯z=",求---

dxdy

Qz,Qz

4.設(shè)2sin(%+2y-3z)=x+2y-3z,求一+一

,.dxdy

…“z=獷2+y2dydz

x2+2y2+3z2=20dxdx

6.設(shè)y=/(x,。，而才是由方程尸(x,y")=0所確定的的函數(shù)，求包

dx

Z7

7.設(shè)由方程R(x+—,y+—)=0確定z=z(x,y),F具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明:

y%

8.設(shè)x=x(y,z),y=y(z,x),z=(x,y),都是由方程/(x,y,z)=0所確定的有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),

證明：電@.包=—1

dydzdx

習(xí)題8-6多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用

1.填空題：

⑴z=/-y2+2xy-4x+gyz駐點為

12)/(x,y)=4(x-_y)-x2一丁2的極_____值為

(3)f(x,y)^e2x(x+y2+2y)的極_____值為

14)z=取在適合附加條件x+y=1下的極大值為

(5)ii=/(x,y)=X——-V在￡>=卜,,.2+/”上的最大值為,最小值為

2.從斜邊長為L的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形.

班級：姓名：學(xué)號：

3.旋轉(zhuǎn)拋物面z=/+y2被平面x+y+z=l截成一橢圄，求原點到該橢圓的最長與最短距離

微積分練習(xí)冊［第八章］多元函數(shù)微分學(xué)

—4.某養(yǎng)殖場飼養(yǎng)兩種魚，假設(shè)甲種魚放養(yǎng)尤(萬尾)，乙種魚放養(yǎng)y1萬尾)，收獲時兩種魚的收獲

量分別為(3-6-例)尤,(4-自-2/)y,(a>分>0),求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)

班級：姓名：學(xué)號：

—5.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要投入兩種要素，和分別為兩要素的投入量，Q為產(chǎn)出量：假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為

Q=2球收，其中為正常數(shù)，且。+尸=1,假設(shè)兩種要素的價格分別為0和外，試問：當(dāng)產(chǎn)出

量為12時，兩要素各投入多少可以使得投入總費用最??？

微積分練習(xí)冊［第九章］二重積分

習(xí)題97二重積分的概念與性質(zhì)

1.填空題

［1)當(dāng)函數(shù)/(x,y)在閉區(qū)域D上________時，那么其在D上的二重積分必定存在

12)二重積分f(x,y)db的幾何意義是______________________________________

D

13)假設(shè)/'(x,)；)在有界閉區(qū)域D上可積，且0^2=3.,當(dāng)/(x,y)?0時，那么

于(x,y)dbJJf(x,y)d3；

￡)iD2

當(dāng)f(x,y)<0時，那么Uf(x,y)d8j］f(x,y}d5

AD2

⑷jjsin(x2+/)^3,其中3是圓域/+/<42的面積，5=16?【注:

D

填比擬大小符號)

2.比擬以下積分的大小：

(I)/1=Jj(x+y)2ds與八=j](x+y)3ds其中積分區(qū)域D是由x軸，y軸與直線x+y=l所圍

DD

成

(2)人=JJln(x+yMS與4=U[ln(x+y)2]dS,其中

DD

3.估計以下積分的值

11)/=JJ沖(％+y+1)”"，其中￡)={(x,y)[o<x<L04y<2}

D

[2);=jj(x2+4y2+9W，其中Z)={(%y)H+y2<4}

D

4.求二重積分jj2d3

x2+y2<l

5.利用二重積分定義證明

jjkf(x,y)d3=kjjf(x,y)d^[其中為左常數(shù))

DD

習(xí)題9-2利用直角坐標(biāo)計算二重積分

1.填空題

(1)jj(x3+3x2y+y3)d3=其中D0<x<l,0<y<l

D

(2)JJxcos(x+y)d5=其中D：頂點分別為'(0,0),(肛0),(肛乃)的三角形閉區(qū)域

D

(3)將二重積分(尤,y)d5,其中D是由x軸及上半圓周/+/=/(、20)所圍成的閉區(qū)域，化為

D

先y后x的積分，應(yīng)為___________________________________

[4)將二重積分Jjf(x,y)d3,其中D是由直線y==2及雙曲線y=工口>0)所圍成的閉區(qū)域,

DX

化為先x后y的積分，應(yīng)為__________________________________

15)將二次積分J：比汁丁/'(羽改換積分次序，應(yīng)為

16)將二次積分J。dxj5心了(%丁)辦改換積分次序，應(yīng)用

"SU12

clf2f1+5/2f2

17)將二次積分我[我1)2f(x,y)dx改換積分次序，應(yīng)為

18)將二次積分J：dyj：/(x,y)dx+y(x,y)dx,改換積分次序,應(yīng)為

2.計算以下二重積分：

(1)JJ外"一+'"〃3,其中D={(x,y)|a<x<b,c<y<d]

D

(2)jj(x2+其中D是由直線y=2,y=x,及丁=2%所圍成的閉區(qū)域.

