新高考專用2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)2 數(shù)列中的開放題含解析

專項(xiàng)二數(shù)列

考點(diǎn)2數(shù)列中的開放題

大題拆解技巧

【母題】(2021年全國(guó)甲卷)已知數(shù)列區(qū)｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S,、為瓜｝的前n項(xiàng)和,從下面①

②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛a,,｝是等差數(shù)列;②數(shù)列｛國(guó)｝是等差數(shù)列;③a?=3a,.

【拆解1】已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù),記S0為｛an｝的前n項(xiàng)和，數(shù)列｛aj是等差數(shù)歹(J,數(shù)列

｛圖｝是等差數(shù)列，求證:az=3ai.

2

【解析】設(shè)丙、an+b(a>0),則Sn=(an+b),

當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=(a+b)2;

22

當(dāng)n22時(shí)，an=Sn-Sn-i-(an+b)-(an-a+b)=a(2an-a+2b).

因?yàn)椋鸻?｝也是等差數(shù)列，所以(a+b)?=a(2a-a+2b),解得b=0.

2

所以a?=a(2n-l),所以a2=3ai.

【拆解2】已知數(shù)列｛a,,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S”為｛a?)的前n項(xiàng)和,數(shù)列⑸｝是等差數(shù)列,a2=3ai>

求證:數(shù)列｛國(guó)｝是等差數(shù)列.

1

【解析】因?yàn)锧2=3ai,數(shù)歹ij｛aj是等差數(shù)歹U,

所以公差d=a2-ai=2ai,

所以Sn=na]+^-^-d=n2a],即居二/57必

因?yàn)镴Sn+i-，§^二“7(n+1)~y/a^n=y[a^f

所以｛離｝是等差數(shù)列.

【拆解3]己知數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為｛③｝的前n項(xiàng)和，數(shù)列｛圖｝是等差數(shù)

列,a2=3a,.求證:數(shù)列區(qū)｝是等差數(shù)列.

[解析]設(shè)居卜an+b(a>0),則Sn=(an+b)；

當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=(a+b)2;

當(dāng)n22時(shí),a.FSn-Sn-F(an+b)J-(an-a+b)2=a(2an-a+2b).

2

因?yàn)閍2=3ai,所以a(3a+2b)=3(a+b),解得b=0或b=個(gè).

22

當(dāng)b=0時(shí),ai=a,an=a(2n-l)(n^2);當(dāng)n》2時(shí),an-an-Na"滿足等差數(shù)列的定義,此時(shí)數(shù)列｛aj

為等差數(shù)列.當(dāng)b二號(hào)時(shí),國(guó)=an+b=an*,則心*$0,不符合題意,舍去.

綜上可知,數(shù)列EJ為等差數(shù)列.

小做變式訓(xùn)練

2

在①a1+a3-2a2=0;②a2-ai=2;③S3=3a2這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中并作答.

已知數(shù)列⑸｝的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Stl,且滿足4Sn=ana『i+l,.

(1)證明：數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列.

(2)若數(shù)列｛b?｝滿足b?=—,其前n項(xiàng)和為T?,且T.〈az對(duì)任意nCN*恒成立,求ai的取值范圍.

anan+l

【拆解1］已知數(shù)列｛備｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S”,且滿足4s產(chǎn)a“an“+l,a,+a3-2a2=0.

證明：數(shù)列｛3,｝是等差數(shù)列.

=

【解析】因?yàn)?Snanan4i+l,所以4Sn+l=an+lftn+2+l,

=-

兩式相減得4an-1Sn-1Sn+2a?a-n+1,

—=

因?yàn)閍n+i>0,所以an+2an4,

所以數(shù)列｛a..)的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=ai+4(手T)刊+2n-2;

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=a2+40-1)=a2+2n-4.

由ai+a3-2a2=0得a?二巴產(chǎn)=ai+2,

所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，arFa2+2n-4=ai+2n-2.

此式也適合n為奇數(shù)的情況,所以a?=a.+2n-2,n￡N*,則an+1-an=2為常數(shù)，

3

所以數(shù)列｛aj是以2為公差的等差數(shù)列.

【拆解2】已知數(shù)列｛輸｝的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為S?,且滿足4s產(chǎn)aMi+1,@22=2.證明:

數(shù)列｛aj是等差數(shù)列.

【解析】因?yàn)?Sn=an3ri+l^*l,所以4Sn+l=an+lBn+z+l,

兩式相減得4an+i=an+ian+2-anan+i,

因?yàn)??+1>0,所以Qn+2~SLn=4,

所以數(shù)列｛劣｝的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=ai+4(乎-1)=a1+2n-2;

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),劣尸az+4(^-1)=a2+2n-4.

