新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊 練習(xí) 05 空間直角坐標(biāo)系及空間點的坐標(biāo)表示

05空間直角坐標(biāo)系及空間點的坐標(biāo)表示

目錄

☆【題型一】正方體、長方體中利用相互垂直的三條棱建立坐標(biāo)系.....................................?

☆【題型二】正棱柱中作輔助線建立坐標(biāo)系.........................................................3

☆【題型三】正棱錐中作輔助線建立坐標(biāo)系.........................................................4

☆【題型四】棱柱中通過利用共頂點的相互垂直的三條棱建立坐標(biāo)系..................................6

☆【題型五】棱錐中通過利用共頂點的相互垂直的三條棱建立坐標(biāo)系..................................7

☆【題型六】利用線面垂直作輔助線找到互相垂直的三條直線建立坐標(biāo)系...............................8

☆【題型七】利用面面垂直作輔助線找到互相垂直的三條直線建立坐標(biāo)系..............................13

☆【題型八】利用幾何體底面的中心與高所在的直線垂直關(guān)系........................................15

☆【題型一】正方體、長方體中利用相互垂直的三條棱建立坐標(biāo)系

【例題】已知正方體∕8CΣ>-45ιGO∣的棱長為2,E,尸分別為棱83C的中點，如圖所示建立空間直角

坐標(biāo)系.

(1)寫出各頂點的坐標(biāo)；

-?->->

(2)寫出向量EF,8尸，4E的坐標(biāo).

【詳解】⑴由題圖知Z(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),Z)(0,0,0),

4(2,0,2),BiQ,2,2),C,(0,2,2),Z)∣(0,0,2),

(2)因為E,尸分別為棱BBi,OC的中點，

由中點坐標(biāo)公式，得E(2,2,1),F(O,1,0).

-->--?--?

所以E尸=(-2,-1,-1),5∣F=(-2,-1,-2),ZIE=(O,2,-1).

【變式訓(xùn)練】

1.在長方體/8CD一4冏GOi中，AB=BC=2,44∣=2√L建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并確定點小，Ci,

B,。的坐標(biāo).

【詳解】以/為坐標(biāo)原點，AB,AD,4小所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

如圖建系，則出(0,0,2√2),Cl(2,2,2√2),BQ,0,0),D(0,2,0),

1——1--1——

2.如圖，在長方體OZBC-。'48'C'中，OZ=3,OC=4,OU=2,以150/,700,300?為單

位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-盯z.

(1)寫出?！?C,A',6'四點的坐標(biāo)；

(2)寫出向量才才，^BrB-ArC'>/的坐標(biāo).

【詳解】(1)點。,在2軸上，且OQ'=2,所以點Z)?的坐標(biāo)是(0,0,2).

同理，點C的坐標(biāo)是(0,4,0).點4在X軸，y軸，Z軸上的射影分別為4O,DM

它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3,0,2,所以點7的坐標(biāo)是(3,0,2).

點8'在X軸，y軸，z軸上的射影分別為4C,Dt,

它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為3,4,2,所以點8'的坐標(biāo)是(3,4,2).

(2)=1=(0,4,0)；而=一礪=(0,0,-2);

正=而+和=(-3,0,0)+(0,4,0)=(-3,4,0)；

^σ=^o+δc+cσ=(-3,o,o)+(o,4,o)+(o,o,2)=(-3,4,2).

3.正方體D4BC-D'A'B'C的棱長為α,E,F,G,H,I,J分別是棱C'D',D'A',A1A,AB,

BC,CC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出正六邊形EFG4〃各頂點的坐標(biāo).

【詳解】正方體DZ8C—D'A1B'C的棱長為α,

且E,F,G,H,I,J分別是棱C'D',D'A',A'A,AB,BC,CC'的中點,

.?.正六邊形E尸G”"各頂點的坐標(biāo)為jo,1α］怎0,g,0,*

3?°),4①q,a*3

☆【題型二】正棱柱中作輔助線建立坐標(biāo)系

【例題】在正三棱柱N8C一小8C1中，已知AXBC的邊長為1,三棱柱的高為2,請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)

系，并求各個點的坐標(biāo).

【詳解】分別取8C,SG的中點D,Di,

以。為原點，分別以虎，DA,方方的方向為X軸、y軸、Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，D(0,0,0),^(θ,?,θ),6(,0,0),C(∣,0,0),Z)(0,0,0),

4(0,2),β,(-∣,0,2),e,(?0,2),2(0,0,2).

【變式訓(xùn)練】

1.已知正三棱柱N5C-48Q,底面邊長/8=2,點。，O∣分別是邊/C,4G的中點，AB?=2,

請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo).

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

由題意得Z(O,-1,0),β(√3,0,0),C(0,1,0),51(√3,0,2),C,(0,1,2),

☆【題型三】正棱錐中作輔助線建立坐標(biāo)系

【例題】如圖，在正四棱錐尸-48CD中，底面488是邊長為1的正方形，。是ZC與8。的交點，PO=I,

〃是尸C的中點.請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo).

