八年級數(shù)學下冊同步練習 第13課 正方形（原卷版+解析）

第13課正方形目標導航目標導航課程標準1．理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2．掌握正方形的性質(zhì)及判定方法．知識精講知識精講知識點01正方形的定義四條邊都，四個角都是的四邊形叫做正方形.注意：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.知識點02正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊、鄰邊、對邊；2.角——四個角都是；3.對角線——①，②互相，③每條對角線；4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.注意：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.知識點03正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是，再證明它；或先證四邊形是，再證明它.知識點04特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：知識點05順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀(1)順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是.(2)順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是.(3)順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是.(4)順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是.注意：新四邊形由原四邊形各邊中點順次連接而成.(1)若原四邊形的，則新四邊形是矩形.(2)若原四邊形的，則新四邊形是菱形.(3)若原四邊形的，則新四邊形是正方形.能力拓展能力拓展考法01正方形的性質(zhì)【典例1】如圖，直線L上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為1和9，則b的面積為(

)A．8 B．9 C．10 D．11【即學即練】如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點B、D作BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長為__．【即學即練】如圖所示，，，以為邊作正方形，求，的坐標.【典例2】矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是(

)A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分且相等【典例3】如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點．若△CEF的周長為18，則OF的長為()A．3 B．4 C． D．【典例4】如圖，在正方形中，點是的中點，連接，過點作交于點，交于點．(1)證明：；(2)連接，證明：．【典例5】如圖，四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，CE與BG交于點M，點M在△ABC的外部．(1)求證：BG＝CE；(2)求證：CE⊥BG；(3)求：∠AME的度數(shù)．【典例6】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是BC上的一點，且∠AEF=90°，延長AE交BC的延長線于點G,(1)求GE的長；(2)求證：AE平分∠DAF；(3)求CF的長.考法02正方形的判定【典例7】在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的條件是()A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【典例8】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE，(1)求證：四邊形AEBD是矩形；(2)當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由．【典例9】已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．【典例10】已知，如圖，四邊形ABCD是菱形，∠B是銳角，AF⊥BC于點F，CH⊥AD于點H，在AB邊上取點E，使得AE＝AH，在CD邊上取點G，使得CG＝CF．聯(lián)結(jié)EF、FG、CH、HE．(1)求證：四邊形EFGH是矩形．(2)若∠B＝45度，求證:四邊形EFGH是正方形．考法03正方形的綜合應用【典例11】如圖，邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積(

)A．不變 B．先增大再減小C．先減小再增大 D．不斷增大【典例12】如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正確結(jié)論有()A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【典例13】正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°.將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.(1)求證：EF=FM(2)當AE=1時，求EF的長．【典例14】如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E、F分別在AB、BC上(AE＜BE)，且∠EOF=90°，OE、DA的延長線交于點M，OF、AB的延長線交于點N，連接MN．(1)求證：OM=ON．(2)若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點，求MN的長．【典例15】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點(點D不與B，C重合)，以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，(1)觀察猜想如圖1，當點D在線段BC上時，①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；(將結(jié)論直接寫在橫線上)(2)數(shù)學思考如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．(3)拓展延伸如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請求出GE的長．【典例16】如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由；(2)性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對角線、交于點，．試證明：；(3)解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)、、．已知，，求的長．分層提分分層提分題組A基礎過關(guān)練1．下列命題中，真命題是()．A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形2．如圖，平行四邊形,對角線交于點,下列選項錯誤的是(

)A．互相平分B．時，平行四邊形為矩形C．時，平行四邊形為菱形D．時，平行四邊形為正方形3．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，則∠BED為()A．45° B．15° C．10° D．125°4．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別沿AE、AF折疊，點B、D恰好都落在點G處，已知BE＝1，則EF的長為(

