2023-2024學(xué)年山西省運(yùn)城市鹽湖區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年山西省運(yùn)城市鹽湖區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有

1.用配方法解方程尤2+4x+l=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（）

A.（x+2）2=3B.（%-2）2=3C.（x+2）2=5D.（%-2）2=5

2.已知在平行四邊形A3C。中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。.添加一個(gè)條件后，平行四

邊形ABCD為矩形，則這個(gè)條件可以是（）

A.AB=BCB.AO=COC.AC=BDD.AO±BO

3.在一個(gè)不透明的布袋中裝有52個(gè)白球和若干個(gè)黑球，除顏色外其他都相同，小強(qiáng)每次摸

出一個(gè)球記錄下顏色后并放回，通過(guò)多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.2左右,

則布袋中黑球的個(gè)數(shù)可能有（）

A.11B.13C.24D.30

4.已知?號(hào)=|■/0，則3a,-2b的值為（）

117

A.—B.1C.—

55

5.順次連接下列圖形的各邊中點(diǎn)，所得圖形為矩形的是（）

①矩形；

②菱形；

③對(duì)角線相等的四邊形；

④對(duì)角線互相垂直的四邊形.

A.①③B.②③C.②④D.

6.已知實(shí)數(shù)現(xiàn)甲、乙、丙、丁四人對(duì)關(guān)于x的方程（加-2）d+2犬-1=0討論如下，

則下列判斷正確的是（）

甲：該方程一定是乙：該方程有可能是丙：當(dāng)mCl時(shí)，該方丁：當(dāng)且，"W2時(shí)，

關(guān)于X的一元二次關(guān)于X的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

方程程

A.甲和丙說(shuō)得對(duì)B.甲和丁說(shuō)得對(duì)

C.乙和丙說(shuō)得對(duì)D.乙和丁說(shuō)得對(duì)

7.用圖中兩個(gè)可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)做“配紫色”游戲：分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，若其中一個(gè)轉(zhuǎn)出

紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)出藍(lán)色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（）

8.在△ACB中，ZABC=90°,用直尺和圓規(guī)在AC上確定點(diǎn)O,使ABADs^CBD,根

據(jù)作圖痕跡判斷，正確的是（）

9.某小區(qū)新增了一家快遞驛站，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞驛站攬

件日平均增長(zhǎng)率為％根據(jù)題意平均增長(zhǎng)率是（）

A.10%B.20%C.30%D.40%

10.如圖，平行四邊形ABC。中，E為AD上一點(diǎn),BE交AC于點(diǎn)F.已知AE：ED=2：1,

A.ZkAEF與△BCF的周長(zhǎng)比為2：3

B.AAB廠與四邊形EFCD的面積比為6：11

C.若連接CE,則AAB尸與4CE尸相似，且相似比為2：3

D.若題中條件“A￡：￡0=2：1"改為''點(diǎn)E為邊AD的黃金分割點(diǎn)，AE>EDa,則冬

AF

—江+1

2

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

如圖1是液體沙漏的立體圖形，上下底面平行，液體沙漏某一時(shí)刻的平面示意圖如圖2,

圖3,則圖3中AB=cm.

13.為迎接杭州亞運(yùn)會(huì)，政府計(jì)劃在長(zhǎng)為30米，寬為20米的矩形場(chǎng)地上修建如圖所示的道

路（圖中的陰影部分），其余部分鋪設(shè)草坪，草坪的總面積為560平方米，根據(jù)題意列

出的方程為.

14.如圖，已知平行四邊形ABCD的面積為24,以8為位似中心，作平行四邊形ABCD的

位似圖形平行四邊形EBFG,位似圖形與原圖形的位似比為弓，連接AG、DG.則△AOG

的面積為.

15.在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。48c如圖，邊交y軸于點(diǎn)D,OB,AD相交于點(diǎn)區(qū)

,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為

三、解答題（本大題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

16.(1)3/+8尤-3=0；

(2)5x2+2x-1=0；

(3)2(%-3)2=r_9.

17.一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“杭”、“州”、“亞”、“運(yùn)”、“會(huì)”的五

個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒(méi)有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.

（1）若從中任取一個(gè)球，求摸出球上的漢字剛好是“運(yùn)”的概率

是

（2）小華和小林商定了一個(gè)游戲規(guī)則：搖勻后隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，若取出的兩個(gè)球上恰

好有漢字“運(yùn)”則小林獲勝；否則小華獲勝.請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)游

戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平.

