利用導數(shù)討論單調(diào)性和極值講義-高三數(shù)學一輪復(fù)習

利用導數(shù)討論單調(diào)性

導數(shù)可以用來求函數(shù)在某一點的切線斜率，而切線斜率的正負可以反映函數(shù)的單調(diào)性，因此

我們可以利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性.利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的主要考點有：利用導數(shù)

對函數(shù)的單調(diào)性進行討論(含參函數(shù)或不含參函數(shù))和利用導數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的參數(shù)范圍.

一、討論單調(diào)性

1、不含參

例1、已知函數(shù)〃x)=smx+：°sxT.(1)求函數(shù)/(x)在(0/)內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間;

解：由題意知，廣(x)=I"：-》,xe(O,?),

ex

所以當/'(x)〉0時，解得xe

即/(x)在(0")的單調(diào)遞增區(qū)間是10,3已小］

例2、已知函數(shù)/(x)=3。-1)-2xInx.求“X)單調(diào)增區(qū)間；

解：/(X)=1-21nx,

令廣(x)〉0,解得x(0,1

所以“X)單調(diào)增區(qū)間為.0,一

2、含參類

例3、(導函數(shù)只有一個根)已知函數(shù)/(x)=+“(。€尺).討論了比)的單調(diào)區(qū)間.

X

解：(1)由題意，函數(shù)/'(jOu@ULSeR),可得/(x)的定義域為(0,+。)

尤

且,(x)=l—"Inx

X

由/<x)>0,即1—q—lnx〉o,解得o<x<e-

由/<x)<0,即1—q—lnx<0,解得

故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e?)，單調(diào)遞減區(qū)間為(ej,+8).

例4、(導函數(shù)有兩個根之能因式分解)已知函數(shù)/(x)=e、-2ae—x—(2+a)x(aeR).討

論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

到〃、,.e2x-(2+a)ex+2a(ex-2)(ex-a)

解：/(x)=e+2ae-(2+6/)=-----——------=--------------

ee

若QWO,由e”-2=0，得x=ln2

由/，(x)<0得x<ln2；由/'(x)〉0得x>ln2

所以/(x)在(-叫In2)上單調(diào)遞減，在(In2,+8)上單調(diào)遞增；

若a>0,由/'(x)=0,得x=ln2或x=lna.

當0<a<2時，由/'(x)<0,得lna<x<ln2；

由/'(x)〉0,得x>ln2或x<lna,

所以/(x)在(lna/n2)上單調(diào)遞減，在(―oo,lna),(in2,+oo)上單調(diào)遞增；

當a=2時，/'(x)20在R上恒成立，所以/(x)在(-*+8)上單調(diào)遞增；

當a>2時，由/'(x)<0,得ln2<x<lna；

由/'(x)〉0,得x>lna或x<ln2,

所以/(x)在(ln2,Ina)上單調(diào)遞減，在(-oo,ln2),(ina,+oo)上單調(diào)遞增.

例5、(導函數(shù)有兩個根之不能因式分解)已知函數(shù)/(x)=1x2+mln(l-x),其中用eR.

求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

2

解：函數(shù)/(X)定義域為(—8,1),且/?'(*)=x—F=_x—加,l-x>0

令+%_加=o,判別式A=1-4m

當A<0,即加2—時，--+x-m<0恒成立

4

所以/'(x)<0.../(X)在(-叫1)上單調(diào)遞減；

當A>O,切<，時，由——冽=o,解得項=匕匹亞，i+VEfE,

4122

若0<加<；,則須<》2<1

二xe(—oo,xj時，/,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

%?演戶2)時，/'(x)〉0，/(x)單調(diào)遞增；

■re"/)時，/'(%)<0,/(X)單調(diào)遞減；

若打40,則石<1?々，；.xe(—oo,xj時，/'(%)<0,/(x)單調(diào)遞減;

xe(X1,l)時，/,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

綜上所述：加W0時，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為—加,單調(diào)遞增區(qū)間為

1-J1-4加

2J；

1/、(1—ji—4加、r1+ji—4加

0<7〃〈一時，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為-00,---------,---------,1,單調(diào)遞

4\Jv>

__IAI_fl-yjl-4m1+J1-4加、

增區(qū)間為-----------,-----------；

\227

加時，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,1).

注：含參類問題求解單調(diào)性的重難點是如何對參數(shù)進行分類，討論的關(guān)鍵在于導函數(shù)的零點和

定義域的位置關(guān)系.

分類討論的思路步驟：

第一步、求函數(shù)的定義域、求導，并求導函數(shù)零點；

第二步、以導函數(shù)的零點存在性進行討論：當導函數(shù)存在多個零點時，討論它們的大小關(guān)系

及與區(qū)間的位置關(guān)系(分類討論)；

第三步、畫出導函數(shù)的同號函數(shù)的草圖，從而判斷其導函數(shù)的符號(畫導圖、標正

負、截定義域)；

第四步、(列表)根據(jù)第三步的草圖列出函數(shù)和導函數(shù)隨X的變化情況表，并寫出

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

第五步、綜合上述討論的情形，完整地寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，寫出極值點、極值

與區(qū)間端點.

二、求參數(shù)范圍

（1）/（X）在區(qū)間D上存在遞增（減）區(qū)間：

方法1：轉(zhuǎn)化為'/（X）的導函數(shù)大于零（小于零）在區(qū)間D上有解"

方法2：轉(zhuǎn)化為'存在區(qū)間D的一個子區(qū)間使/（X）的導函數(shù)大于零（小于零），.