)A． B． C． D．35．如圖，延長正方形ABCD的一邊BC到E，使CE=AC，連接AE交CD于F，則∠AFC的度數(shù)是(

)A． B． C． D．6．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AB上，AE＝1，若點P為對角線BD上的一個動點，則△PAE周長的最小值是()A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，正方形ABCD的邊長是2，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別在邊AD、AB上，且OE⊥OF，則四邊形AFOE的面積是()A．4 B．2 C．1 D．8．正方形是有一組鄰邊_______，并且有一個角是_______的平行四邊形，因此它既是______又是________．題組B能力提升練9．以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數(shù)是_____．10．如圖，平面直角坐標系中有一正方形，點的坐標為點坐標為________．11．如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四邊形ACEF是正方形，則EF的長為_____．12．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的動點，則PE和PA的長度之和最小值為___________．13．如圖，在邊長為的正方形中，點分別是邊的中點，連接點分別是的中點，連接，則的長度為__________．14．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，點F是邊BC上不與點B、C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為_____________.題組C培優(yōu)拔尖練15．如圖，四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形EFGH叫中點四邊形．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)如圖，當四邊形ABCD變成等腰梯形時，它的中點四邊形是菱形，請你探究并填空：當四邊形ABCD變成平行四邊形時，它的中點四邊形是；當四邊形ABCD變成矩形時，它的中點四邊形是；當四邊形ABCD變成菱形時，它的中點四邊形是；當四邊形ABCD變成正方形時，它的中點四邊形是；(3)根據(jù)以上觀察探究，請你總結(jié)中點四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的？16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．(1)求證：∠ADB=∠CDB；(2)若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．17．已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點D、E分別是邊AB、BC的中點，點F、G是邊AC的三等分點，DF、EG的延長線相交于點H，連接HA、HC．(1)求證：四邊形FBGH是菱形；(2)求證：四邊形ABCH是正方形．18．如圖，正方形ABCD中，以對角線BD為邊作菱形BDFE，使B，C，E三點在同一直線上，連接BF，交CD于點G．(1)求證：CG=CE；(2)若正方形邊長為4，求菱形BDFE的面積．19．如圖①，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB(1)求證：△BCP≌△DCP；(2)求證：∠DPE=∠ABC；(3)把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變(如圖②)，若∠ABC=58°，則∠DPE=度．第13課正方形目標導航目標導航課程標準1．理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；2．掌握正方形的性質(zhì)及判定方法．知識精講知識精講知識點01正方形的定義四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.注意：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.知識點02正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；2.角——四個角都是直角；3.對角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對角線平分一組對角；4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.注意：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.知識點03正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形).知識點04特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：知識點05順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀(1)順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形.(2)順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形.(3)順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形.(4)順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形.注意：新四邊形由原四邊形各邊中點順次連接而成.(1)若原四邊形的對角線互相垂直，則新四邊形是矩形.(2)若原四邊形的對角線相等，則新四邊形是菱形.(3)若原四邊形的對角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.能力拓展能力拓展考法01正方形的性質(zhì)【典例1】如圖，直線L上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為1和9，則b的面積為(

)A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】【分析】運用正方形邊長相等，再根據(jù)同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，進而利用AAS可證明△ACB≌△DCE，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=∠ABC=∠DEC=90°，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ACB≌△CDE(AAS)，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=1+9=10，∴b的面積為10，故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．【即學即練】如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，分別過正方形的頂點B、D作BF⊥a于點F，DE⊥a于點E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長為__．【答案】13【解析】【分析】本題是典型的一線三角模型，根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形兩個銳角互余以及等量代換可以證得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的對應邊相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．【詳解】解：∵ABCD是正方形(已知)∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°∴∠FBA＝∠EAD(等量代換)∵BF⊥a于點F，DE⊥a于點E∴在Rt△AFB和Rt△AED中∵∴△AFB≌△DEA(AAS)∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5(全等三角形的對應邊相等)∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13故答案為：13【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及熟悉一線三角模型是解本題的關(guān)鍵．【即學即練】如圖所示，，，以為邊作正方形，求，的坐標.【答案】；【解析】【分析】本題有、兩個點都在坐標軸上，且正方形在坐標軸的同側(cè)(基本上在第二象限)，故只須過，兩點分別向坐標軸作垂線即可.作CE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，證明△BCE≌△ABO，得出對應邊相等BE=OA=1，CE=BO=3，同理得出DF=OA=1，AF=BO=3，再求出OE、OF，即可得出結(jié)果．【詳解】解：作CE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，如圖所示：則∠CEB=∠AFD=90°，∴∠1+∠3=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△BCE和△ABO中，，∴△BCE≌△ABO(AAS)，∴BE=OA=1，CE=BO=3，同理得：DF=OA=1，AF=BO=3，∴OE=4，OF=4，∴C(-3，4)，D(-4，1)．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)；通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．當正方形的部分點在坐標軸上，且整個正方形在坐標軸的同側(cè)時，往往過另外的點向坐標軸作垂線，從而得到“形外三垂直”的基本圖形.【典例2】矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是(