18.如圖，四邊形ABC。中，ZABC=90°,AD//BC,AD=2C,點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，連

接BE,CE,且N8EC=90°,點(diǎn)F是8c的中點(diǎn).

（1）求證：四邊形ABC。是矩形;

(2)若NEC￡>=30°,EF=4,求矩形的面積.

19.某超市銷(xiāo)售一種襯衫.平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷(xiāo)售、增加盈

利，該超市準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間測(cè)算，發(fā)現(xiàn)每件襯衫每降低1元，平均每天可

多售出2件.

（1）在每件盈利不少于25元的前提下，要使該襯衫每天銷(xiāo)售獲利為1200元，問(wèn)每件襯

衫應(yīng)降價(jià)多少元?

（2）小明的觀點(diǎn)：“該襯衫每天的銷(xiāo)售獲利能達(dá)到1300元”，你同意小明的觀點(diǎn)嗎？

若同意，請(qǐng)求出每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？若不同意，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要.我們經(jīng)常運(yùn)用轉(zhuǎn)化、

類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般等思想方法來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題.

如圖①，在平行四邊形ABCO中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)，AG與

OE相交于點(diǎn)?若旦=3,求整的值.

EFBG

【嘗試探究】在圖①中，過(guò)點(diǎn)E作由〃AO交AG于點(diǎn)H,則黑的值為_(kāi)______,整的

EHEH

值為_(kāi)______，M的值為_(kāi)____________________.

BG

【類(lèi)比延伸】如圖②，在①的條件下，若些=a，則黑的值為（用

EFBG-------------------

含a的代數(shù)式表示）.

【拓展遷移】如圖③，在平行四邊形ABCO中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，若點(diǎn)G在線段CB

的延長(zhǎng)線上，AG交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若手=「，則男的值為

EFBG

（用含機(jī)的代數(shù)式表示）.

圖①圖②圖③

21.操作與探究

【操作】在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)們對(duì)如圖1的△ABC紙片進(jìn)行以下操作，并探

究其中的問(wèn)題：

第一步：如圖2,沿過(guò)點(diǎn)8的直線折疊，使得點(diǎn)A落在BC上，展開(kāi)鋪平該紙片，折痕為

BD；

第二步：如圖3,繼續(xù)折疊該紙片，使得點(diǎn)B與點(diǎn)。重合，展開(kāi)鋪平該紙片，折痕為EF；

第三步：如圖4,連接。E,DF.

【探究】

任務(wù)一：判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；

任務(wù)二：在△ABC紙片中，若NABC=60°,折痕EF=2,四邊形BEDF的面積

為_(kāi)__________________

22.綜合與實(shí)踐

【模型探索】如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)E,歹分別在邊DC,3c上，若APLBE,

則AF與BE的數(shù)量關(guān)系為.

【模型應(yīng)用】如圖2,將邊長(zhǎng)為2的正方形A8C。折疊，使點(diǎn)B落在C。邊的中點(diǎn)￡處，

點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕交AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,則線段MN的長(zhǎng)度

是.

【知識(shí)遷移】如圖3,在矩形ABCO中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E在邊CO上，點(diǎn)尸，。分

別在邊ADBC上，且AELPQ,則黑的值為

【綜合應(yīng)用】如圖4,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)尸是BC上一點(diǎn)，將沿AF

折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)夕處，連接BE并延長(zhǎng)交C。于點(diǎn)E.若CE=5,求的長(zhǎng)度.

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，直線A8：y=-x+3分別與x,y軸交于點(diǎn)A,8,點(diǎn)C為線

段OA上一點(diǎn)，且繪=2.

CO

(1)求點(diǎn)A坐標(biāo)及直線BC的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)/C8r>=/A4O時(shí)，求點(diǎn)D坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABMN是菱形時(shí)，請(qǐng)直接

寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有

1.用配方法解方程無(wú)2+4x+l=0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（）

A.（尤+2）2=3B.（%-2）2=3C.（x+2）2=5D.（%-2）2=5

【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上4,然后把方程作邊利用完全公式

表示即可.