因?yàn)閍i=2,即&=a1+2,

所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=a2+2n-4=ai+2n-2.

此式也適合n為奇數(shù)的情況，

所以an=ai+2n-2,neN*,貝！JaxaN為常數(shù)，

所以數(shù)列｛aj是以2為公差的等差數(shù)列.

【拆解3］已知數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足4Sn=anan+1+l,S3=3a2.證明:

4

數(shù)列｛aj是等差數(shù)列.

【解析】因?yàn)?Sn=anHn+l+1,所以4Sn+產(chǎn)8"a+2+1,

兩式相減得4an+i=an+ian+2-anan+1,

因?yàn)?11+1)*0,所以311+2—dn—4,

所以數(shù)列｛③｝的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),4二a1+4(字T)=ai+2n-2;

當(dāng)n為偶數(shù)吐熱=az+4(j-1)=a2+2n-4.

因?yàn)镾3=3a2,所以ai+a2+(ai+4)=3a2,

即a2=aj+2,

所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=a2+2n-4=ai+2n-2.

此式也適合n為奇數(shù)的情況，

所以an=ai+2n-2,nWN*,則an+i-an=2為常數(shù)，

所以數(shù)列｛劣｝是以2為公差的等差數(shù)列.

【拆解4］己知數(shù)列｛aj是以2為公差的等差數(shù)歹山若數(shù)列｛bj滿足b,=，,其前n項(xiàng)和為

anan+l

Tn,且TMaz對(duì)任意n￡N*恒成立,求aI的取值范圍.

5

【國(guó)軍析】由（1）知,an=a］+2n-2,an-i-an=2,

所以

aa

nn+l2an/+1

所以端(日)號(hào)(聶)+“號(hào))="—修仁磊)?

設(shè)f(n)4(J一一二■),nGN*,易知f(n)單調(diào)遞增,所以-ylWTW",

2，］ai+2na((ai+2)2al

又a?=ai+2,TWaz恒成立，所以ai+2N^—,即2a：+4a「120,所以ai~,

所以ai的取值范圍為［容,+8).

通法技巧歸納

1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：

(1)定義法:對(duì)于n22的任意自然數(shù),驗(yàn)證a?-a,rl為同一常數(shù).

(2)等差中項(xiàng)法:驗(yàn)證2an-「a“+anf(n》3,nGN*)都成立.

2.判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列常用到的結(jié)論：

⑴通項(xiàng)公式:a?=pn+q(p,q為常數(shù))Q{a,,}是等差數(shù)列.

(2)前n項(xiàng)和公式:S.=An、Bn(A,B為常數(shù))={aj是等差數(shù)列.是否是等差數(shù)列的最終判定還

是利用定義.

3.證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法,其他方法只用于選擇題、填空題中的

6

判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.

4.在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí),要注意對(duì)n=l的情形進(jìn)行驗(yàn)證.

突破實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練

〈基礎(chǔ)過關(guān)〉

1.在①a2=16,ae+4a0=32a,「i(n22,nWN*):②工產(chǎn)：二③T"=竺黃這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充

到下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.

在等比數(shù)列⑸｝中，an〉0,其前n項(xiàng)和為T“，且，數(shù)列?｝的前n項(xiàng)和為S.，且

bn=log2ari.

⑴求bn；

(2)若1+白+1+…+白20.96,求n的最小值.

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛a?｝的公比為q,則由an>0得q>0.

方案一：選擇①出二16,an+i+4an=32an-i(n>2,n￡N*).

:

因?yàn)閍n+i+4an=32a?-I(n52,neN*),

2

所以a11-iq+4an-iq-32all-i=0,

即q2+4q-32=0,

7

解得q=-8或q=4.

因?yàn)閍n>0,所以q=4.

n-2n

所以an=a2?q』6?4=4,

n

所以bn=logzan=log24=2n,即bn=2n.

方案二:選擇②T,"^.

因?yàn)門.=F，

所以ai=Tk一=4,

又因?yàn)槎?=胃工20,

即ai+a2=20,所以32=16,

故q=-^=4,

ai

n-2

所以an=a2?q=16?f

所以bn=log2an=log24n=2n,即bn=2n.

方案三:選擇③T產(chǎn)祟.

因?yàn)門產(chǎn)竽，所以ai=T產(chǎn)里>

解得ai=4.

8

又因?yàn)?2二當(dāng)二即a2=3ai+4,所以a2=16,故q—=4,

3a1

n-2n

所以an=a2?q1-16?4=4,

1

所以bn=log2an=log24-2n,即bn=2n.