)A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分且相等【答案】B【解析】【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，因而平行四邊形的性質(zhì)就是四個圖形都具有的性質(zhì)．【詳解】解：平行四邊形的對角線互相平分，而對角線相等、平分一組對角、互相垂直不一定成立．故平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是：對角線互相平分．故選B．【點睛】本題主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四邊形的性質(zhì)，理解四個圖形之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【典例3】如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點．若△CEF的周長為18，則OF的長為()A．3 B．4 C． D．【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE的長，再由勾股定理得出CD的長，進而可得出BE的長，由三角形中位線定理即可得出結(jié)論．【詳解】∵CE=5，△CEF的周長為18，∴CF+EF=18-5=13．∵F為DE的中點，∴DF=EF．∵∠BCD=90°，∴CF=DE，∴EF=CF=DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O為BD的中點，∴OF是△BDE的中位線，∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5，故選D．【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，涉及到直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，難度適中．使用勾股定理是解決這個問題的關(guān)鍵．【典例4】如圖，在正方形中，點是的中點，連接，過點作交于點，交于點．(1)證明：；(2)連接，證明：．【答案】(1)見解析；(2)見解析.【解析】【分析】(1)依據(jù)正方形的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC，∠DAG=∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；(2)延長DE交AB的延長線于H，根據(jù)△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中點，進而得到AB=FB．【詳解】證明：(1)四邊形是正方形，，又，，，(2)如圖所示，延長交的延長線于，是的中點，，又，，，即是的中點，又，中，．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．【典例5】如圖，四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，CE與BG交于點M，點M在△ABC的外部．(1)求證：BG＝CE；(2)求證：CE⊥BG；(3)求：∠AME的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，，然后求出，再利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得；(2)設、相交于點，根據(jù)全等三角形對應角相等可得，然后求出，根據(jù)垂直的定義可得；(3)過作，的垂線段交于點，，證明是角平分線可得答案．(1)解：證明：在正方形和中，，，，，即，在和中，，，；(2)解：證明：設、相交于點，，，，，；(3)解：過作，的垂線段交于點，，，，，，，是角平分線，，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，的垂線段是難點，運用全等三角形的性質(zhì)也是關(guān)鍵．【典例6】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是BC上的一點，且∠AEF=90°，延長AE交BC的延長線于點G,(1)求GE的長；(2)求證：AE平分∠DAF；(3)求CF的長.【答案】(1)(2)證明見解析(3)CF=1【解析】【詳解】(1)解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC∴∠D=∠DCG=90°，∠DAE=∠G∵E是CD的中點∴DE=CE∴△ADE≌△GCE∴AD=CG∵AD=DC=4∴CG=4，CE=2在Rt△GCE中，GE=(2)證明：由(1)得：△ADE≌△GCE∴AE=GE∵∠AEF=90°∴EF垂直平分AG∴AF=GF∴∠FAE=∠G∵∠DAE=∠G∴∠FAE=∠DAE∴AE平分∠DAF(3)解：在正方形ABCD中∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4∴DE=CE=2設CF=x，則BF=4-x根據(jù)勾股定理得：AF2=AB2+BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2EF2=CF2+CE2=x2+22=x2+4AE2=AD2+DE2=42+22=20在Rt△AEF中，AF2=EF2+AE2∴32-8x+x2=x2+4+20解得:x=1∴CF=1考法02正方形的判定【典例7】在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的條件是()A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)正方形的判定：對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形進行分析從而得到最后的答案．解：A，不能，只能判定為矩形；B，不能，只能判定為平行四邊形；C，能；D，不能，只能判定為菱形．故選C．【典例8】如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE，(1)求證：四邊形AEBD是矩形；(2)當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)當∠BAC=90°時，矩形AEBD是正方形．理由如下見解析．【解析】【分析】(1)利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB=90°，即可得出答案；(2)利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=CD，進而利用正方形的判定得出即可．【詳解】(1)證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四邊形AEBD是矩形；(2)當∠BAC=90°時，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD=BD=CD，∵由(1)得四邊形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．【點睛】本題考查矩形和正方形的判定，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)．掌握特殊四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．【典例9】已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)首先證得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；(2)由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠CBE=180×=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形．【詳解】(1)在△ADE與△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AD=CD，∴四邊形ABCD是菱形；(2)∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×=45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形．【典例10】已知，如圖，四邊形ABCD是菱形，∠B是銳角，AF⊥BC于點F，CH⊥AD于點H，在AB邊上取點E，使得AE＝AH，在CD邊上取點G，使得CG＝CF．聯(lián)結(jié)EF、FG、CH、HE．(1)求證：四邊形EFGH是矩形．(2)若∠B＝45度，求證:四邊形EFGH是正方形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)利用菱形的性質(zhì)，AF⊥BC，CH⊥AD，可證四邊形AFCH為矩形，得AH=CF，再證明△AEH≌△CFG(SAS)，△BEF≌△DGH(SAS)，得到EH=FG，EF=GH，證得四邊形EFGH是平行四邊形，進一步證得∠HEF=90°，得出結(jié)論．(2)連結(jié)BD，F(xiàn)H，AC，設BD、AC、FH相交于點O.利用菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，證明∠EFH=45°，進一步證明EF=EH，得出結(jié)論．(1)證明∵四邊形ABCD是菱形∴ADBC，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴∠ABC+∠BAD=180°∵AF⊥BC，CH⊥AD∴∠AFC=∠AHC=90°∵ADBC∴∠FAH=180°－∠AFC=90°∴四邊形AFCH為矩形，∴AH=CF∵AE＝AH，CG＝CF∴AH＝CF＝AE＝CG，BF=BE=DH=DG∴△AEH≌△CFG(SAS)，△BEF≌△DGH(SAS)∴EH=FG，EF=GH∴四邊形EFGH是平行四邊形∵BE＝BF∴△BEF是等腰三角形∴∠BEF=∠BFE=(180°－∠ABC)=90°-∠ABC同理可得∠AEH=∠BAD∴∠BFE+∠AEH=(∠ABC+∠BAD)=90°∴∠HEF=180°－(∠BFE+∠AEH)=90°∴四邊形EFGH是矩形．(2)證明：如圖，連結(jié)BD，F(xiàn)H，AC，設BD、AC、FH相交于點O.∵四邊形ABCD是菱形∴ADBC，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD∴∠ADB=∠CBD，△ABD是等腰三角形，∠BOC==90°∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=22.5°∴∠BCO=180°-∠CBD-∠BOC=67.5°∵四邊形AFCH為矩形∴OF=OC，∠AFC=90°∴△FOC是等腰三角形∴∠OFC=∠BCO=67.5°∴∠AFH=∠AFC-∠OFC=22.5°∵BE＝BF∴△BEF是等腰三角形∴∠BEF=∠BFE=(180°－∠ABC)=90°-∠ABC=67.5°∵AF⊥BC∴∠AFB=90°∴∠AFE=∠AFB-∠BFE=22.5°∴∠EFH=∠AFE+∠AFH=45°∵四邊形EFGH是矩形∴∠FEH=90°∴∠EHF=180－∠FEH－∠EFH=45°∴∠EFH=∠EHF∴EF=EH∴四邊形EFGH是正方形．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點，綜合性較強，關(guān)鍵在于靈活應用相關(guān)知識．考法03正方形的綜合應用【典例11】如圖，邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積(

