2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版） 第6章 數(shù)列的概念

第六章數(shù)列

§6.1數(shù)列的概念

【考試要求】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）2了解數(shù)列是

自變量為正整數(shù)的一類(lèi)特殊函數(shù).

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一?個(gè)數(shù)

如果數(shù)列的第n項(xiàng)與它的序號(hào)〃之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用

通項(xiàng)公式

一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)

遞推公式

表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式

數(shù)列｛為｝的把數(shù)列｛斯｝從第1項(xiàng)起到第〃項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱(chēng)為數(shù)列｛四｝

前n項(xiàng)和的前n項(xiàng)和，記作S,”即S"=m+幻+…

2.數(shù)列的分類(lèi)

分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型滿(mǎn)足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

項(xiàng)數(shù)

無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限

遞增數(shù)列

遞減數(shù)列其中HGN,

an+[<an

項(xiàng)與項(xiàng)間的

常數(shù)列a+\=cin

大小關(guān)系n

從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，

擺動(dòng)數(shù)列

有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列｛。“｝是從正整數(shù)集N飛或它的有限子集｛1,2,…，〃｝）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是座

號(hào)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第〃項(xiàng)源,記為a”=/（〃）.

【常用結(jié)論】

1.已知數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和S”，則斯=,I'"'

Sn—Sn-\>“22.

2.在數(shù)列｛a.｝中，若最大，則*a"（心2,〃GN>若期最小，則a""（"22,

即，?！?1L）Wa"+i

〃GN*）.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是同一個(gè)概念.（X）

（2）數(shù)列1,2,3與3,2,1是兩個(gè)不同的數(shù)列.（V）

（3）任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.（X）

（4）若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點(diǎn).（V）

【教材改編題】

1.（多選）已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為弱=9+12”，則在下列各數(shù)中，是｛冊(cè)｝的項(xiàng)的是（）

A.21B.33C.152D.153

答案ABD

解析由數(shù)列的通項(xiàng)公式得，m=21,及=33,02=153.

2.已知數(shù)列｛."｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S.=〃2+〃，則42的值是（）

A.2B.4C.5D.6

答案B

解析由題意，$2=22+2=6,S=l+1=2,所以°2=S2—$=6—2=4.

3.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,x,55,…中，x=.

答案34

解析通過(guò)觀察數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)都等于它前兩項(xiàng)之和，因此x=13

+21=34.

■探究核心題型

題型一由?！芭cS,的關(guān)系求通項(xiàng)公式

例1（1）已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為￡,ai=2,S“+i=2S"T,則aio等于（）

A.128B.256C.512D.i024

答案B

解析=.?.當(dāng)〃》2時(shí)，S“=2S,一1一1,兩式相減得a.+i=2a“.當(dāng)”=1時(shí)，m

+a2=2m—1,又0=2,...a2=1..?.數(shù)列｛念｝從第二項(xiàng)開(kāi)始為等比數(shù)列，公比為2.貝！Iaio=?2X28

=1X28=256.

(2)已知數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S”且滿(mǎn)足S“=2"+2—3,則斯=.

[5,n=l,

答案，

U""22

解析根據(jù)題意，數(shù)列｛為｝滿(mǎn)足S“=2"+2—3,

當(dāng)〃22時(shí)，有a”=S”-S—i=(2"+2—3)—(2"一|-3)=2"「，

5,〃=1,

當(dāng)”=1時(shí)，有ai=Si=8—3=5,不符合故斯=,''

bn+i,心2.

思維升華S,與斯的關(guān)系問(wèn)題的求解思路

(1)利用?！?&-*-1(">2)轉(zhuǎn)化為只含5“，S一1的關(guān)系式，再求解.

(2)利用S”-Si=a"("22)轉(zhuǎn)化為只含a“,a,』的關(guān)系式,再求解.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知正項(xiàng)數(shù)列｛四｝中，、5+應(yīng)+…+忘=迪羅，則數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式

為()

A.B.。〃=〃2

——〃C—〃2

C.Cln——D.Cln—

22

答案B

解析〈癡+獨(dú)2T---卜也產(chǎn)""",

2

\[a\+毋2H---FW〃-1="I；"(〃22),

兩式相減得血產(chǎn)迎士口一迎山=〃(〃22),

22

，斯=“2(〃22),①

又當(dāng)〃=1時(shí)，&=叱9=1,。1=1,適合①式，

2

；?a〃=〃2,〃￡N*.