D

(3)-x2\dxdy，其中。；一1<%K1,04y42

D

3.計算二次積分J：辦J『/dx

4.交換積分次序，證明：￡dy￡em(tx7(x)Jx=￡(?-x)em(a-x}f(x)dx

5.求由曲面z=x2+2/及z=6—2/-/所圍成的立體的體積.

習(xí)題9-3利用極坐標(biāo)計算二重積分

1.填空題

[1)把以下二重積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分

①ff/(X2+y2,arctan—=

X2+/<2X%

@D-限y)[<%2+j；2<4,y>%}JJe/1ydxdy=

D

〔2)化以下二次積分為極坐標(biāo)系下的二次積分

p2arv2ezx-x2。

①[°dx^0/(x2n+y2)dy=,(a0)

②Io對:"G+/)dy=；

/?2廣-J3xy

③J0切/(arctan—;

④J；為4：f(x,y)dy=.

2.計算以下二重積分

⑴“InQ+d+y2Ms淇中D是由圓周/+y2=1及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.

D

(2)ff/1dxdy，其中D是由曲線y=/與直線丁=》所圍成的閉區(qū)域.

山/“2?”2

⑶f—y2ds淇中D是由圓周一+/=&所圍成的閉區(qū)域

D

⑷⑵口產(chǎn)+,2—2,3淇中⑵￡>：/+V<3.

D

3.計算二重積分Jj（y—xpdS,其中D由不等式y(tǒng)<R+x,x2+y2<R2,yN0確定（注意選用適當(dāng)?shù)?/p>

D

坐標(biāo)）

4.計算以xoy面上的圓周x2+y2=ax（a>0）圍成的區(qū)域為底，而以曲面z=x?+V為頂?shù)那斨w的

體積

微積分練習(xí)冊［第十章］微分方程與差分方程

習(xí)題10-1微分方程的根本概念

1.填空題

11）方程一（y〃）4一3y'+yInx=0稱為階微分方程

［2）設(shè)y=y（x，G，C2…?一是方程—沖"+2y的通解，那么任意常數(shù)的個數(shù)n=

13）設(shè)曲線y=y（x）上任一點（x,y）的切線垂直于此點與原點的連線，那么曲線所滿足的微分方程

14）設(shè)曲線y=y（x）上任一點（x,y）的切線在坐標(biāo)軸間的線段長度等于常數(shù)a,那么曲線所滿足的微分

方程________________

15）某人以本金P。元進(jìn)行一項投資，投資的年利率為假設(shè)以連續(xù)復(fù)利計，t年后資金的總額

為P（t）=_____________

16）方程y=x+J：y公可化為形如微分方程

2.Q=cekt滿足微分方程逗=-0.032，問C和K的取值應(yīng)如何？

dt

3.、假設(shè)可導(dǎo)函數(shù)/（%）滿足方程/（%）=2⑺力+1（1）,將m式兩邊求導(dǎo)，得

Jo

nx）=2xf（x）....................................................................（2）

易知/（%）=ce『（c為任意常數(shù)）是［2）的通解，從而/（x）=ce,為（1）的解，對嗎？

4.證明：y=CjX+Co.rlnl%］是微分方程x2y"-xy'+的通解.

習(xí)題10-2一階微分方程（一）

1.求以下微分方程的通解:

J+3x

(2)y+-----=o

y

(3)3e*xtanydx+(2-ex)sec2ydy=0

2.求以下微分方程滿足所給初始條件的特解:

⑴sinycosxdy=cos^sinxt/x,y%=()=-

x

⑵dx-x=0=1

i+y

3鐳的衰變速度與它的現(xiàn)存量R成正比，有資料說明，鐳經(jīng)過1600年后，只余原始量尺的一半，

試求鐳的量R與時間f的函數(shù)關(guān)系

微積分練習(xí)冊[第十章]微分方程與差分方程

習(xí)題10-2一階微分方程〔二〕

1.填空題

[1)設(shè)y*是◎+p(x)y=Q(x)的一個解，Y是對應(yīng)的齊次方程的通解，那么該方程的通解為

dx

⑵y*是方程沖'+y=x"的一個特解，那么其通解為y*=土―/+

xx

[3)微分方程盯'+y-y21nx=0作變換可化為一階線性微分方程

〔4[(尤+y)y'+(x-y)=0的通解為

XX

——X

⑸(l+2ey)dx+2ey(l-—)cfy=0的通解為

y

2.求以下微分方程的通解：

⑴孫'+y-x2+3x+2

⑵(x—2孫一y2)y+y2=0

3.求以下微分方程滿足所給初始條件的特解：

4.用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將以下方程化為可別離變量的方程，然后求出通解:

[1)手=(x+y)2

dx

(2)xyr+y=y(Jnx+Iny)

5.一曲線過原點，且它在點(x,y)處切線的斜率等于2x+y,求該曲線的方程

6.設(shè)/(%)可微且滿足關(guān)系式J：［2f(t)一1］力=f(x)-1，求/(x)

習(xí)題10-3一階微分方程在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用

1.某商品的需求價格彈性為些=-P(lnP+l),且當(dāng)P=1時，需求量Q=1

EP

(1)求商品對價格的需求函數(shù)

12)當(dāng)Pf+8時，需求量是否趨于穩(wěn)定？

2.某商品的需求量Q對價格P的彈性〃=322,而市場對該商品的最大需求量為1萬件，求需求函數(shù)

3.某商品的需求量Q與供應(yīng)量S都是價格P的函數(shù)：Q=\,S=bp

其中a＞0力＞0為常數(shù)，價格P是時間/的函數(shù)，且滿足

*=k\Q(p)—S(p)］/為正常數(shù))

假設(shè)當(dāng)r=0時，價格為1,試求：

(1)需求量等于供應(yīng)量的均衡價格與

(2)價格函數(shù)p(t)

4.在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的，設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N,在f=0

時刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為5N,在任意時刻。已掌握新技術(shù)人數(shù)為x(f),其變化率與已掌握新技術(shù)

人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)左＞0

求尤(/)

5.某銀行帳戶，以連續(xù)復(fù)利方式計息，年利率為5%,希望連續(xù)20年以每年12000元人民幣的速度

用這一帳戶支付職工工資。假設(shè)f以年為單位，寫出余額3=/⑺所滿足的微分方程，且問當(dāng)初始存入

的數(shù)額B為多少時，才能使20年后帳戶中的余額精確地減至0.

習(xí)題10-4可降階的二階微分方程

1.填空題

11)微分方程了=1、的通解為.

〔2〕微分方程y"=1+GT的通解為

13)微分方程y"=y'+x的通解為.

⑷微分方程yy"+(y')2=了的通解為.

2

[5)微分方程了+——(y')2=0的通解為_____________.

i-y

〔6)設(shè)％=/與為=/inx是方程/y―3盯'+4y=0的特解，那么其方程的通解為.

2.求以下微分方程滿足所給初始條件的特解

3.求以下微分方程滿足初始條件的特解：

⑵⑴了=泮，y|i=y'|i=O

X

4.試求/=%的經(jīng)過點M(O,1)且在此點與直線y=j+l相切的積分曲線

5.驗證％=J及％=配,都是方程y"_4R+(4公_2)y=0的解，并寫出該方程的通解.

6.設(shè)函數(shù)%(x),%(x),%(x)均是非齊次線性方程C?+a(x)包+6(x)y=/(x)的特解，其中

dxdx

a(x)力(x),7(x)為函數(shù)，而且為(＜一/。)[常數(shù),求證

y(x)=(1—C]-。2)%(x)+C]_V2(X)+C2y3(X)(。1，°2為任意常數(shù))是該方程的通解.

7.證明函數(shù)y=q/+C2e2'+ge5￡(臼,。？是任意常數(shù))是方程胃—3y'+2y=e5*的通解.

習(xí)題10-5二階常系數(shù)線性微分方程〔一〕

1.填空題

11)微分方程y"—4y'=0的通解為.

[2)微分方程y"+4y'+4y=0的通解為.

13)微分方程y"+2y'+5y=Q的通解為.

14)微分方程了+2丁'+。t=0(。為常數(shù))的通解為

15)設(shè)2±z?為方程y"+py'+qy=Q的特征方程的兩根，那么其通解為

16)設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的二個特征根為6=2=4,那么該二階常系數(shù)齊次線性微分

方程為.