解：x2+4x=-1,

x2+4x+4=3,

（x+2）2=3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成（x+機(jī)）2="的形

式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

2.已知在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.添加一個(gè)條件后，平行四

邊形ABCD為矩形，則這個(gè)條件可以是（）

A.AB=BCB.AO=COC.AC=BDD.AO±BO

【分析】由菱形的判定和矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

解：A、；平行四邊形ABC。中，AB=BC,

平行四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、平行四邊形ABCD中，AO=CO,不能判定平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符

合題意；

C、?.?平行四邊形ABC。中，AC=BD,

平行四邊形ABC。是矩形，故選項(xiàng)C符合題意；

。、平行四邊形ABCZ）中，AO±BO,不能判定平行四邊形ABCZ）是矩形，故選項(xiàng)。不

符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩

形的判定是解題的關(guān)鍵.

3.在一個(gè)不透明的布袋中裝有52個(gè)白球和若干個(gè)黑球，除顏色外其他都相同，小強(qiáng)每次摸

出一個(gè)球記錄下顏色后并放回，通過(guò)多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.2左右,

則布袋中黑球的個(gè)數(shù)可能有（

A.11B.13C.24D.30

【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近,

可以從比例關(guān)系入手，設(shè)出未知數(shù)列出方程求解.

解：設(shè)袋中有黑球尤個(gè)，

解得：x=13,

經(jīng)檢驗(yàn)x=13是原方程的解，

則布袋中黑球的個(gè)數(shù)可能有13個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定

位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集

中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.

4.已知■號(hào)=/0,貝、3a、2b的值為（）

A.-B.1C.——■D.5

5517

【分析】直接利用已知得出a=3＞，c=^-b,進(jìn)而代入化簡(jiǎn)即可.

44

：.a=—b,c=—b,

44

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將已知變形是解題關(guān)鍵.

5.順次連接下列圖形的各邊中點(diǎn)，所得圖形為矩形的是（）

①矩形;

②菱形;

③對(duì)角線相等的四邊形；

④對(duì)角線互相垂直的四邊形.

A.①③B.②③C.②④D.③④

【分析】連接AC、BD,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AC=B。，根據(jù)三角形中位線定理得到EF

=—AC,FG=—BD,GH=—AC,EH=—BD,進(jìn)而得到EF=FG=GH=EH,根據(jù)菱

2222

形的判定定理即可判斷①，進(jìn)而可以判斷③；根據(jù)三角形中位線定理得到FG

//BD,進(jìn)而證明四邊形EFG”是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可判斷④，進(jìn)而可

以判斷②.

解：如圖1,連接AC、BD,

,??四邊形ABC。為矩形，

：.AC=BD,

;點(diǎn)E、F、G、”分別為AB、BC、CD、AO的中點(diǎn)，

：.EF=—AC,FG=—BD,GH=—AC,EH=—BD,

2222

:.EF=FG=GH=EH,

.?.四邊形所GH為菱形，故①不符合題意；

,??矩形的對(duì)角線相等，

順次連接對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)，所得圖形為菱形，故③不符合題意；

如圖2,E,F,G,〃分別是四邊形AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，

J.EH//BD,FG//BD,

J.EH//FG,

同理，EF//HG,

四邊形EFGH是平行四邊形，

"ACLBD,

J.EHLEF,

...四邊形EEGH是矩形，故④符合題意；

???菱形的對(duì)角線互相垂直，

.??順次連接菱形的各邊中點(diǎn)，所得圖形為矩形，故②符合題意；

故選：C.

圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，中點(diǎn)四邊形，掌握三角形中位

線定理、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

6.已知實(shí)數(shù)現(xiàn)甲、乙、丙、丁四人對(duì)關(guān)于尤的方程（m-2）-1=0討論如下，

則下列判斷正確的是（）

甲：該方程一定是乙：該方程有可能是丙：當(dāng)加W1時(shí)，該方T：當(dāng)相21且時(shí)，

關(guān)于X的一元二次關(guān)于X的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

方程程

A.甲和丙說(shuō)得對(duì)B.甲和丁說(shuō)得對(duì)

C.乙和丙說(shuō)得對(duì)D.乙和丁說(shuō)得對(duì)

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義對(duì)甲和乙的說(shuō)法進(jìn)行判斷；根據(jù)根的判別式的意義對(duì)

丙和丁的說(shuō)法進(jìn)行判斷.

