2024年茂名市高二數(shù)學(xué)3月份聯(lián)考試卷附答案解析

2024年茂名市高二數(shù)學(xué)3月份聯(lián)考試卷試卷滿分150分．考試時間120分鐘．2024.03注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2，選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列中，，等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和等于A． B． C． D．3．若函數(shù)在處的切線方程為，則滿足的的取值范圍為（

）A．B．C． D．4．已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長的最小值為（

）A． B． C． D．5．如圖，二面角等于135°，，是棱上兩點，，分別在半平面，內(nèi)，，，且，，則（

）

A． B． C． D．46．雙曲線的左、右焦點分別為，點是雙曲線左支上一點，，直線交雙曲線的另一支于點，，則雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．7．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)，則（

）A． B． C． D．8．已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一球面上.若該球的表面積為，且，則該正四棱錐體積的最大值是（

）A．18 B． C． D．27二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．正方體的棱長為分別為的中點，則（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為D．點和點到平面的距離不相等10．已知，則（

）A．的值域為B．時，恒有極值點C．恒有零點D．對于恒成立11．如圖，已知直線與拋物線交于兩點，且交于點，則（

）A．若點的坐標(biāo)為，則B．直線恒過定點C．點的軌跡方程為D．的面積的最小值為三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知函數(shù)，若方程有2個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是.13．下圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，圖形的作法是：從一正三角形開始，把每條邊三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.若第1個圖中的三角形的周長為1，則第個圖形的周長為若第1個圖中的三角形的面積為1，則第個圖形的面積為.14．已知，是圓：上的兩個不同的點，若，則的取值范圍為．四?解答題本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25），第二組：[25，30），第三組：[30，35），第四組：[35，40），第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求m的值并估計這m人年齡的第80百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國夢”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲?乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計這m人中35~45歲所有人的年齡的方差.16．已知數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的首項為1，其前項和滿足，證明：若.17．如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面⊥底面，側(cè)棱，，底面為直角梯形，其中，，，O為的中點.(1)求直線與平面所成角的余弦值；(2)求點到平面的距離；(3)線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．已知橢圓的左?右焦點分別為，該橢圓的離心率為，且橢圓上動點與點的最大距離為3.