（2）/（X）在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減）：

方法1：轉(zhuǎn)化為'/（X）的導函數(shù)在區(qū)間D上恒大于等于零（恒小于等于零）'；

方法2：轉(zhuǎn)化為區(qū)間D是/（X）的單調(diào)遞增（減）區(qū)間的子區(qū)間.

例6、（20112012石景山一模文18）已知函數(shù)/（x）=x+2aInx.

若函數(shù)g（x）=f+/（x）在［1,2］上是減函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

2

解：g（X）q+x2+2aInx

g'（x）=4+2x3

XLX

由已知：函數(shù)g（x）為［1,2］上的單調(diào)

減函數(shù)

則g'（x）W0在［1,2］上恒成立，

即在［1,2］上恒成立

X

令h（x）」x2

X

則h'（x）=-（-4+2X）

可知〃（x）單調(diào)遞減，最小值為：

h（2）=簫a<\.

1…*.

例7、已知/(x)=lnx,g(x)=-ax2+2x(辦0),若〃(x)=f(x)g(x)存在

單調(diào)遞減區(qū)間，則。的取值范圍為(1,0)U(0,+oo)

解：h(x)=Inx-|ax2-2x

求導得(x)=--ax—2

X

由題意知：h(X)存在單調(diào)遞減區(qū)間

則1(x)<0在(0,+OO)上有解

即工—ax一2<0在(0,+oo)有解

X

解得一l<a<0或a>0

注：對于導函數(shù)中關(guān)于函數(shù)單調(diào)性與參數(shù)的綜合問題，首先是要區(qū)分好是恒成立問題還是存

在性問題，進而將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，進而得到答案.

利用導數(shù)求極值、最值

與單調(diào)性并列，極值與極值點是導數(shù)的第二個運用.與單調(diào)性類似，導數(shù)與極值、極值點也

主要有兩種考查方式:第一種是求函數(shù)的極值或極值點(多個極值比較大小，最大即為最值),

第二種是知道了極值或極值點求參數(shù)范圍.

注：極值點是函數(shù)的導函數(shù)為零時的橫坐標，而不是真正的一個點.

一、求極值(點)、最值

例1、已知函數(shù)/(力=)+：—1.求函數(shù)手=/(x)的極值.

解：-//，3=-(弋(7)又d>o,

由/'(x)=0得了=—1或x=2,

當》€(wěn)(-00,-1)和(2,+8)時，/，(X)<O,此時/(X)為減函數(shù)；

當xe(—1,2)時，/,(x)>0,此時/(%)為增函數(shù),

由f(x)的單調(diào)性知函數(shù)的極小值為/(-1)=-e,極大值為/(2)=5e-2=4.

例2、已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+2在l=-1處取得極值7.

(1)求的值；

(2)求函數(shù)/(%)在區(qū)間[-2,2]上的最大值

解：(1)因為/(x)=%3+樂+2,所以/'(')=312+2ax+b,

又函數(shù)f(x)=x3+ax2+&r+2在％=-1處取得極值7,

f(—1)——b—la=—3

[/'(—1)=3—2。+6=0'解得]6=—9；'

所以/(x)=3x3-6x-9=3(x-3)(x+1),

由/''(x)>0得x>3或x<-l；由/'(x)<0得T<無<3；滿足題意；

(2)又xe[-2,2],

由(1)得〃x)在xe(-2,-l)上單調(diào)遞增，在xe(-1,2)上單調(diào)遞減，

因此/(x)1mx=/(T)=7?

二、已知極值(點)求參數(shù)范圍

1、根據(jù)極值點特點求參數(shù)范圍

例3、已知函數(shù)/(x)=alnx-x2+(tz-2)x--.

求函數(shù)/(x)的極值，并求當/(x)有極大值且極大值為正數(shù)時，實數(shù)。的取值范圍.

._/、a—(2x—ci\(x+1)

解：/'(x)=——21+。-2=---------------?

XX

⑴當aVO時，/'(x)<0,所以，/(x)在(0,+“)遞減,/(x)無極值.

(2)當a>0時，由/'(x)=0得x=；

隨x的變化/'(X)、/(x)的變化情況如下:

a

X

2

/'(X)+0

/(X)/極大值

故/(X)有極大值，無極小值;

a2aa2ia°

/(x)極大=aln]_I+(?-2)x-----=aIn——a,

2242

a

由/(x)極大=aIn,一a>0,丁q〉0,q>2e.

所以，當/(x)的極大值為正數(shù)時，實數(shù)。的取值范圍為(2e,+8).

2、根據(jù)極值點求參數(shù)時忘檢驗致錯

例4、已知/(x)=|^3+|(M)x2+b2x(b為常數(shù))在x=l處取得極值，則6=0

解：f\x)=x2+(61)x+b2

因為在x=l處取得極值

則/(1)=1+(Z?l)+b2=0

得b=0或6=-1

當/?=-1時，f\x)=x2-2x+l>0,無極值

故b=0.

注：/'(%o尸0是/(%)在％三V。處取得極值的比要不充分條件.

三、已知最值求參數(shù)范圍

已知最值求范圍主要有兩種情況，第一種是定區(qū)間加最值求函數(shù)參數(shù)；第二種是動區(qū)間加最

值求動