(2)設(shè)S〃是數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，且。]=-1,〃〃+】=￡&+】，則S,尸.

答案」

n

解析因?yàn)閍〃十i=S〃+i—Sn,a〃+】=S〃S〃+i,所以由兩式聯(lián)立得S〃+1-S”=S〃S〃十i.因?yàn)镾〃#0,

所以《一一-=1,即」一一十=一1.又2=-1,所以數(shù)列七)是首項(xiàng)為一1,公差為一1的等差

S〃Sn+\Sn+1SnS\

數(shù)列.所以1*=—i+（〃一1）義（-1）=—〃，所以s〃=—

Snn

題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

命題點(diǎn)1累加法

例2設(shè)區(qū)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[—3.14]=—4,[3.14]=3.已知數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足：內(nèi)=1,

n±i..._LJ

a“+i=a〃+〃+l（〃￡N*）,則3+ai+的++。2024等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析由a〃+1=〃“+〃+1,得?！ㄒ?。“一1=〃(〃22).又〃1=1,

所以an—(an—a,,_i)+(an_\一?！?2)+…+(。2—+=〃+(〃-1)+(〃-2)+…+2+1=

旭/心2）,

當(dāng)"=1時(shí)，ai=l滿(mǎn)足上式,

則、一一

anW（H+1）

所以工?+,+…+二一

a\az。2023

=2x(H+M+…+就1式)

=2X

=2023

一1012)

L3+

所以0。2。3

命題點(diǎn)2累乘法

例3在數(shù)列｛“"｝中，0=1,為=則數(shù)列｛期｝的通項(xiàng)公式為

n

答案

n

解析a=~一~a-1(〃22),

nnn

._n—2_n—3_1

??Cln-1—%—2,2-Cln-3,a2=~ci\.

n-1n-22

以上（〃一1）個(gè)式子相乘得,

12n—\

a=a\---￡1=1

n23nnn

當(dāng)〃=1時(shí)，6/1=1,符合上式，：.a=-.

nn

思維升華(1)形如0?+1一〃〃=/(〃)的數(shù)列，利用累加法.

(2)形如如=A〃)的數(shù)列，利用斯=41?絲?班一??a(〃22)即可求數(shù)列｛劣｝的通項(xiàng)公式.

ana\aian-\

跟蹤訓(xùn)練2⑴在數(shù)列仞〃｝中，m=2,%+i=〃〃+lnhl+qJ,則斯等于()

A.2+In/2B.2+(n-l)lnn

C.2+n\nnD.1+及+ln〃

答案A

解析因?yàn)閍〃+i—〃”=In生士』=ln(〃+l)—In〃，

n

所以cii-m=ln2—In1,

。3-Q2=ln3—In2,

々4—Q3=ln4—In3,

a〃一a〃_i=ln〃一ln(〃-1)(〃22),

把以上各式相加得af—ai=lnn—ln1,

則afl=2+\n〃(〃22),且m=2也滿(mǎn)足此式，

因此a〃=2+ln〃(〃￡N*).

(2)已知數(shù)列0,歿，…，①，…是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，則log2a“=.

Cln-1

較案〃(〃一1)

口木2

解析由題意知，“1=1,a=lX2"r=2"r(〃22),

an-\

〃(〃一1)

所以a“=巫X%1*…X絲Xai=2"rX2"-2x…X1=2F-(”22),當(dāng)”=1時(shí)，切=1適

1Cln—2

合此式，

所以［Og2°產(chǎn)/2

題型三數(shù)列的性質(zhì)

命題點(diǎn)1數(shù)列的單調(diào)性

例4設(shè)數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S”，且W〃GN*,an+i>an,.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的數(shù)列

｛a”｝的通項(xiàng)公式a?—.

