安徽省縣中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué) 含解析

A.（2,4）B.（2,3）（3,4）C.（^O,2）O（4,4W）D.（4,+OO）

【答案】B

【解析】

【分析】利用二元二次方程與橢圓的關(guān)系列式求解即可.

%—2〉0

22

【詳解】若曲線/一+工=1表示橢圓，貝ij4—/〉0,解得2＜，＜4且悌3,

彳-24—/_.

所以實數(shù)/的取值范圍是（2,3）（3,4）,

故選：B.

4.已知拋物線C：y1=2px（。＞0）,過點尸（3,0）且垂直于x軸的直線/交拋物線C于A,3兩點，。

為坐標(biāo)原點，若，。鉆的面積為9,則2=（）

35

A.-B.2C.-D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件聯(lián)立方程組求出A,3兩點的坐標(biāo)，利用兩點的距離公式及三角形的面積公式即可求

解.

【詳解】將％=3代入V=2px,得y=±標(biāo)，由對稱性不妨設(shè)A在x軸上方，

所以點B（3,-yf6p^,

所以|A創(chuàng)=|廊_卜廊）,2廊，|OP|=3,

因為圳°P|=gx2廊義3=9,解得°

故選：A.

5.已知等差數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，其前九項和為S“，且滿足％6=2%3,當(dāng)&＞0時，實數(shù)上的最小值

為（）

A.10B.11C.20D.21

【答案】C

【解析】

【分析】先設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，得到d＞0,再根據(jù)題意求出％o=O,從而得到工9=0,進(jìn)而

即可得到答案.

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A5=4,寫出點的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解.

【詳解】設(shè)AC,相交于點。，

根據(jù)題意，以。4,OB,0P所在直線分別為x軸，,軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

不妨設(shè)AB=4,則04=08=2夜，OP=2叵,則A（20,O,O）,3（0,2行,0）,

C（-272,0,0）,D（0,-2A/2,0）,P（O,O,20）,

因為點E是24的中點，點戶是PC的中點，

所以E（0,O,夜），F(xiàn)（-A/2,0,V2）,

所以DE=（0,20,四），BF=（-72,-272,72）,

/\DE-BF—2—8+22

貝I]cos(DE,BF}=ii~~ir=T=T=

川、/|DE|.|BF|2^X2733,

2

所以異面直線。石和g廠所成角的余弦值是。.

8.已知橢圓C：「+與=1（a>6>0）的左、右焦點分別為月，B，點P在橢圓C上，「心的延

ab

長線交橢圓C于點Q,且歸E|=|尸Q|,APE8的面積為〃，記與-和鳥的面積分別為M，S

則寸*=（）

A.41BT+1c.V2+1D.2

【答案】c

【解析】

【分析】由三角形面積和余弦定理得到1+3/月「8=5詁/4/）工，求出/耳。6=1，歸周=歸。=加,

所以閨Q|="〃，由橢圓定義求出其他邊長，得到"7=4"2缶，求出歸國=（2行-2,,

I。閭=（6—4后）a,所以\=篙^=0+1.

【詳解】不妨設(shè)|尸耳上加，焦距/q=2c,

＞

由鳥的面積為〃，得3根“V!1/4/月!=/?2,

由余弦定理，得國閭2=\PFf+\PF^

}-2\PF^PF^COSAFXPF2,

則4。2=療+〃2_2mncosAFXPF2-{m+nf—2mn(l+cosZFiPF2)

2

=4a-2mzi(1+cosZF{PF2),

222

所以mn(l+cosZFiPF2)=2a-2c-2b,即mn(l+cosZFiPF2)=rrmsinZFiPF2,

jr

所以1+cosNGPB=sinNf；Pg,所以后sinNEPg—；=1,易得N《Pg=5,

|「耳|=|P@=/,所以閨Q|=0m,

所以|尸閭=2a-m,由橢圓定義知|。閭=2a—夜7〃，

所以|P0=|P￡|+|。引=4a—（啦+1”=相，所以加=4a—2缶，

所以明|=（2行-2）a,|Q閭=（6-40）a,

所以S「附|一（20一2）。

所入2一|網(wǎng)下-40）a=V2+1.