2.求以下微分方程滿足所給初始條件的特解：

(l)/-4y+3y=0,j|%=0=6,y|x=0=10

(2)4/+4y+y=0,y\x=0=2,"0=0

(3)y"-4y'+13y=0,y\x=0=0,y|%=o=3

3.求以%=",為=16工為特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程

4.方程4y"+9y=0的一條積分曲線經(jīng)過點(應(yīng)-1)且在該點和直線y+1=x-萬相切，求這條曲線方程

5.求x2y"—(y')2=0的過(1,0)點，且在此點與y=尤―1相切的積分曲線.

習(xí)題10-5常系數(shù)線性微分方程〔二〕

1.填空題：

[1)微分方程+2了+y=xe*的特解可設(shè)為型如y*=.

[2)微分方程y"—7y'+6y=smx的特解可設(shè)為型如y*=.

(3)微方程y"-2y'+5y=exsm2x的特解可設(shè)為型如y*=.

(4)微分方程y"+y'=x+cos%的特解可設(shè)為型如y*=.

(5)微分方程V'—V=xsin2x的特解可設(shè)為型如y*=.

2.求以下微分方程的通解：

(1)y"+3y'+2y=3xe~x

(2)y"+y-ex+cosx

3.求微分方程滿足所給初始條件的特解：

4.設(shè)函數(shù)y=y(x)滿足微分方程y〃—y'—2y=3"，,它的圖形在x=0處與直線y=x相切，求

該函數(shù)

5.設(shè)函數(shù)°(x)連續(xù)，且滿足9(x)=e*+[S⑺df-xf(p(t)dt,求°(x).

6.設(shè)函數(shù)y(x)(x>0)二階可導(dǎo),且yf(x)>0,y(0)=1,過曲線y=y(x)上任意一點p(x,y)作該

曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與左軸所圍成的三角形的面積記為與，區(qū)間[0,如上以y=y(無)

為曲邊的曲邊梯形的面積記為S2,恒有2邑-$2=1，求曲線y=y(x)的方程.

習(xí)題10-6差分與差分方程的概念常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)

1.填空題

〔1)設(shè)/=e*,那么與*=

2

(2)設(shè)yx=x,那么閑*=

(3)設(shè)yx=cos2x,那么Ay*=

(4)差分的運算法那么：A(cyx)=

xx

2.yx=e是方程yx+i+ayx=2e的一個解，求a.

3.求以下函數(shù)的二階差分

(2)y=2爐—x~

(3)y=logax(a>0,?^l)

x

4.給定一階差分方程ya+pyx=Aa,驗證：

A

(1)當(dāng)p+arO時，》=-----小是方程的解.

p+a

(2)當(dāng)p+a=0時，兀=4優(yōu)t是方程的解

習(xí)題10-7一階常系數(shù)線性差分方程〔一〕

1.填空題

(1)一階常系數(shù)齊次線性差分方程為+i-伐”=o/0)的通解為

2.求以下一階常系數(shù)齊次線差分方程的通解：

⑴2%1-3%=°

⑵L+=0

⑶H+i-=0

習(xí)題10-7一階常系數(shù)線性差分方程〔二〕

1.填空題

[1)假設(shè)/(X)=P”(x),那么一階常系數(shù)非齊次線性差分方程”+1-ayx=/(x)

具有形如y：=的特解.

當(dāng)1不是特征方程的根時，k=；

當(dāng)1是特征方程的根時，k=.

2.求以下一階差分方程在給定初始條件下的特解

⑴2久+1+5%=0且%=3

(2)雙=0,且%=2

3.求以下一階差分方程的通解

⑴-4打=3

（2）匕+1+4匕=2/+x+l

⑶％+i-g%=2，

（4）%+i+%=人2，

4.求以下一階差分方程在給定的初始條件下的特解

⑴匕+1+包=21+》_2且％=1

（2）%1+力=2，,且％=2

習(xí)題10-9差分方程的經(jīng)濟應(yīng)用

1.（存款模型）

設(shè)S,為t年末存款總額，廠為年利率，有關(guān)系式5加=S,且初始存款為S。，求/年末的本利和.

2.設(shè)某產(chǎn)品在時期f的價格，總供應(yīng)與總需求分別為與。，對于/=0,1,2,…有關(guān)系

St=2Pt+1

式:＜Dt=-4/"+4

￡=D,

11）求證：由關(guān)系式可推出差分方程Q+1+2夕=2；

⑵一時,求該方程的解.