答案加一6,〃GN*(答案不唯一)

解析由V〃6N*,如+1>?！翱芍獢?shù)列｛?！保沁f增數(shù)列，又S.2S6,故數(shù)列｛。,,｝從第7項(xiàng)開(kāi)始為

正.而O6W0,因此不妨設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1,如=0,所以期="-6,"WN*（答案

不唯一）.

命題點(diǎn)2數(shù)列的周期性

例5若數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足0=2,即+1=士\則02024的值為（）

\—an

A.2B.—3C.—D.-

23

答案D

L121

3-----

解析由題意知，41=2,02=267413

1-21+-

+■2

1+21

=音=一3,…，因此數(shù)列｛斯｝是周期為4的周期數(shù)列，所以故024=/。5><4+4=。4=：.

命題點(diǎn)3數(shù)列的最值

例6已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為劣=竟丁，其最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值分別為（）

11111

----C-----

A.7O,7，77D.n

答案A

解析因?yàn)?GN*,所以當(dāng)1W〃W3時(shí),一<0,且單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，“產(chǎn)一1—>0,

2"-152”-15

且單調(diào)遞減，所以最小項(xiàng)為。3=―'—最大項(xiàng)為“4='=1.

8-15716-15

思維升華（1）解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的方法

用作差比較法，根據(jù)a〃+i—劭的符號(hào)判斷數(shù)列｛如｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.

（2）解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

跟蹤訓(xùn)練3（1）觀察數(shù)列1,In2,sin3,4,In5,sin6,7,In8,sin9,…，則該數(shù)列的第11

項(xiàng)是（）

A.1111B.11C.In11D.sin11

答案C

解析由數(shù)列得出規(guī)律，按照1,In2,sin3,…，是按正整數(shù)的順序排列，且以3為循環(huán)，

由11+3=3余2,所以該數(shù)列的第11項(xiàng)為In11.

（2）已知數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)引="一上，"CN*,則數(shù)列｛飆｝前20項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別為

2n—21

答案3,-1

2n-192M—21+222

解析1+---,當(dāng)時(shí),----->0,且單調(diào)遞減.；當(dāng)1W〃W1O

2n—212n—212H-212n-2\

7

時(shí)，-^―<0,且單調(diào)遞減.因此數(shù)列｛斯｝前20項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別為第11項(xiàng)，第

2n—21

10項(xiàng).mi=3,。10=-1.

課時(shí)精練

門(mén)基礎(chǔ)保分練

M—1

1.已知那么數(shù)列｛?！埃牵ǎ?/p>

/?+1

A.遞減數(shù)列B.遞增數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列

答案B

解析期=1一一一，將為看作關(guān)于〃的函數(shù)，NGN*,易知數(shù)列｛d｝是遞增數(shù)列.

n+1

2.已知數(shù)列｛如｝的前N項(xiàng)和S,滿(mǎn)足SS=S“+i（〃GN，）,且0=2,那么的等于（）

A.128B.16C.32D.64

答案D

解析因?yàn)閿?shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和S,滿(mǎn)足S,Si=S“+i（〃eN*）,a\=2,

所以S.+i=2S“，即&旦=2,所以數(shù)列｛&｝是以2為公比，以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以S,

Sn

6

=2X2廠i=2〃.所以當(dāng)時(shí)，a〃=S〃-5〃_1=2”—2〃-1=2"」所以a7=2=64.

3.已知數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足0=1,即一加1=〃?！ㄋ?1（〃WN）則Q〃等于（）

答案D

解析由題意，得」....-=n,則當(dāng)〃22時(shí)，----L=〃-1,-------=n—29---

1斯-1Cln-\?！?242

_L=1,所以_L—_L=I+2+…+（〃-1）=口（〃22）,所以工=曰+1=日二心，即期

a\ana\2an22

（心2）,當(dāng)〃=1時(shí)，m=l適合此式，所以斯=,?.

rr-n-r2rr—n+2

4.設(shè)數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足：0=2,冊(cè)+1=1―記數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)之積為巳，則尸2024等于（）

an

A.-2B.-1C.1D.2

答案C

解析ai=2,斯+i=l-得a2=1，a3=-l,a4=2,a5=-,--,所以數(shù)列｛如｝是周期為3

a?22

的周期數(shù)列.且P3=-l,2024=3X674+2,所以尸2024=(-1)674X06=1.