故選：C.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知。=(1,一1,一1),=(-2,2,0),c=(2,l,-3),則()

A.|a+^|=\/3B.(a+b)(a+c)=-6

C.(q+26)J_cD.a〃(2c-))

【答案】AC

【解析】

【分析】由向量模、數(shù)量積的坐標(biāo)公式，以及向量共線定理逐一判斷每一選項即可求解.

【詳解】?+Z?=(-l,l,-l),所以卜+0=6，A正確；

a+c=(3,0,T),所以(a+Z?》(a+c)=—3+0+4=1,B錯誤；

a+2Z?=(-3,3,-l),[a+2Z?j-c=-6+3+3=0,所以(a+2Z?)J_c,C正確；

2c4=(6,0,—6),不存實數(shù)2,使得a=4(2c—切，故。與2c—人不平行，D錯誤.

故選：AC.

10.己知OG：(x+2y+y2=1，C2：(%—2)2+y2=],彳〉0,弓〉o,則下列說法正確的是()

A.若A,3分別是：。與；工上的點，貝1]|46]的最大值是4+4+4

B.當(dāng)(=2,々=3時，6與1。2相交弦所在的直線方程為％=3

8

C.當(dāng)4=2時，若(上有且只有3個點到直線"-y-2左+夜=0的距離為1,貝心=1

D.若CG與，：G有3條公切線，貝IJ也的最大值為4

【答案】AD

【解析】

【分析】A選項，求出圓心距，得到|A目的最大值；B選項，先得到兩圓相交，兩圓相減得到相交弦方程;

C選項，先得到點。2到直線近-y-2左+0=0的距離為1,由點到直線距離公式得到方程，求出答案;

D選項，a與外切，從而得到彳+2=4,利用基本不等式求出答案.

【詳解】A選項，由題意可知G(—2,0)，G(2，°)，所以|GG|=4，

又A,3分別是。與。G上的點，所以|A目的最大值是，+々+4,A正確；

222

B選項，當(dāng)弓=2,4=3時，G：(x+2)+y=4,C2：+y=9,

由于圓心距為|。1。21=4,而3—2<|GG|<3+2,故兩圓相交，

兩圓方程相減得-8%=5,

故相交弦所在的直線方程為x=-之，B錯誤；

8

C選項，當(dāng)2=2時，若G上有且只有3個點到直線近-y-2k+0=0的距離為1,

l12左-0-2左+百

則點G到直線近-y-2左+JI=0的距離為1,所以J------；.........——1=1，

vF+i

解得發(fā)=±1,c錯誤；

D選項，若與有3條公切線，則二C1與。。2外切，即4+2=4,

所以彳=4,當(dāng)且僅當(dāng)彳=馬=2時等號成立，D正確.

故選：AD.

11.已知傾斜角為2的直線/經(jīng)過拋物線C：y1=2px（。>0）的焦點口，且與拋物線。交于A,5兩

點（點A在第一象限），與拋物線。的準(zhǔn)線機交于點。，則（）

A.以A尸為直徑的圓與V軸相切B.準(zhǔn)線加上存在唯一點。，使得QA?03=0

BDAF

D.=2

BF~BF

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)型結(jié)合及拋物線的知識及定義逐項判斷即可求解.

【詳解】對于A：設(shè)A（XQJ,B（x2,y2）,FR,0,"的中點為

由拋物線的定義，得|AF|=%+gA廠的中點到y(tǒng)軸的距離為^^加,

故以■為直徑的圓與y軸相切，故A正確；

對于B：陷=|叫+|即=%+%+，A3的中點到準(zhǔn)線的距離為生產(chǎn)陰,

因此以AB為直徑圓與準(zhǔn)線相切，故準(zhǔn)線加上存在唯一點。，使得QbQ3=0,故B正確;

TT

對于C、D：如圖所示，過點A,8作準(zhǔn)線加的垂線，垂足分別為點E，M,由傾斜角為一,

3

\BM\.兀

可得=設(shè)忸同=S,則忸M|=S因為sin/MDB==sin—,

BD6

..\BD\

所以做|=2s,高=2,故c正確;

,,,,\AE\t.兀

^\AF\=t,則|AE|=/,因為sinNMDB=^=-----------=sm—,

t+s+2s6

??|AF|

所以/=3s,所以|AE|=3s,所以代才=3,故D錯誤.