3.設(shè)%為t期國民收入，g為/期消費，I為投資〔各期相同），三者有關(guān)系式％=c,+/,〃=沖一|+分，

其中0＜。＜1,尸＞0

f=0時，yt=y0，試求y,和q

4.設(shè)某商品在/時期的供應(yīng)量s,與需求量d,都是這一時期該商品價格'的線性函數(shù)，

s,=3,—2,dt=4—5°,

且在/時期的價格，由2T及供應(yīng)量與需求量之差-4T按關(guān)系式

Pt=Pi-77（環(huán)—1一4T）確定

lo

試求商品的價格隨時間變化的規(guī)律.

習(xí)題117常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

1.填空題

⑴收斂，那么lim(說—%+3)=.

nfg

n-1

00

⑵收斂，且S,，=%+g+…+*，那么lim(S“+i+S,i—2S,)=

n—>oo

n-1

⑶(1+}+(:+!)+('+j)+的和是-----------

⑷假設(shè)X"”的和是3,那么X""的和是

n=ln=3

0000”

⑸的和是2,那么E彳的和是________________

n=l"=12

⑹當(dāng)國＜1時，的和是

n=l

2.根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別以下級數(shù)的斂散性

81

⑴Z￡——(21)(-2——〃+1)

00

⑵+2-Zdn+1+G)

n=l

3.判斷以下級數(shù)的斂散性

00

⑴X(T)e

n=l

d4

⑵X(-1)飛)

n=lJ

00

(4)^V0.001

n=l

32"+3"

⑸

n=l6

111c1

(6)—F1H---F2+H----F72+

5255〃

習(xí)題11-2正項級數(shù)及其審斂法

i.用比擬審斂法或比擬審斂法的極限形式判別以下級數(shù)的斂散性:

001

⑴Ei—

ei+〃22

00_

.71

sinjr

En=l乙

2.用比值審斂法或根值審斂法判別以下級數(shù)的斂散性:

S2”?〃！

⑵

n=\R

00

習(xí)題11-3任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂

1.判別以下級數(shù)的斂散性：

00"+3"

⑴E

n=l2"

00

（2）E3+（-ir

n=l2"

⑶當(dāng)當(dāng))“〉。)

?=in+l

2.判別以下級數(shù)是否收斂，假設(shè)收斂是絕對收斂還是條件收斂?

8a

(1)1)“(1-cos—),(〃>0)

n=l〃

81

⑵小D"嬴

3.級數(shù)￡片和Zd都收斂，試證明級數(shù)￡4也,絕對收斂.

n=ln=ln=l

習(xí)題11-4泰勒級數(shù)與幕級數(shù)〔一〕

1.填空題

83

⑴假設(shè)基級數(shù)——)〃在X=O處收斂，那么在x=5處1收斂、發(fā)散).

n=\2

(2)假設(shè)lim上―=2,那么幕級數(shù)的收斂半徑為.

…%?=0

8xn

(3)X的收斂域.

〃=i〃

⑷￡3+(””x"的收斂域.

n=03

oo2n+l

⑸Z(T)"三的收斂域_____________.

n=l〃，2

001?

[6)￡H(x-2)"的收斂域.

2.求以下事級數(shù)的收斂域：

opr\n

+i

^2/7-1?

⑵3

n=l乙

81

吟存(X-3)"

0000

3.假設(shè)幕級數(shù)的收斂域是[-9,9],寫出的收斂域

n=ln=l

4.利用逐項求導(dǎo)或逐項積分，求以下級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)

00

⑴2世〃1,(-1<%<1)

n=\

co2n—1_coi

2)￡「,(—1<X<1),并求級數(shù)X。，、曾的和?

?=i2n1w=i(2zt1)2

00

5.求幕級數(shù)Z(2〃+1)V的收斂域及其和函數(shù).

n=l

習(xí)題11-4泰勒級數(shù)與幕級數(shù)〔二)

1.將以下函數(shù)展開成的基級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間

[1)ln(a+x),(Q〉0)

(2)〃”,(。>0且aW1)

(3)sinx

(4)(l+x)ln(l+x)

2.將函數(shù)/(x)=(]1.2在/=1處展開成幕級數(shù).

3.將函數(shù)/(%)=」一展開成(x—2)的幕級數(shù).