(1)求橢圓的方程；(2)如圖，若直線與軸?橢圓順次交于（點在橢圓左頂點的左側(cè)），且，求面積的最大值.19．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點、，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．1．C【分析】由斜率直接求解傾斜角即可.【詳解】設(shè)傾斜角為，則，則.故選：C.2．B【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，求得，得到，再由等差數(shù)列的前n項和，即可求解，得到答案.【詳解】在等比數(shù)列中，滿足，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，所以，又由，所以所以數(shù)列的前項和，故選B.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，依題意可得，解得，所以，，所以，所以.故選：B4．D【分析】先求出直線所過的定點，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)時，直線被圓截得的弦長最小，由垂徑定理得到最小值.【詳解】直線.恒過定點，圓的圓心為，半徑為，且，即在圓內(nèi)，當(dāng)時，圓心到直線的距離最大為，此時，直線被圓截得的弦長最小，最小值為.故選：D.5．C【分析】依題意，可得，再由空間向量的模長計算公式，代入求解即可.【詳解】由二面角的平面角的定義知，所以，由，，得，，又因為，所以，所以，即．故選：C.6．C【分析】根據(jù)雙曲線定義和得到邊長之間的關(guān)系，結(jié)合勾股定理得到方程，求出離心率.【詳解】設(shè)，則，，由雙曲線定義得，故，由勾股定理得，即①，連接，則，故，由勾股定理得，即②，由②得，代入①得，故.故選：C7．A【分析】首先設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，比較的大小，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)判斷，放縮，再設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得，再比較的大小，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，時，，即，設(shè)，，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，，即恒成立，即，令，，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得最小值，即，得：，那么，即，即，綜上可知.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)，比較大小，本題的關(guān)鍵是：根據(jù)，放縮，從而構(gòu)造函數(shù)，比較大小.8．C【分析】設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，求出的關(guān)系式，即可表示出四棱錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值，即得答案.【詳解】球的表面積為，所以球的半徑，設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，，所以，故正四棱錐的體積為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為.故選：C.9．BC【分析】根據(jù)線線位置關(guān)系判斷A；證明平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可判斷B；作出平面截正方體所得的截面，求出截面面積判斷C；設(shè)，則是的中點。結(jié)合點到平面的距離的含義判斷D.【詳解】，而F為的中點，與不垂直，與不垂直，錯誤；取中點，連接，由分別是中點，得，平面，平面，故平面，又是平行四邊形，，平面，平面，故平面，而平面，故平面平面，又平面平面，B正確；由正方體性質(zhì)，連接，由于，故四邊形為平行四邊形，則，而，故，則截面即為四邊形，它是等腰梯形，正方體冷場為2，故，等腰梯形的高為，截面面積為，C正確；設(shè)，則是的中點，而平面即為平面，平面，兩點到平面的距離相等，不正確.故選：.10．BCD【分析】令,則，求導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性即可求得；B選項由A選項即可判斷B選項；C選項由)，根據(jù)方程有零點轉(zhuǎn)化為兩個方程的根的問題來判斷；D選項，轉(zhuǎn)化為，即可判斷D選項；【詳解】對于：令，則，當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減.，的值域不為，故A不正確；對于：由選項可知，當(dāng)時，是的極值點，故B正確；對于C：有零點，即有根，當(dāng)時，與函數(shù)圖象恒有交點，當(dāng)時，由選項A知；且在上單增，在上單減，當(dāng)時，函數(shù)圖象在第三象限與有交點，當(dāng)時，函數(shù)圖象在第四象限與有交點，與函數(shù)圖象恒有交點，故C正確；對于D：若，則，(，令，，所以，故當(dāng)時等號成立)，當(dāng)，則，故D正確.故選：BCD.11．ACD【分析】A選項，求出，由垂直關(guān)系得到，與拋物線方程聯(lián)立，得到兩根之積，求出；B選項，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之積，由得到，得到，得到所過定點；C選項，由得到點的軌跡；D選項，由B選項基礎(chǔ)上求出，得到面積的最小值.【詳解】對于選項，，∵，，聯(lián)立，消去，有，記，則，由，得，，故A正確；對于B：可設(shè)，聯(lián)立，消去，有，則，由得，，過定點，故B不正確；C選項，∵，在以為直徑的圓：上運動（原點除外），故C正確；D選項，由B選項可知，過定點，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．12．或【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，再數(shù)形結(jié)合求出的范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值，函數(shù)在上恒有，而，當(dāng)時，，而函數(shù)在上遞減，值域為，因此函數(shù)在上無最大值，當(dāng)時，，顯然在上無最大值，函數(shù)的大致圖象如圖，觀察圖象知，當(dāng)或時，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，因此方程有兩個不同的實數(shù)解時，或，所以實數(shù)的取值范圍是或故答案為：或13．【分析】結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識，觀察圖形可得出三角形的邊長為，邊數(shù)為滿足，，求出通項公式，利用計算即可；易得到，利用累加法及等比數(shù)列相關(guān)公式求解即可.【詳解】記第個圖形為，三角形的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為則有條邊，邊長為有條邊，邊長為有條邊，邊長為，即，即.當(dāng)?shù)?個圖中的三角形的周長為1時，即；由圖形可知是在每條邊上生成一個小三角形，即，即，，利用累加法可得，因為數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，當(dāng)?shù)?個圖中的三角形面積為1時，，即，此時有條邊，則.故答案為：.14．【分析】為和到直線距離之和的倍，是的中點到直線距離的倍，利用點軌跡，求取值范圍.【詳解】由題知，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2，因為，所以．設(shè)為的中點，所以，所以點的軌跡方程為．點的軌跡是以為圓心半徑為的圓.設(shè)點，，到直線的距離分別為，，，所以，，，所以．因為點到直線的距離為，所以，即，所以．所以的取值范圍為．故答案為：【點睛】思路點睛：利用的幾何意義，問題轉(zhuǎn)化為為和到直線距離之和，再轉(zhuǎn)化為的中點到直線距離，由點軌跡是圓，可求取值范圍.15．(1)，第80百分位數(shù)為(2)（i）；（ii）10【分析】（1）根據(jù)第一組的人數(shù)及所占比例求出，利用百分位數(shù)的計算公式求出第80百分位數(shù)為；（2）（i）利用列舉法求解甲?乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）結(jié)合第四組和第五組的平均數(shù)和方差，利用公式求出這m人中35~45歲所有人的平均數(shù)和方差.【詳解】（1）由題意，，所以.設(shè)第80百分位數(shù)為，因為，，故第80百分位數(shù)位于第四組：[35，40）內(nèi)，由，解得：，所以第80百分位數(shù)為；（2）（i）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，甲，第五組抽取2人，記為，乙，對應(yīng)的樣本空間為：，甲，乙，甲，乙），（B，D），（C，甲），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）共15個樣本點.設(shè)事件“甲?乙兩人至少一人被選上”，則，甲，乙，甲，乙），，甲，乙），（甲，乙），（甲，乙，，共有9個樣本點.所以.（ii）設(shè)第四組?第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，方差分別為，則，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計這人中年?在歲的所有人的年齡方差約為10.16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用累加法求解即可；（2）根據(jù)題中條件可得為等差數(shù)列，繼而可求得，，利用錯誤相減法求得，考場其單調(diào)性即可證明.【詳解】（1），時，.又符合上式，所以.（2）由，得，數(shù)列是以公差為，首項為1的等差數(shù)列，則，即.當(dāng)時，，也符合該式，.則，記，由，作差得，則.，數(shù)列在上單調(diào)遞增，，.即.17．(1)(2)(3)存在，且【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可推得平面.根據(jù)已知得出.以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，得出點以及向量的坐標(biāo).根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面，求出的坐標(biāo)，即可根據(jù)向量法求出答案；（2）求出平面的法向量，根據(jù)向量法即可得出距離；（3）假設(shè)存在，設(shè)，得出.求出平面的法向量，根據(jù)二面角結(jié)合向量，列出方程，求解即可得出的值，進而得出答案.【詳解】（1）在中，，O為的中點，所以.又因為面底面，平面平面，平面，所以，平面.在中，，，所以，，.在直角梯形中，為的中點，所以.又，所以四邊形為平行四邊形，.因為，，所以.以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，所以.因為，，，平面，平面，所以平面，所以為平面的法向量.因為，所以與平面所成角的正弦值為，余弦值為.（2）由（1）可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得.所以，B點到平面的距離.（3）假設(shè)存在，且設(shè).因為，所以，，.設(shè)平面的法向量為，，，則，取，得.因為平面，所以平面的一個法向量為.因為二面角的余弦值為，所以，整理化簡，得，解得或（舍去），所以，線段上存