解：當(dāng)加-2W0,即機(jī)W2時(shí)，方程（川-2）-1=0為一元二次方程，所以乙的判

斷正確；

當(dāng)7〃-2=0,即%=2,方程（機(jī)-2）1+2彳-1=0變形為2x-1=0,此時(shí)方程為一元一

次方程，所以甲的判斷錯(cuò)誤；

若機(jī)=2,解方程2x-1=0得了=]",

若7"W2,當(dāng)A20時(shí)，方程（in-2）x2+2x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即22-4（m-2）X

（-1）20,解得機(jī)N1且%#2,所以丁的判定正確；

若m#2,當(dāng)A<0時(shí)，方程-2)/+2x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即2?-4(??-2)X

(-1)<0,解得機(jī)<1,所以丙的判定錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程a^+bx+c=0(M0)的根與A=尻-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

7.用圖中兩個(gè)可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)做“配紫色”游戲：分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，若其中一個(gè)轉(zhuǎn)出

紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)出藍(lán)色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是()

【分析】將轉(zhuǎn)盤(pán)中藍(lán)色劃分為圓心角為120度的兩部分，將轉(zhuǎn)盤(pán)中紅色也劃分為圓心角

為120度的兩部分，畫(huà)樹(shù)狀圖列出所有等可能結(jié)果，根據(jù)概率公式求解即可.

解：根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

/N/T\ZN

藍(lán)紅紅藍(lán)紅紅藍(lán)紅紅

由樹(shù)狀圖可知共有9種等可能結(jié)果，其中能配成紫色的有4種結(jié)果，

那么可配成紫色的概率是,，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法求概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的

概率.

8.在△ACB中，ZABC=90°,用直尺和圓規(guī)在AC上確定點(diǎn)O,使ABADsACBD,根

據(jù)作圖痕跡判斷，正確的是()

【分析】若△瓦⑦可得/ADB=/BDC=90°,即8。是AC的垂線，根據(jù)作

圖痕跡判斷即可.

解：當(dāng)2。是AC的垂線時(shí)，ABADsLCBD.

"：BD±AC,

：.ZADB=ZCDB=90°,

VZABC=90°,

：.ZA+ZABD=ZABD+ZCBD=90",

ZA=ZCBD,

:.八BADs叢CBD.

根據(jù)作圖痕跡可知，

A選項(xiàng)中，8。是/ABC的平分線，不與AC垂直，不符合題意；

2選項(xiàng)中，2。是AC邊上的中線，不與AC垂直，不符合題意；

C選項(xiàng)中，BD是AC的垂線，符合題意；

。選項(xiàng)中，AB^AD,BD不與AC垂直，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查尺規(guī)作圖、相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解答本

題的關(guān)鍵.

9.某小區(qū)新增了一家快遞驛站，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞驛站攬

件日平均增長(zhǎng)率為無(wú)根據(jù)題意平均增長(zhǎng)率是（）

A.10%B.20%C.30%D.40%

【分析】利用第三天的攬件數(shù)=第一天的攬件數(shù)X（1+該快遞點(diǎn)這三天攬件日平均增長(zhǎng)

率）2,可列出關(guān)于X的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論.

解：根據(jù)題意得：200（1+x）2=242,

解得：xi=0.1=10%,xi=-2.1（不符合題意，舍去）.

答：該快遞點(diǎn)這三天攬件日平均增長(zhǎng)率為10%.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，平行四邊形ABCO中，E為4。上一點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)F.已知AE：ED=2：1,

則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.△△跖與△BCF的周長(zhǎng)比為2：3

B.與四邊形EPCD的面積比為6：11

C.若連接CE,則AAB尸與相似，且相似比為2：3

D.若題中條件“AE：EO=2：1”改為“點(diǎn)E為邊的黃金分割點(diǎn)，AE>ED”,則”

—在+1

2

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD=BC,AD//BC,從而可得線=3，再利用平

行線的性質(zhì)可得NE4C=/ACB,ZAEF=ZEBC,從而可得進(jìn)而利用

相似三角形的性質(zhì)即可判斷A；然后利用相似三角形的性質(zhì)可得怨="=§,從而可

得AAEF的面積：/XABF的面積=2：3,再設(shè)△AEF的面積為4a,則△BCF的面積為

9a,從而可得△ABF的面積=6訪進(jìn)而可得△ABC的面積=15”，再利用平行四邊形的性

質(zhì)可得AO=BC,AB=CD,從而利用SSS證明△ABC四△CD4,進(jìn)而可得AABC的面積

=Z\AC￡）的面積=15〃，再利用面積的和差關(guān)系可得四邊形EFCD的面積=11〃，從而可

得AAB廠的面積：四邊形EfCD的面積比=6：11,即可判斷8；再根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)可得冬=基，從而可得和△EFC不一定相似，即可判斷C；最后根據(jù)黃金分

CFBF

割的定義可得空■=」!>,從而可得繪=運(yùn)口，再利用相似三角形的性質(zhì)可得繪=

AD2BC2BC

竺=1」，從而進(jìn)行計(jì)算即可判斷O,即可解答.