【詳解】(方法1)以點A為原點，AB,AD分別為x,y軸,

過點A作底面的垂線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則/(0,0,0),B(l,0,0),D(0,1,0),C(l,l,0),

(方法2)以點O為原點，OA,OB,OP分別為X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則Zp^,O,O),5(θ,-?,θ),D(O,--^-,O),e(--?,o,θ),

O(O,O,O),P(O,O,1),M(∣,∣?).

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)正四棱錐S一尸砂2尸3尸4的所有棱長均為2,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求各個頂點的坐標(biāo).

【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，其中。為底面正方形的中心，

PlP2?LQy軸，PiALOx軸，So在OZ軸上.

?：P[Pz=2,且尸I,P2,尸3,2均在XQy平面上,

.?.P1(1,1,O),p2(-1,1,0).

在XQy平面內(nèi)，尸3與Pl關(guān)于原點。對稱，尸4與P2關(guān)于原點。對稱,

.?.R(-1,-1,0),P4(∣,-1,0).

又SP?=2,0P↑=?∣2,

二在RtZ?SOP∣中，So=此ΛS(O,O,√2).

2.已知正四棱錐尸一/88的底面邊長為α,側(cè)棱長為/,試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出各頂點的坐

標(biāo).

【詳解】設(shè)正四棱錐底面中心為點。，因為點尸在平面月5CD上的射影為O,

所以以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)/,OB,OP所在的直線分別為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

貝IJON=省

a,PA=PB=PC=PD=I,所以尸O=

2

故各頂點坐標(biāo)依次為

[爭，°'°],J°f~

3.已知在正四面體A8CZ)中，E為棱ND的中點，AB=I,請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐

【詳解】作NOL平面BCD于點。，則。是XBCD的中心，

以0為坐標(biāo)原點，直線為y軸，直線0/為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示,則o(o,o,o),加。用。-事iM*用,』

☆【題型四】棱柱中通過利用共頂點的相互垂直的三條棱建立坐標(biāo)系

【例題】如圖，在直三棱柱ZBC-48∣Cl的底面ANBC中，C/=CB=I,/80=90。，棱AAi=2,M,N

—>>—A

分別為48∣,/M的中點，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量BN,BAl,48的坐標(biāo).

【詳解】由題意知CC↑1AC,CC↑±BC,AC±BC,以點C為原點，

分別以CA,CB,CCi的方向為X軸，y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-XyZ,

如圖所示.5(0,1,0),/(1,O,0),4(1,O,2),N(l,O,1),

Λ57V=(1,-1,1),Λ4∣=(l,-1,2),Λ^β=(-1,1,-2).

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，己知直四棱柱ABCD-AlBICl%中=2,底面ABCD是直角梯形為直角,4B〃CD,AB=4,

AD=2,DC=I,請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo).

?

------------------

【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別以DA,DC,DDl所在直線為x、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則。(0,0,0),4(2,0,0),5(2,4,0),C(0,l,0),4(2,0,2),5,(2,4,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).

☆【題型五】棱錐中通過利用共頂點的相互垂直的三條棱建立坐標(biāo)系

【例題】如圖，四棱錐PdBCO中，RI，平面∕8CO,PB與底面所成的角為45。，底面/88為直角梯形,

NABC=/8/0=90。，RI=BC=LlZ)=1.請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo).

2

【詳解】分別以48,4),4尸為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則P(0,0,1),C(l,1,0),。(0,2,0),A((),0,0),B(l,0,0)

【變式訓(xùn)練】

1.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC1E是PC

的中點，試建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo).

【詳解】分別以48,4),NP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),Z)(0,0,0),P(0,0,2),￡(0,1,1).

2.如圖，已知四棱錐PdBC。的底面是菱形，對角線/C,8。交于點O,04=4,OB=3,OP=4,且OPL

平面488,點M為Pe的三等分點(靠近P),建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并求各點的坐標(biāo).

【詳解】以。為坐標(biāo)原點，OB,OC,。尸所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

4Q

則尸(0,0,4),8(3,O,0),C(0,4,0),/(0,-4,0),。(一3,0,0),Λ∕(01；，；)

☆【題型六】利用線面垂直作輔助線找到互相垂直的三條直線建立坐標(biāo)系

【例題】如圖，在等腰梯形/8。中，AB//CD,AD=DC=CB=I,N/8C=60。，CF，平面48C0,且

CF=1,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并確定點48CO,F的坐標(biāo).

【詳解】(方法1：以8C為y軸)

連接NC,由題意可知N4OC=120。，

在△/￡>C中，AC1=AD2JΓDC2-2ADDCcosZADC=3,

ΛJC=√3.

由∕C=√5,BC=?,ΛABC=60°,可得N8=2,ZACB=90°,

：.ACLBC,?.?CF,平面48C0,：.CF±AC,CFLBC,

以C為坐標(biāo)原點，CA,CB,C/所在直線分別為X,夕，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則C(0,0,0),B(0,1,0),A(?0,0),D(?,-∣,0),F(0,0,1).