5.大衍數(shù)列，來(lái)源于我國(guó)的《乾坤譜》，是世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，主要用于解釋中國(guó)

傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.其前11項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,則大衍數(shù)列的第

41項(xiàng)為()

A.760B.800C.840D.924

答案C

12—132—1S2—1

解析由題意得，大衍數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)依次為易知大衍數(shù)列的第41

222

項(xiàng)為一—￡=840.

2

6.(多選)已知數(shù)列｛四｝的通項(xiàng)公式為“,,=("+2)EL則下列說(shuō)法正確的是()

A.數(shù)列｛4”｝的最小項(xiàng)是m

B.數(shù)列｛劭｝的最大項(xiàng)是“4

C.數(shù)列｛〃“｝的最大項(xiàng)是“5

D.當(dāng)〃25時(shí)，數(shù)列｛右｝遞減

答案BCD

解析假設(shè)第"項(xiàng)為｛四｝的最大項(xiàng)，則■即’向向所以

n+1

為用,|(w+2)l7j">(?+3)l7j,

又"GN",所以〃=4或〃=5,故數(shù)列｛&｝中。4與。5均為最大項(xiàng)，且。4=。5=",

當(dāng)時(shí)，數(shù)列S"｝遞減.

7.S,,為數(shù)歹!]｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，且log2(S?+1)=〃+1,則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為.

解析由log2⑸+1)=〃+1,得￡+1=2-1,當(dāng)〃=1時(shí)，ai=Si=3；當(dāng)〃22時(shí)，a?=Sn-

3Y\=1

S“_i=2",顯然當(dāng)〃=1時(shí)，不滿(mǎn)足上式.所以數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式為如=「''

弧心2.

8.若數(shù)列｛端的前〃項(xiàng)和￡=/—10〃(〃GN*),則數(shù)列伍〃｝的通項(xiàng)公式a“=，數(shù)列｛〃斯｝

中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng).

答案2n-113

解析'：S?=n2-10n,...當(dāng)”22時(shí)，a“=S,—S.j=2”一11；

當(dāng)*=1時(shí)，m=S=-9也適合上式..?.a“=2〃一ll(〃GN*).

記道〃)=〃。"=〃(2〃-此函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線〃=，，但"GN*,

當(dāng)〃=3時(shí)，/(〃)取最小值..?.數(shù)列｛〃斯｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng).

9.在①〃〃“+|一(〃+1)；②￡=2〃2—1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上,

并解答.

若數(shù)列｛”“｝的前n項(xiàng)和為S,?m=1,且數(shù)列｛飆｝滿(mǎn)足.

⑴求。2，。3；

(2)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解⑴選擇①：a2-2at=lX2,則。2=4.

2〃3—3a2=2X3,則。3=9.

選擇②：az—Si—5i—2X22—1—1=6.

。3=$3-$2=2X3?—1—2X22+1=10.

(2)選擇①：由〃°"+1一("+1)a”="(〃+1),

得斯+1_血一]

n+in

所以血=如一_^+_?±±一_^1+…+生一切=〃―1+]=〃，

nnn-1〃一1〃一22

所以a〃=〃2.

==2—2

選擇②：當(dāng)〃22時(shí)，anSn'~Sn-\2n—1—[2(nI)—l]=4w—2；

當(dāng)〃=1時(shí)，m=Si=l,不符合上式，

故｛斯｝的通項(xiàng)公式為斯=?''

4〃一2,“22,.

10.(2023?長(zhǎng)沙模擬)己知數(shù)列｛c“｝滿(mǎn)足C[=4—皿_=上，〃WN*,S,為該數(shù)列的前R項(xiàng)

2c〃+1-1cn-\

和.

(1)求證：數(shù)列H為遞增數(shù)列；

(2)求證：Sn<\.