解：：四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AD^BC,AD//BC,

?：AE；ED=2：1,

.AE2

,,石一=目，

.AE=2

'：AD//BC,

ZEAC=ZACB,ZAEF=ZEBC,

：.LAEFsACBF,

.?.△A斯與的周長(zhǎng)比為2：3；△AM與△BCF的面積比為4：9；

故A不符合題意；

AAEFsACBF,

.AE=EF=2

??前一麗一百，

.?.△AEF的面積：△ABF的面積=2：3,

設(shè)△AE尸的面積為4a,則△2CP的面積為9a,

AABF的面積=6。，

AABC的面積=的面積的面積=15a,

V四邊形ABC。是平行四邊形，

.".AD—BC,AB=CD,

?：AC=CA,

：.^ABC^ACDA(SSS),

AABC的面積=△AC。的面積=150,

，四邊形EFCD的面積=4ACD的面積-△AEF的面積=114,

.?.△ABF的面積：四邊形EFC。的面積比=6：11,

故8不符合題意；

如圖：連接EC,

E

AQ

BC

,：dAEFsACBF,

.AF=EF_

?于一麗’

/AFB=ZEFC,

：.AABF和不一定相似，

故C符合題意；

;點(diǎn)E為邊AD的黃金分割點(diǎn)，AE>ED,

.AEV5-1

"AD

.AE'而-1

"BC

△AEFs^CBF,

.AEAFV5-1

"BC-CF

?CF_2_2（/5+1）_V5+1

--

,,AFV5-I（V5-1）（V5+1）一_~，

故D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，黃金分割，熟練掌

握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.已知尤=1是方程x2+bx-2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是x=-2.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出X1X2=￡=-2,即可得出另一根的值.

a

解：?."=1是方程/+云-2=0的一個(gè)根，

?Cc

,?X1X2=-=-2,

a

1Xx2=-2,

則方程的另一個(gè)根是：X=-2,

故答案為x=-2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出兩根之積求出另一根是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

如圖1是液體沙漏的立體圖形，上下底面平行，液體沙漏某一時(shí)刻的平面示意圖如圖2,

圖3,則圖3中AB——cm.

【分析】根據(jù)“相似三角形的高的比等于相似比”列方程求解.

解：由題意得：上下兩個(gè)三角形全等，高為6,上下底面平行，

?.?4AB,

64

解得：AB=^f

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了認(rèn)識(shí)立體圖形，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

13.為迎接杭州亞運(yùn)會(huì)，政府計(jì)劃在長(zhǎng)為30米，寬為20米的矩形場(chǎng)地上修建如圖所示的道

路（圖中的陰影部分），其余部分鋪設(shè)草坪，草坪的總面積為560平方米，根據(jù)題意列

出的方程為（30-X）（20-尤）=560

【分析】根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算公式及道路的鋪設(shè)方式，可得出鋪設(shè)草坪的面積等

于長(zhǎng)為（30-x）米、寬（20-x）米的矩形面積，結(jié)合草坪的面積為560平方米，即可

得出關(guān)于X的一元二次方程，此題得解.

解：?.?道路的寬為X米，

???鋪設(shè)草坪的面積等于長(zhǎng)為(30-X)米、寬(20-X)米的矩形面積.

???草坪的面積為560平方米，

，(30-%)(20-%)=560.

故答案為：(30-尤)(20-%)=560.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，已知平行四邊形ABCO的面積為24,以B為位似中心，作平行四邊形ABC。的

位似圖形平行四邊形防FG,位似圖形與原圖形的位似比為連接AG、DG.則△ADG

的面積為4.

【分析】延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H,由題意可得四邊形是平行四邊形，則可得此平

行四邊形的面積為8,從而可得△AOG的面積.

解：延長(zhǎng)EG交C。于點(diǎn)H,如圖，

,/四邊形A2CZ)是平行四邊形，四邊形EBFG是平行四邊形，

：.AB//CD,AD//BC-BF//EG,

.,.AD//EG,

四邊形是平行四邊形，

SAADG=5s平行四邊形AEHh

?.?位似圖形與原圖形的位似比為反，

2

：?BE^AB，

即AE[AB，

O

???S平行四邊形AEHD=/S平行四邊形杷0)=8，

S^ADG^S平行四邊形AEHD=/x8=4-

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握這些性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

15.在平面直角坐標(biāo)系中，菱形O4BC如圖，邊8c交y軸于點(diǎn)OB,AO相交于點(diǎn)E,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0）,ZOCB=60°,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,2\握）.