(方法2：以CA為X軸)

過C作/8的垂線Cw交/8于M,

?"CFABCD,：.CF±CD,CFLCM,

以C為坐標(biāo)原點，CD,CM,CF所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

計算可得CM=*,48=2,

2

;./(|，￥，0),fi(-?,0),C(0,0,0),0(1,0,0),F(0,0,1).

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在四棱錐尸一NBCO中，底面/8CD為矩形，點E在棱4)上，且Z)E=24E,PE_L底面N8CZ),

BC=2?AB=PE=2.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并求點P,C,。的坐標(biāo).

【詳解】過F作尸G〃/5E,則FG，平面/8CO,可得/G_LBEFGLFC,

以尸為原點麗，F(xiàn)C,FG的方向分別為X軸、夕軸、Z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

2.如圖所示，ZXN8C是一個正三角形，ECLL平面∕8C,8O"CE,且CE=CZ=28O=2,M為ZE的中點.

請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo).

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-孫z.

QO,0,0),ZM,1,0),δ(0,2,0),Λ(0,0,2),D(0,2,1),Mq,；』).

3.如圖，四棱錐P-/8CD中，PAL^ABCD,PA=BC=CD=I,AC=4,ZACB=ZACD=-,FPC

3

的中點.請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo).

【詳解】如圖，連接8。交4C于O,因為8C=CD即45C。為等腰三角形,

又/C平分/8CO,故NULBD以。為坐標(biāo)原點,

--?--?--?

分別以08,OC,NP為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系0-xy∑.

因為OC=Cf)CoS-=1,AC=4,所以ZO="C-OC=3,

3

又OB=OD=CDSin-=√3,

3

故4(0,-3,0),B(y∣3,0,0),C(0,I,0),0(-√3,0,0),P(0,-3,2)zF(0,-1,1)β

4.如圖，四棱錐尸XBCO中，刃，底面/8。，ND〃8C,∕8=NO=ZC=3,H=8C=4,M為線段49

上一點，4W=2Λ∕O,N為尸C的中點.請建立適當(dāng)空間宜角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo)

【詳解】以N為坐標(biāo)原點，晶的方向為X軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xJZ

,1,2)

由題意知P(0,0,4),M(0,2,0),C(√5,2,0),

^(0,0,0),D(0,3,0),5(√5,-l,0)

5.如圖，四面體/8C。中，A48C是正三角形，Z?Z8是直角三角形，ZABD=ZCBD,AB=BD=I.IfB

立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo).

D

E

【詳解】由題設(shè)知，。4。8,。。兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點，麗的方向為X軸正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫Z,則41,0,0),8(0,G,O),C(T,0,0),0(0,0,1).

如圖，在三棱柱中，側(cè)面為棱上異于的一點，已知

6.4BC-4ι4CιAB_1_BBICIC,ECClC,gEA1EB1.

AB=y[2,BBi=2,BC=I,NBCCl=會請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo).

【詳解】AB4則面BBICIC而BC與BBl不垂直，

原圖沒三條兩兩垂直直線，此時在平面上過點作垂直的直線，

BB1C1CB

便得三線兩兩垂直，

BD1BB11BA

如圖，以B為原點，分別以80,BBi,84所所在直線為小y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則起)，

4(0,0,5(0,0,0),C(?y,-pO),4(0,2,√Σ),51(0,2,0),C1(y^,∣,0),

☆【題型七】利用面面垂直作輔助線找到互相垂直的三條直線建立坐標(biāo)系

【例題】如圖，四邊形/8C。和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，M,E,F分別為P。，AB,

8C的中點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并求點2,E,M,尸的坐標(biāo).

【詳解】由題設(shè)易知，AB,AD,/0兩兩垂直.

以N為原點，AB,AD,40所在直線分別為X軸、y軸、Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方形邊長為2,則/(0,0,0),E(l,0,0),M(0,1,2),FQ,1,0),

1.如圖所示，正三棱柱/8C-小歷Cl的所有棱長都為2為CG的中點.請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并

求各個點的坐標(biāo).

【詳解】如圖所示，取8。的中點。，連接NO.因為4∕I8C為正三角形，所以/0_L8C

因為在正三棱柱N8Cd∣8ιG中，平面NBC，平面BCGBi,

所以/OL平面BCC防取BQ的中點O∣,

以。為原點，以的,<9Ol,分別為X軸一軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(1,0,0),-1,1,0),4(0,2,3),/(0,0,他)，5l(l,2,0),C(-l,0,0),C,(-l,2,0).

2.如圖，在三棱柱048-?！吧絀中，平面088ι0∣_L平面OAB,NoQ8=60。，NAOB=90°,S.0B=OOi

=2,0A=y∣3,請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo).

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),。(0,1,√3),A(y∣3,0,0),4(3,?,√3),

5(0,2,0),Bl(0,3,√3).

3.如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2