3+x

2光+1

4.將函數(shù)/(犬)=下----展開成(％—2)的塞級數(shù).

x+x-2

5.將函數(shù)/(%)=03,在I=1處展開成幕級數(shù)

7100

6歿/〃=j"sin〃xcosx(ix,〃=0,l,2■,求

n=0

一、填空題〔3,X5=15')

Qz

1.設(shè)由方程％+y+z=，確定是％,y的函數(shù)，那么一二.

dx

2.設(shè)/(x,%z)=(上"，那么#(1,1,1)=.

X

3.JJJ1-—y2dxdy=.

x2+y2<l

00

4.假設(shè)級數(shù)V(%—--)收斂，那么limz/n_

n=l1Z2+1vx->co'

5.差分方程-2”=-8的通解為

二、選擇題(3'X5=15,)

1.以下命題中，正確的選項是()

A.假設(shè)(x0,%)是函數(shù)z=于(x,y)的駐點，那么z=于(x,y)必在(x0,%)取得極值

B.假設(shè)函數(shù)z=于(x,y)在(%,%)取得極值，那么(%,%)必是z=于(x,y)的駐點

C.假設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在(x0,%)處可微，那么(％,%)必是z=f(x,y)連續(xù)點

D.假設(shè)函數(shù)z=于(x,y)在(x0,%)處偏導(dǎo)數(shù)存在，那么z=于(x,y)在(x0,%)處必連續(xù)

2.設(shè)D由必+產(chǎn)=1圍成，那么二重積分/=JJ以舊+4)垢=()

D

88

3.假設(shè)￡片收斂，那么三久。

n=ln=l〃

A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性不定

4.方程y=x+J；必可化為形如()的微分方程

5.差分方程的特解可設(shè)為〔）

三、計算題（6'X8=487）

1.設(shè)z=lntan±,求包，".

ydxdy

2.交換積分次序，求/=[：右

3.求/=出丁+/一中其中￡）：了2+,2<4.

D

oo

4.判定級數(shù)Z—的斂散性.

72=1小3

5.求微分方程由+ycotx=5冷，滿足y（￡）=4的特解.

dx2

微積分〔下〕練習(xí)冊模擬試卷一

*Z

6.設(shè)z=/（x,盯），其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求二丁.

oxoy

8

7.求級數(shù)的收斂域及和函數(shù).

n=l

8.求微分方程y"-y=4xel的通解.

四、應(yīng)用題（8'X2=16,）

dx

1.假設(shè)某產(chǎn)品的銷售量X?）是時間?的可導(dǎo)函數(shù)，如果商品的銷售量對時間的增長速率空與銷售量X。）

dt

及銷售量接近于飽和水平的程度N-x。）之積成正比iN為飽和水平，比例常數(shù)左>0）,當(dāng)/=0時，

X=LN.

10

求銷售量X。）.

2.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需用原料A和B,它們的單位價格分別是10元和15元，用x單位原料A和y單位原

料B可生產(chǎn)20q-必-8/單位的該產(chǎn)品，現(xiàn)要以最低本錢產(chǎn)生112單位的該產(chǎn)品，問需要多少原料A

和B?

五、證明題（6’）

0b88

設(shè)3V」旦5=[,2證明：假設(shè)2么收斂，那么X4收斂.

n=\n=\

微積分〔下〕模擬試卷二

一、單項選擇題（每題3分，共5小題15分）

1.二元函數(shù)2=/（%》）在點（%,%）的偏導(dǎo)數(shù)存在，是在該點可微的〔）

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.無關(guān)條件

2.設(shè)D是圓域％2°+y2<。2,（?！?）3是口在第一象限局部區(qū)域，那么U（x+y+l）db=U

D

3.以下級數(shù)中發(fā)散的級數(shù)是〔）

4微分方程y〃-y=e'+l的一個特解應(yīng)有形式（式中為常數(shù)）（）

5.函數(shù)2=盯在［0,0）點處一定為U

A.極大值B.極小值C.無法確定D.不取得極值

二、填空題（每題3分，共5小題15分）

l.z=e*在點［2,1）處的全微分dz=.

2.jjy/a2-x2-y'dc=其中。：爐+V<片

D

opo

3.假設(shè)級數(shù)￡（%——-）收斂，那么limw?=_______.

?=1M+1—8

8Yn

4.基級數(shù)￡--的收斂域是.

5.假設(shè)是二階線性非齊次微分方程的兩個解為3++3+必且相應(yīng)齊次方程的一個解為x,那么該

非齊次方程的通解為.

三、計算題（每題7分，共7小題49分）

1.求過點（3,1,-2）且通過直線2a=*=三的平面方程.

521

&Z

2.設(shè)Z=/（孫，/+》2）,其中于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求.