【分析】由菱形的性質(zhì)可得0c=2C=0A=A8=4,ZOAB=ZOCB=60°,BC//OA,

可證△AOB和△80C是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可求BO=CD=3,。。=3百,

由相似三角形的性質(zhì)可求HE,所的長(zhǎng)，即可求解.

解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作于H,于E

:四邊形。4BC是菱形，/OC3=60°,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0）,

AOC=BC=OA=AB=4,ZOAB=ZOCB=60°,BC//OA,

.?.△492和42。。是等邊三角形，ZBDO=ZAOD=90Q,

:.BD=CD=3,ZDOB=3>0°,

：.OD=3y/3,

?：BC//OA,

:.△BDES^OAE,

.BDDE1

,,瓦話五，

.DEJ,坐上

"AD"J'AD"3'

?：HE//AO,

?DE_HE1

"AD=AQ=-y

.HE1

：.HE=2,

?：EF//DO,

.EFAE2

??瓦而一=.，

.EF=2

：.EF=2^,

.?.點(diǎn)E（2,2百）,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，靈

活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

16.(1)3N+8x-3=0；

(2)5x2+2x-1=0；

(3)2(x-3)2=x2-9.

【分析】(1)利用因式分解法求出方程的解即可；

(2)利用公式法求出方程的解即可；

(3)利用因式分解法求出方程的解即可.

解：(1)3N+8x-3=0,

(3x-1)(x+3)=0,

3x-1=0或x+3=0,

._1_Q

??X1----，X2--J；

3

(2)5x2+2x-1=0,

這里〃=5,b—2,c--1,

AA=22-4X5X(-1)=24>0,

?.-2±V24-l±V6

2X55

?丫_-1-*V6_-1-^/6.

??X\,X211；

55

(3)2(x-3)2=/-9,

2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,

(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0,

'.x-3=0或尤-9=0,

.*.xi=3,X2=9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意:

解一元二次方程的方法有直接開(kāi)平方法，公式法，配方法，因式分解法等.

17.一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“杭”、“州”、“亞”、“運(yùn)”、“會(huì)”的五

個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒(méi)有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.

(1)若從中任取一個(gè)球，求摸出球上的漢字剛好是“運(yùn)”的概率是《；

一5一

(2)小華和小林商定了一個(gè)游戲規(guī)則：搖勻后隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，若取出的兩個(gè)球上恰

好有漢字“運(yùn)”則小林獲勝；否則小華獲勝.請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)游

戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平.

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)畫(huà)樹(shù)狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，其中取出的兩個(gè)球上恰好有漢字“運(yùn)”的結(jié)

果有8種，沒(méi)有漢字“運(yùn)”的結(jié)果有12種，再由概率公式求出小林獲勝的概率和小華獲

勝的概率，即可得出結(jié)論.

解：(1)：一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“杭”、“州”、“亞”、“運(yùn)”、

“會(huì)”的五個(gè)小球，

從中任取一個(gè)球，求摸出球上的漢字剛好是“運(yùn)”的概率是《，

故答案為：!；

5

(2)這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平，理由如下：

畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

杭州亞運(yùn)會(huì)

“.di-心血

共有20種等可能的結(jié)果，其中取出的兩個(gè)球上恰好有漢字“運(yùn)”的結(jié)果有8種，沒(méi)有漢

字“運(yùn)”的結(jié)果有12種，

.?.小林獲勝的概率=/■=?!■，小華獲勝的概率=圣=號(hào)，

...小林獲勝的概率W小華獲勝的概率，

...這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了游戲公平性的判斷以及列表法與樹(shù)狀圖法求概率，判斷游戲公平性

就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=

所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

18.如圖，四邊形ABCZ)中，ZABC=90°,AD//BC,AD=BC,點(diǎn)E是AO上一點(diǎn)，連

接BE,CE,且/BEC=90°,點(diǎn)尸是2C的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形ABC。是矩形；

(2)若/ECD=30°,EF=4,求矩形的面積.