證明(1)因?yàn)?=1,上巴一二一^一，

2C/j+l-1Cn~1

所以金Wl,c〃W0,

兩邊分別取倒數(shù)可得1一一

Cn+\Cnd

整理可得一!一一!二仁一1J〉。，

Cn+\

所以數(shù)列H為遞增數(shù)列.

(2)由上±」=上可得皿二1±1=4二1±1,即—^=以+，

Cw+|-1Cn-1C〃+l—1C,J—1Cw+1—1Q—l

所以C,=—*1-------,

C〃+l-1Cn—\

所以S〃=C|+c2+…+c〃

]

卜2,

?！?L1

又!》上=2,所以c,+ie

CnC\

所以——<-l,即S,〈L

Gl+1—1

q綜合提升練

11.在數(shù)列｛a“｝中，m=l,a—(n,an),b—(an+fn+1)，且a_Lb,則aioo等于()

A.-B.--C.100D.-100

9999

答案D

解析因?yàn)閍-(n,a?),b—(an+i,n+l),且alb,所以"a”+i+(〃+l)a“=0,所以如一生士」,

a?n

所以絲=-2,四=-3,…，駒=一期以上各式左右分別相乘，得駟=-100,因?yàn)?=1,

a\1。2249999a\

所以。100=-100.

12.(2022?全國(guó)乙卷)嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆

環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星.為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛6“｝：

1]]

61=1+',岳=1+7,方3=1+1，…，依此類(lèi)推，其中四GN*(左=1,2,…).則

a'aid-囚+1

值a2+-

CC3

()

A.bt<bsB.b3Vb8

C.b6Vb2D.b4Vb7

答案D

解析方法一當(dāng)〃取奇數(shù)時(shí),

1_______\______

由已知?dú)v=1H----，〃3=1+1

"內(nèi)+二7

a2-i—

13

1______i____

因?yàn)?，所以加＞加，

內(nèi)如+二J

?2I---

Q3

同理可得63＞。5,b：bi,…,于是可得從＞63＞65＞67＞3故A不正確;

1

當(dāng)〃取偶數(shù)時(shí)，由已知?dú)v=1+------j-,

a\~\—

g

]

兒=1+1,

G1+1

。2+17

?3n----

04

1______!______

因?yàn)橐唬?，所以62Vb4,

gaz+-J

a3H-

?4

同理可得64Vb6,66Vb8,…，于是可得岳V。4Vb6Vb8V…故C不正確;

11

因?yàn)?---T，所以歷＞歷，

a】a\-\—

0.1

同理可得加＞力4,b：b6,bi＞bs,

火b?b7,所以。3＞68,故B不正確；故選D.

方法二（特殊值法）

不妨取隙=1（左=1,2,…），則"=1+；=2,

]?1,13

岳=1+1—H—=1H~~=一,

1+1加22

1

___1125

Z?3=l+1+-14=1H—岳=1H-31=3—,

\+-

1

所以ZM=1+；=1

0355

Z>5=1+—=1+-=—,

仇88

8_21

%=1H~=1+

bs13—13’

岳=”=1+?

*62121

,_?1121_55

仇=1H——1H——

bi3434

逐一判斷選項(xiàng)可知選D.

13.已知數(shù)列｛斯｝中，前〃項(xiàng)和為s“且則?的最大值為_(kāi)_______.

3an-\

答案3

解析，當(dāng)〃22時(shí)，a〃=S〃-S〃_i="2"〃一”也許_i,可化為凡-=1」=1

333an-\n-1

+，一，由函數(shù)了=二一在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，可得當(dāng)〃=2時(shí),二一取得最大值2....巫

n—1x—1n—1an-\

的最大值為3.

14.已知田表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如：[2.3]=2,[―1.7]=-2.在數(shù)歹！!｛內(nèi)｝中，a”=[lg〃],

024=024=.

記S?為數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和，則a2;S2

答案34965

解析???%=*〃],

/.當(dāng)1W〃W9時(shí)，a“=[lg〃]=0；

當(dāng)10W〃W99時(shí),a?=[lgn]=l；

當(dāng)100WuW999時(shí),