)A．不變 B．先增大再減小C．先減小再增大 D．不斷增大【答案】A【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)得到OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOM=∠CON，證明△OBM≌△OCN(ASA)，得到兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積=，由此得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD和OEFG都是正方形，∴OB=OC，∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，∴∠BOM=∠CON，∴△OBM≌△OCN(ASA)，∴，∴兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積=，故選：A．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【典例12】如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正確結(jié)論有()A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【解析】【分析】由四邊形ABCD與四邊形EFGC都為正方形,得到四條邊相等,四個角為直角,利用SAS得到三角形BCE與三角形DCG全等,利用全等三角形對應邊相等即可得到BE=DG,利用全等三角形對應角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定義得到∠BOD為直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.【詳解】解：①∵四邊形ABCD和EFGC都為正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故結(jié)論①正確.②如圖所示，設BE交DC于點M，交DG于點O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②結(jié)論正確.③如圖所示，連接BD、EG，由②知，BE⊥DG，則在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③結(jié)論正確.故選：D.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，正方形的性質(zhì).【典例13】正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°.將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.(1)求證：EF=FM(2)當AE=1時，求EF的長．【答案】(1)見解析；(2).【解析】【分析】(1)由折疊可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；(2)由第一問的全等得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用AB-AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長．【詳解】(1)∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDM=45°，∵