AED

【分析】(1)根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可解決問(wèn)題；

(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得2F=CP=EF=4,得3c=8,證

明是等邊三角形，得CD=MED=2M，然后利用矩形面積公式即可解決問(wèn)題.

【解答】(1)證明：AD=BC,

四邊形4BCO是平行四邊形，

VZABC=90°,

四邊形ABCD是矩形；

(2)解：：/BEC=90°,點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，

：?BF=CF=EF=4,

.*.BC=8,

VZEC￡>=30°,ZBC￡>=90°,

AZBCE=60°,

???△C斯是等邊三角形，

：.EC=EF=4,

???ED」EC=2,

2

CD=^J~^ED=2yJ~^,

；.矩形的面積=808=8X2近=16百.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，直角三角形斜邊上的中線,

平行四邊形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì).

19.某超市銷(xiāo)售一種襯衫.平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷(xiāo)售、增加盈

利，該超市準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間測(cè)算，發(fā)現(xiàn)每件襯衫每降低1元，平均每天可

多售出2件.

(1)在每件盈利不少于25元的前提下，要使該襯衫每天銷(xiāo)售獲利為1200元，問(wèn)每件襯

衫應(yīng)降價(jià)多少元？

(2)小明的觀點(diǎn)：“該襯衫每天的銷(xiāo)售獲利能達(dá)到1300元”，你同意小明的觀點(diǎn)嗎？

若同意，請(qǐng)求出每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？若不同意，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)能使商場(chǎng)每天盈利1200元列一元二次方程,

求解即可；

(2)設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)加元，根據(jù)商場(chǎng)每天盈利1300元列一元二次方程，求解即可.

解：(1)設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，

根據(jù)題意，得(40-x)(20+2%)=1200,

解得為=10,無(wú)2=20(舍去).

答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元；

(2)不同意，理由如下：

設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)機(jī)元，能使商場(chǎng)每天盈利1300元，

根據(jù)題意，得(40-m)(20+2m)=1300,

化簡(jiǎn)得m2-30"2+250=。，

A=900-4X1X250=-100<0,

.??原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，

商場(chǎng)每天的盈利不可能達(dá)到1300元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

20.數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要.我們經(jīng)常運(yùn)用轉(zhuǎn)化、

類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般等思想方法來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題.

如圖①，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段2C上一點(diǎn)，AG與

DE相交于點(diǎn)H若空=3,求2?■的值.

EFBG

【嘗試探究】在圖①中，過(guò)點(diǎn)E作即〃AD交AG于點(diǎn)X,則得的值為3,■!!?的

值為2,罷■的值為.

----BG-2-

【類(lèi)比延伸】如圖②，在①的條件下，若絲=a，則黑的值為吃（用含a的代數(shù)

式表示）.

【拓展遷移】如圖③，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是回邊的中點(diǎn)，若點(diǎn)G在線段C3

的延長(zhǎng)線上，AG交。E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E若絲=ir，則繪的值為4（用含力的代

EFBG-2一

數(shù)式表示）.

【分析】【嘗試探究】由點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，得AB=2AE,由平行四邊形的性質(zhì)得BC

=AD,BC//AD,則△AFDs△”尸￡,得膽=或=3,貝I]BC=AD=3EH,再證明△ABG

EHEF

sAAEH,得鐺=黑=2,所以BG=2E"，則暮=言，于是得到問(wèn)題的答案;

EHAEBG2

【類(lèi)比延伸】作瓦〃A。交AG于點(diǎn)L則△AEDS/^LEE,得膽=更=°,貝ijBC=A。

ELEF

=a?EL,再證明△ABGSAAEL得苧=綽=2,所以BG=2EL則毀=告，于是得

ELAEBG2

到問(wèn)題的答案；

【拓展遷移】作E/〃D4交AG于點(diǎn)/,則△AQPS&ER得粵二式一小則BC=D4

EIEF

得黑=繪=所以BG=2EI,則磐=個(gè)，于是得

=m*EI,再證明AABGs△AE7,2,

ElABBG2

到問(wèn)題的答案.

解：【嘗試探究】如圖①，???點(diǎn)E是A3邊的中點(diǎn),

.'.AE—BE,

：.AB=2AE,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，桌=3,

EF

：.BC=AD,BC//AD,

:.AD〃EH,

：.△AFDs^HFE,

.ADDFQ

EHEF

：.BC=AD=3EH,

：.BG//AD,EH//AD,

：.BG//EH,

：.△ABGs^AEH,

.BG=AB=2

??麗―瓦一，

：.BG=2EH,

?BC_3EH_3

?,而一西一萬(wàn)，

故答案為：3,2,壹.