故選：ABC.

12.“斐波那契螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，也稱為“黃金螺旋曲線”，圖中小正方形的邊

長從小到大分別為斐波那契數(shù)列｛耳｝,其中耳=1,&=1,罵=2,瑪=3,…，小正方形的面積從小

到大記為數(shù)列｛4｝,小正方形所對應(yīng)扇形的面積從小到大記為數(shù)列｛2｝,則（

*■鳥023=工025

A，F(xiàn)2023B.E^—1

=

C.0^+a2-\F42023=^2023^*2024D.bx+b2HH^20238023片024

【答案】BC

【解析】

【分析】A選項，先得到片+2+4一2=3片，代入"=2023,求出A錯誤；B選項，由數(shù)列規(guī)律得到B正

確；C選項，先得到%=FnFn+1-Fn_xFn,從而裂項相消法求出C正確；D選項，先得到優(yōu)=:工2=：4

結(jié)合C選項，求出D錯誤.

【詳解】A選項，因為工+2=工+1+工=2/+工Fn_2=Fn-Fn_{,

所以工+2+工.2=（2工+工"+（工一工"=3工,

令〃二2023,得名021+-f2025—3心）23,

所以a2廣/25=3,A錯誤；

‘2023

B選項,￡+鳥+…+月023=（鳥-笈）+（胤一4）+…+（凡025-項24）

=F?025_B=鳥025—1，B正確；

C選項，%=42=耳（F：=FFn+l-F“3，

所以％+〃2T-----）。2023

=邛+（瑪用一）+（耳耳—耳罵）+…+（&23&24—^022^023）

=^2023^20249C正確；

D選項,優(yōu)=弓工2=14，

兀7L

所以。1+/?2^-----^^2023=1（。1+。2-----[2023）=]乙023&024，D錯誤.

故選：BC.

【點睛】斐波那契數(shù)列的性質(zhì)：（1）S〃=/+%+那++4=4+2—1；

（2）4+/+%++。2〃-1=。2〃；

（3）a2+a4+a6++a2n=a2n+1-1；

（4）a3+a6+aQ++a3n=-（?3?+2-1）；

（5）an_2+an+2=3an；

2

（7）an=an+1an-anan_?

（8）dn+cin+l=”2〃+i；

（9）a；+a；+a；++a：=atlan+x；

（10）—=4T+4+I

an

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知數(shù)列｛。,｝是等差數(shù)列，/+%+4=—30,則1+%=.

【答案】-141

【解析】

【分析】直接由等差數(shù)列的運算性質(zhì)運算即可.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得/+%+41=3%=—30,所以％=—及，所以

%+4=2%=-242.

故答案為：-2式.

14.已知過原點。作圓C：（x-4）2+（y-3）2=9的兩條切線，切點分別是A,B,則cosNAOB=.

7

【答案】—##0.28

25

【解析】

【分析】先計算出圓心和半徑，進(jìn)而得到sinNAOC,利用余弦二倍角公式求出答案.

【詳解】由題意知，圓C的圓心坐標(biāo)為（4,3）,半徑廠=3,

所以|OC|=j42+32=5,sinZAOC=J^=|,

Q7

所以cosZAOB=cos2NAOC=1—2sii?NAOC=1—2義一=一.

2525

7

故答案為：—

25

15.已知點P（知九）是拋物線x2=6y上的一個動點，則屈y°+上手+|3%+2%+10|的最小值是

【答案】13

【解析】

【分析】作出輔助線，結(jié)合焦半徑和點到直線距離公式，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)斤，P,6三點共線時取得最小

值，即為+=+醫(yī)巧”叫之而，得到答案.