DF=DF，∴△DEF≌△DMF，∴

EF=MF(2)設EF=x，∵AE=CM=1，

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，∵EB=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得，即，解得，.【典例14】如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E、F分別在AB、BC上(AE＜BE)，且∠EOF=90°，OE、DA的延長線交于點M，OF、AB的延長線交于點N，連接MN．(1)求證：OM=ON．(2)若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點，求MN的長．【答案】(1)見解析；(2)MN=2【解析】【分析】(1)證△OAM≌△OBN即可得；(2)作OH⊥AD，由正方形的邊長為4且E為OM的中點知OH=HA=2，HM=4，再根據(jù)勾股定理得OM=2，由直角三角形性質(zhì)知MN=OM=2．【詳解】解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM=ON；(2)如圖，過點O作OH⊥AD于點H，∵正方形的邊長為4，∴OH=HA=2，∵E為OM的中點，∴HM=4，則OM==2，∴MN=OM=2．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的四條邊都相等，正方形的每條對角線平分一組對角及全等三角形的判定與性質(zhì)．【典例15】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點(點D不與B，C重合)，以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，(1)觀察猜想如圖1，當點D在線段BC上時，①BC與CF的位置關(guān)系為：．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：；(將結(jié)論直接寫在橫線上)(2)數(shù)學思考如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．(3)拓展延伸如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請求出GE的長．【答案】(1)CF⊥BD，BC=CF+CD；(2)成立，證明詳見解析；(3).【解析】【分析】(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DE，∠ADE=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NE=CM，EM=CN，由角的性質(zhì)得到∠ADH=∠DEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=BC=4，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：(1)①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；(2)成立，∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，CF=BD∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；(3)解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BC=2，∴CD=BC=1，CH=BC=2，∴DH=3，由(2)證得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四邊形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，在△ADH與△DEM中，，∴△ADH≌△DEM，∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=3，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=1，∴EG=．【點睛】考點：四邊形綜合題.【典例16】如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)概念理解：如圖2，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由；(2)性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對角線、交于點，．試證明：；(3)解決問題：如圖3，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)、、．已知，，求的長．【答案】(1)四邊形是垂美四邊形，理由見解析；(2)證明見解析；(3).【解析】【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的判定定理，可證直線是線段的垂直平分線，結(jié)合“垂美四邊形”的定義證明即可；(2)根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；(3)連接、，先證明，得到∴，可證，即，從而四邊形是垂美四邊形，根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合(2)的結(jié)論計算即可．【詳解】(1)四邊形是垂美四邊形．證明：連接AC，BD，∵，∴點在線段的垂直平分線上，∵，∴點在線段的垂直平分線上，∴直線是線段的垂直平分線，∴，即四邊形是垂美四邊形；(2)猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．如圖2，已知四邊形中，，垂足為，求證：證明：∵，∴，由勾股定理得，，，∴；故答案為．(3)連接、，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，又，∴，即，∴四邊形是垂美四邊形，由(2)得，，∵，，∴，，，∴，∴．【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎過關(guān)練1．下列命題中，真命題是()．A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】C【解析】【詳解】解：A、兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項錯誤；B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項錯誤；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項正確；D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項錯誤．故選C．2．如圖，平行四邊形,對角線交于點,下列選項錯誤的是(

)A．互相平分B．時，平行四邊形為矩形C．時，平行四邊形為菱形D．時，平行四邊形為正方形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形的性質(zhì)，逐一判定即可得解.【詳解】A選項，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，即可判定正確；B選項，對角線相等的平行四邊形是矩形，正確；C選項，對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，正確；D選項，并不能判定其為正方形；故答案為D.【點睛】此題主要考查平行四邊形、矩形、菱形和正方形的判定，熟練掌握，即可解題.3．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，則∠BED為()A．45° B．15° C．10° D．125°【答案】A【解析】【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，進而可得，又因為，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，易得的大小，進而可求出的度數(shù).【詳解】是等邊三角形，，，四邊形是正方形，，，，，，.故選：.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應用，解此題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)，難度適中.4．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別沿AE、AF折疊，點B、D恰好都落在點G處，已知BE＝1，則EF的長為(