【類(lèi)比延伸】如圖②，作或〃交AG于點(diǎn)乙,

DF

■:AD//EL,—=a,

EF

???AAFD^ALFE,

.,.-A-D=-D-F-a,

ELEF

:.BC=AD=a?EL,

J.BG//AD,EL//AD,

J.BG//EL,

：.AABG^AAEL,

,BG=AB=?

?五一瓦一，

；?BG=2EL,

?BC_awEL_a

.而—2EL—5'

故答案為：

【拓展遷移】如圖③，作石/〃ZM交AG于點(diǎn)/,

：DA//EI,—DF=m,

EF

??AADF^A/EF,

?

?D=A---DF-m,

EIEF

??BC=DA=m?EI,

：BG//DA,EI//DA,

\BG//EI,

\AABG^AAE/,

.BG=AB=?

?西一瓦一‘

??BG=2EI,,

?BC_m

’?而―-—T

圖②

圖①

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查線段中點(diǎn)的定義、平行線邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、

數(shù)形結(jié)合與類(lèi)比、轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確

地作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

21.操作與探究

【操作】在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)們對(duì)如圖1的AABC紙片進(jìn)行以下操作，并探

究其中的問(wèn)題：

第一步：如圖2,沿過(guò)點(diǎn)8的直線折疊，使得點(diǎn)A落在BC上，展開(kāi)鋪平該紙片，折痕為

BD；

第二步：如圖3,繼續(xù)折疊該紙片，使得點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，展開(kāi)鋪平該紙片，折痕為EE

第三步：如圖4,連接。E,DF.

【探究】

任務(wù)一：判斷四邊形2即尸的形狀，并說(shuō)明理由；

任務(wù)二：在4ABC紙片中，若/4BC=60°,折痕EF=2,四邊形BEDF的面積為

2百

圖1圖2圖3圖4

【分析】任務(wù)一：設(shè)EF交BD于點(diǎn)I,由折疊得點(diǎn)D與點(diǎn)2關(guān)于直線

EP對(duì)稱(chēng)，則EP垂直平分2D,所以NBIE=NBIF=90°,DE=BE,DF=BF,可根據(jù)

“ASA”證明△BE/也△BF/,得BE=BF,貝！JDE=BE=BF=DF,即可根據(jù)“四條邊都

相等的四邊形是菱形”證明四邊形2瓦不是菱形；

任務(wù)二：由NABC=60°,BE=BF,證明ABE歹是等邊三角形，則8E=EF=2,由菱形

的性質(zhì)得EI=FI=3EF=1,BI=DI,而/3加=90°,即可根據(jù)勾股定理求得BI=

VBE2-EI2=5/3,則BO=2B/=2Q,則S四邊形BE￡>F=《BO?EF=2Q,于是得到問(wèn)

題的答案.

解：任務(wù)一：四邊形BE。尸是菱形，

理由：如圖4,設(shè)EF交BD于點(diǎn)1,

■：將AABC沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使得點(diǎn)A落在BC上，

ZABD=ZCBD,

?.?將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)。重合，折痕為EF,

/.點(diǎn)。與點(diǎn)2關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，

.?.E尸垂直平分BD,

ZBIE=ZBIF=90°,DE=BE,DF=BF,

在△BE/和△B/7中，

，ZBIE=ZBIF

■BI=BI，

,ZEBI=ZFBI

:.4BEI咨ABFI(ASA),

:.BE=BF,

：.DE=BE=BF=DF,

.??四邊形BE。尸是菱形.

任務(wù)二：如圖4,-：ZABC=60°,BE=BF,

.?.△BEE是等邊三角形，

：.BE=EF=2,

??,四邊形BEDE是菱形，

：.EI=FI=—EF=\,BI=DI,

2

?：EF±BD,

：.ZBZE=90°,

?**BI=/BE2-EI：=722-l2=73，

：.BD=2BI=2y/3,

...S四邊形BE。F=9Z>EF=〈X2X2、/^=2五，

故答案為：2百.

A

圖4

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與

性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形的面積公式等知

識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，設(shè)EF交BD于點(diǎn)、I,證明△BE/哈是解題的關(guān)鍵.

22.綜合與實(shí)踐

【模型探索】如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊DC,BC±,若APLBE,

則AF與BE的數(shù)量關(guān)系