7?h

T，根據(jù)長度關(guān)系得到cos/巧。=—,然后在借助余弦定理得到一，從而得到答案.

a

【詳解】

b

直線/:y=——九垂直，漸進(jìn)線方程為

a

c=園",

bx+ay^O,設(shè)垂足為T，?山,I=亍\~；^\,

C

因為|0周=。，所以|0月=〃2—加=a，所以cos/SO=g,

因為|PQ|=|QK|，由雙曲線的定義得|Q耳HQKHPQ|+|P耳HQ/IT尸制=2"，

|P^|-|P^|=2a,\PF2\=4a,

閥f+閨用2_歸e「

在耳鳥中,cosNTFQ=

21P周閨居|

即人—（2a）2+（2c）2—（4a）?_4c2-12a2_4b2-8tz2

c2-2a-2cSacSac

所以Z??—2〃b—2〃2=0，所以—2x——2=0,

\aJa

所以2=1+6（2=1—6舍去）,

aa

所以e2_5=：—5=^^--5=-^-4=（1+A/3）2-4=273.

aaa'J

故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用雙曲線定義結(jié)合余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，再結(jié)合e與

a,b的關(guān)系即可.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，q=7,Sn=121.

(1)求數(shù)列｛qJ的通項公式；

s

(2)令“=」,求數(shù)列｛%｝的前〃項和社.

n

【答案】(1)=2/7-1；

【解析】

【分析】(1)通過對等差數(shù)列的基本量的計算，易得數(shù)列｛4｝的通項公式；

s

(2)表示出數(shù)列a=利用等差數(shù)列的求和公式計算即可.

n

【小問1詳解】

因為S"=%’=11?6=121,所以4=11.

設(shè)｛?！埃墓顬閐，所以。4+2d=U,即7+2d=H,所以d=2.

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為%=%+("—4)d=2”—1.

【小問2詳解】

由⑴，得"口+⑶-1)]〃3

n2

所以2=口=〃，-優(yōu)=1，所以數(shù)列也｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.

n

所以數(shù)列抄“｝的前〃項和Tn=

18.已知圓好+V+2x=0的圓心尸是拋物線C的焦點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線/交拋物線C于A,3兩點，點？(―2,—1)是A5的中點，求直線/的方程.

【答案】(1)y2=-4x

(2)2x—y+3=0

【解析】

【分析】(1)由圓心P是拋物線。的焦點，找到拋物線的焦點，從而得到拋物線的方程;

(2)利用點差法，找到直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.

【小問1詳解】

圓爐+V+2x=0的方程可化為（x+以+/=1,故圓心的坐標(biāo)為F（-1,O）.

設(shè)拋物線。的方程為V=—2內(nèi)（。＞0）,所以一勺―1,所以。=2,

所以拋物線C的方程為：/=-4x.

【小問2詳解】

1

設(shè)4（石,y）,B（x2,y2）,則＜兩式相減,得y；—y；=—4（%—々）,

%=—4%2，

即（％+%）（%_%）=-4（%—%），所以直線I的斜率k=七色=

A1一九2%十%

-4

因為點P（—2,—1）是AB的中點，所以為+%=-2,所以左==2

X+%

所以直線/的方程為y+l=2（x+2）,即2x—y+3=0.

TT

19.在菱形A3CD中，NBAD=—,AB=2,將菱形A3CD沿著3D翻折，得到三棱錐A—BCD如圖

3

所示，此時AC=#.

（1）求證：平面ABD_L平面5CD；

（2）若點E是CD的中點，求直線助與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵—

5

【解析】

【分析】（1）取的中點。，先證明線面垂直即。4,平面BC。，然后證明平面平面

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量法求解直線3E與平面ABC所成夾角.

【小問1詳解】

7T

證明：因為四邊形A3CD是菱形，NBAD=—,

3

所以54。與.6CD均為正三角形，

取3D的中點。，連結(jié)。4,0C,則。

因為AB=2,所以。A=OC=指，

因為042+002=6=人。2,所以CHLOC,

又BDcOC=O,5。,。。＜=平面5。。，所以。4,平面5CD.

因為OAu平面ABD,所以平面平面5cD.