)A． B． C． D．3【答案】B【解析】【詳解】【分析】由圖形折疊可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的邊長為3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；最后由勾股定理可以求得答案.【詳解】由圖形折疊可得BE=EG，DF=FG，∵正方形ABCD的邊長為3，BE=1，∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，在直角三角形ECF中，∵EF2=EC2+CF2，∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，解得GF=，∴EF=1+=．故正確選項為B.【點睛】此題考核知識點是：正方形性質(zhì)；軸對稱性質(zhì)；勾股定理.解題的關(guān)鍵在于：從圖形折疊過程找出對應線段，利用勾股定理列出方程.5．如圖，延長正方形ABCD的一邊BC到E，使CE=AC，連接AE交CD于F，則∠AFC的度數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方形的對角線的性質(zhì)，可得∠ACD＝∠ACB＝45°，進而可得∠ACE的大小，再根據(jù)三角形外角定理，結(jié)合CE＝AC，易得∠CEF＝22.5°，再由三角形外角定理可得∠AFC的大小．【詳解】解：AC是正方形的對角線，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝135°，又∵CE＝AC∴∠CEF＝22.5°，∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°；故選B．【點睛】此題主要考查了正方形的對角線平分對角的性質(zhì)．6．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AB上，AE＝1，若點P為對角線BD上的一個動點，則△PAE周長的最小值是()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】【分析】連接AC、CE，CE交BD于P，此時AP+PE的值最小，求出CE長，即可求出答案．【詳解】解：連接AC、CE，CE交BD于P，連接AP、PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C關(guān)于BD對稱，∴AP＝CP，即AP+PE＝CE，此時AP+PE的值最小，所以此時△PAE周長的值最小，∵正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AB上，AE＝1，∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，由勾股定理得：CE＝5，∴△PAE的周長的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與軸對稱——最短路徑問題，知識點比較綜合，屬于較難題型.7．如圖，正方形ABCD的邊長是2，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別在邊AD、AB上，且OE⊥OF，則四邊形AFOE的面積是()A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA證明△AOE≌△BOF，從而可得△AOE的面積＝△BOF的面積，進而可得四邊形AFOE的面積＝正方形ABCD的面積，問題即得解決．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF(ASA)，∴△AOE的面積＝△BOF的面積，∴四邊形AFOE的面積＝正方形ABCD的面積＝×22＝1；故選C．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．正方形是有一組鄰邊_______，并且有一個角是_______的平行四邊形，因此它既是______又是________．【答案】

相等

直角

矩形

菱形【解析】【分析】根據(jù)正方形的定義和性質(zhì)填空即可．【詳解】正方形是有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形，因此它既是矩形又是菱形．故答案為：相等，直角，矩形，菱形【點睛】本題考查了正方形的定義，解題關(guān)鍵是明確正方形的定義：正方形是有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形，因此它既是矩形又是菱形．題組B能力提升練9．以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數(shù)是_____．【答案】30°或150°．【解析】【分析】分等邊△ADE在正方形的內(nèi)部和外部兩種情況分別求解即可得．【詳解】如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，則∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°；如圖2，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=×(180°﹣30°)=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°，故答案為30°或150°．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)、運用分類討論思想畫出符合題意的圖形并準確識圖是解題的關(guān)鍵．10．如圖，平面直角坐標系中有一正方形，點的坐標為點坐標為________．【答案】【解析】【分析】過點作軸于，過點作軸，過點作交CE的延長線于．先證明，得到，，根據(jù)點的坐標定義即可求解．【詳解】解：如圖，過點作軸于，過點作軸，過點作交CE的延長線于．，，．四邊形是正方形，．易求．又∴，，，點的坐標為，，點到軸的距離為，點的坐標為．故答案為：【點睛】本題考查了平面直角坐標系點的坐標，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．11．如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四邊形ACEF是正方形，則EF的長為_____．【答案】3【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB=BC，且∠B=60°，可得AC=AB=3，由正方形的性質(zhì)可得AC=EF=3．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形∴AB=BC，且∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=3，∵四邊形ACEF是正方形，∴AC=EF=3故答案為3【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．12．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的動點，則PE和PA的長度之和最小值為___________．【答案】【解析】【分析】利用軸對稱最短路徑求法，得出A點關(guān)于BD的對稱點為C點，再利用連接EC交BD于點P即為最短路徑位置，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：連接AC，EC，EC與BD交于點P，此時PA+PE的最小，即PA+PE就是CE的長度∵正方形ABCD中，BE=2，AE=1，∴BC=AB=3，∴CE===，故答案為.【點睛】本題考查利用軸對稱求最短路徑問題以及正方形的性質(zhì)和勾股定理，利用正方形性質(zhì)得出A，C關(guān)于BD對稱是解題關(guān)鍵．13．如圖，在邊長為的正方形中，點分別是邊的中點，連接點分別是的中點，連接，則的長度為__________．【答案】1【解析】【分析】過E作，過G作，過H作，與相交于I，分別求出HI和GI的長，利用勾股定理即可求解．【詳解】過E作，過G作，過H作，垂足分別為P，R，R，與相交于I，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∴四邊形AEPD是矩形，∴，∵點E，F(xiàn)分別是AB，BC邊的中點，∴，，，∵點G是EC的中點，是的中位線，，同理可求：，由作圖可知四邊形HIQP是矩形，又HP=FC，HI=HR=PC，而FC=PC，∴，∴四邊形HIQP是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，故答案為：1．【點睛】此題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線與勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．14．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，點F是邊BC上不與點B、C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為_____________.【答案】16或4.【解析】【詳解】(1)當B′D=B′C時，過B′點作GH∥AD，則∠B′GE=90°，當B′C=B′D時，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13．由翻折的性質(zhì)，得B′E=BE=13，∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，∴B′G===12，∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，∴DB′===；(2)當DB′=CD時，則DB′=16(易知點F在BC上且不與點C、B重合)；(3)當CB′=CD時，∵EB=EB′，CB=CB′，∴點E、C在BB′的垂直平分線上，∴EC垂直平分BB′，由折疊可知點F與點C重合，不符合題意，舍去．綜上所述，DB′的長為16或．故答案為16或．考點：1．翻折變換(折疊問題)；2．分類討論．題組C培優(yōu)拔尖練15．如圖，四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形EFGH叫中點四邊形．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)如圖，當四邊形ABCD變成等腰梯形時，它的中點四邊形是菱形，請你探究并填空：當四邊形ABCD變成平行四邊形時，它的中點四邊形是；當四邊形ABCD變成矩形時，它的中點四邊形是；當四邊形ABCD變成菱形時，它的中點四邊形是；當四邊形ABCD變成正方形時，它的中點四邊形是；(3)根據(jù)以上觀察探究，請你總結(jié)中點四邊形的形狀由原四邊形的什么決定的？【答案】(1)相等；(2)垂直；(3)見解析.【解析】【分析】(1)連接BD．利用三角形中位線定理推出所得四邊形對邊平行且相等，故為平行四邊形；(2)連接AC、BD．根據(jù)三角形的中位線定理，可以得到所得四邊形的兩組對邊分別和原四邊形的對角線平行，且分別等于原四邊形的對角線的一半,再根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定方法進行判定即可(3)由(2)可知，中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的關(guān)系決定的．【詳解】(1)證明：連接BD．∵E、H分別是AB、AD的中點，∴EH是△ABD的中位線．∴EH=BD，EH∥BD．同理得FG=BD，F(xiàn)G∥BD．∴EH=FG，EH∥FG．∴四邊形EFGH是平行四邊形．(2)連接AC、BD．根據(jù)三角形的中位線定理，可以得到所得四邊形的兩組對邊分別和原四邊形的對角線平行，且分別等于原四邊形的對角線的一半．若順次連接對角線相等的四邊形各邊中點，則所得的四邊形的四條邊都相等，故所得四邊形為菱形；若順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點，則所得的四邊形的四個角都是直角，故所得四邊形為矩形；若順次連接對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點，則綜合上述兩種情況，故所得的四邊形為正方形；故答案為平行四邊形，菱形，矩形，正方形；(3)