【小問2詳解】

y

由（1）可知，OA,OB,OC兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點,

OB,OC,Q4所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則入（0,0,6）,5（1,0,0）,C（0,V3,0）,0（—1,0,0）,

（1石）

因為E是CD的中點，所以E--,^-,0,

I22J

所以BA=（—1,0,6）,BC=（-1,^,0）,BE=,

I22

..、BA-m=-x+A/3Z=0,

設(shè)加=（x,y,z）為平面ABC的一個法向量，貝叫r

BC?m=-x+{3y=0,

令y=i,得％=石,z=i,所以機=

373A/3

22

所以m)=BE-m_

兩同超又至5

設(shè)直線3E與平面ABC所成角為。，則sin，=cos(=M

BE,m一彳‘

所以直線班與平面ABC所成角的正弦值為好

5

V2y2

20.已知橢圓C：J+=1(a>6>0)的左、右焦點分別是K，F(xiàn),左、右頂點分別是A，

a2

上、下頂點分別是耳，B2,四邊形^男兒員的面積為24,四邊形片與心鳥的面積為6J7.

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線/：、=丘+〃?與圓。：f+/=4相切，與橢圓。交于M,N兩點，若△MON的面積為

隨，求由點M,N,B],為四點圍成的四邊形的面積.

3

22

【答案】(1)土+匕=1

169

⑵875

【解析】

分析】(1)根據(jù)題意列方程組中分別求出名仇c,從而求解.

(2)將直線y=+m與橢圓C方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理從而求解.

【小問1詳解】

—x2ax2b=24-

2

設(shè)橢圓。的焦距為2c,根據(jù)題意，得《—X2CX2Z?=6A/7,

2

a2=b2+c2

_22

解得a=4,b=3,c=J7,所以橢圓C的方程是上+匕=1.

169

【小問2詳解】

設(shè)Af(4%),N(9,%)，

因為直線/與圓。：必+丁=4相切，所以上L=2,所以/=4伏2+1).

y/k2+1

聯(lián)立v"+16y144得(9+16左2)%2+32^71%+16/-144=0.

y=kx+m1'

因為圓0在橢圓C內(nèi)部，所以△>()恒成立.

a”32km16m2-144

所以玉+/=--—T~2，XlX2=--------廠

12

9+16左29+16左2

32km

=J1+左214rx合

9+16左2

所以_MQV的面積S=！x2x24jiIF業(yè)至衛(wèi)=更，即44人,十鄉(xiāng)人2=。，解得左=o,

29+16423

此時直線/_Ly軸，所以

所以四邊形MB.NB,的面積為gx|M2V|x國名|=gx竿x6=

【點睛】關(guān)鍵點睛：(2)問中利用直線與橢圓C聯(lián)立后應(yīng)用韋達(dá)定理求出弦長，從而求解.

21.已知數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾“，=-|,Sn=^-^-an,bn=tan(an)tan(an+1).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛勿｝的前2024項和5024.

兀

【答案】21.ctn=-n;

—

22.7^024—2025.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)％與S“的關(guān)系可得組=4旦，進(jìn)而得到數(shù)列｛%｝的通項公式;

nn-1

（2）表示出數(shù)列｛%｝,利用裂項相消法即可求5024.

【小問1詳解】

F7+1W

因為所以當(dāng)心2時，品=5%.

所以S“-3與即一等儲％,所以與

所以組=也，所以數(shù)列1%］是常數(shù)列，所以2=幺=4,所以q=巴〃，

nn-1InJn155

即數(shù)列｛4｝的通項公式為a“

【小問2詳解】

所以a=tan(%)tan(%)=tan

(27171](3K2TI](2025K2024K

tan------tan—+tan------tan——N-----Ftan----------tan---------

…~~~5-----2024

tan—

5

20257c兀

tan----------tan—

-------------------—2024=-l-2024=-2025.

71

tan—

5

22.在平面直角坐標(biāo)系九0y中，已知動點“（2加,根）、N（2〃,-〃），點G是線段MV的中點，且點

在反比例函數(shù)y=工的圖象上，記動點G的軌跡為曲線E.

X

(1)求曲線E的方程；

(2)若曲線E與x軸交于A、8兩點，點S是直線x=l上的動點，直線AS、5s分別與曲線E交于點

P、Q(異于A、B).求證：直線過定點.