(2)由(1)可得S”=2+4+6+???+2n=^1^=n(l+n),

所以皆八1、11,

Snn(l+n)nn+1

所W—+—+—++—=1…+-—―—=1——

S]S2s3Sn223nn+1n+1

因?yàn)镴+J+J+…+5>0.96,所以1-4T>0.96,

D1、3、nn+i

所以n224,故n的最小值為24.

2.在①ai,a3的等差中項(xiàng)是3;②a2,al的等比中項(xiàng)是a彳;③a[+a3+a5=14這三個(gè)條件中任選兩個(gè),

補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.

已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛aj滿足,.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)積為T”求數(shù)列｛點(diǎn)｝的前n項(xiàng)和S?.

[解析】(1)記數(shù)列｛aj的公比為q(q>0).

若選①②，則『+23江+哽=6,

(a2a4=afq4=a1,

9

解得ai=2,q-V2,

n+l

所以數(shù)列｛a,,）的通項(xiàng)公式為a,,=2h.

ai+a3=ai+aiQ2=6,

若選①③,則

2

a1+a3+a5=Hi+a^+a1q4=14,

解得ai=2,Q-V2,

n+l

所以數(shù)列（a?｝的通項(xiàng)公式為a?=2-.

若選②③,則

◎i+a?+25=a】+ap2+ap'=14,

解得ai=2,q=V2,

n+l

所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為a?=2-.

_n(n+3)ng+3)

⑵由題意得T?=(V2)2X(V2)3X-X(調(diào)嚴(yán)=(2)F~=2、-,

所以氤言,

$-=川1-》+（/）+（/）+…+（片—+（土焉）+（9+”三（1+濾一左-京-白）卷一

]2n2+48n+44

3(n+l)(n+2)(n+3)

3.在①Su=nan+i-n"n;②既的同一(2n+l)an+i+2na「2n(2n+l)=0;③a\i-密=8(n+1)這三個(gè)條件中

任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.

問題:設(shè)數(shù)歹IJ｛&,｝的前n項(xiàng)和為S,?an>0,ai=3,且.b?-求｛bj的前n項(xiàng)和為T”.

(an-l)(an+l)*

10

2

【解析】選①,Sn=nam,-n,則Sn-i=(n-l)an-(n-l)-(n-l)(n^2),

兩式相減得ar「aF2(n22),

當(dāng)n=l時(shí)，Si=a2-1-1,所以a2=5,a2-ai=2,

所以數(shù)列｛a?｝是一個(gè)等差數(shù)列,首項(xiàng)為3,公差為2,

所以an=3+(n-l)X2=2n+1,

所以(2n+l-l)(2n+l+l)4n(n+l)4R帝)，

所以T-4…W(『.)二—?

選②,因?yàn)閍nan+i-(2n+l)anfi+2nan-2n(2n+l)=0,

所以[a:(2n+l)](an.i+2n)=0,

因?yàn)閍?>0,所以an=2n+l,

所以“(2n+lT)(2n+l+l)4n(n+l)4,nn+1”

所以段+導(dǎo)+…

選③,密=8(n+l),設(shè)品二統(tǒng)所以Cu+「a=8(n+l),

所以c2-ci=8(l+l),C3-C2=8(2+1),…,cn-Cn-i=8(n-l+l)(n^2),

所以c「9=8X婦詈二所以cn=(2n+l)2(n>2),

11

又ci=9滿足上式,所以Cn=a2=(2n+l)2,

因?yàn)閍?>0,所以an=2n+l,

所以b?=-_______!_______二】)—)

(2n+l-l)(2n+l+l)4n(n+l)4n+1'

所以…三(『高卜潟■

4.在①S.=2a/l;②皆就,a?方③SN+1這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并

解答問題.

已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S?,,數(shù)歹！I｛bj滿足b.=a“a0”求數(shù)列｛b.｝的前n項(xiàng)和T?.

【解析】選條件①S“=2a/l,

由［?=2丁1，n兩式相減得a?=2a「2a,r,

(Sn-!=2a『iT,n>2

所以an=2a“-i(n22),

又Si=2a-1,解得ai=l,

所以數(shù)列瓜｝是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以&尸2,.

因此bn=aa+尸2nL2“二2號(hào)

所以T0=2'+23+…+22自-2(_2dr).

1-43

選條件②皿釗,a24，

12

（法一）由皿亭m，a2=|,得里4a,=l,

an2n+l3a13

當(dāng)n22時(shí),^^乂%義?“義^=1*2義“小也=-!-,

a（ai32an_j352n-l2n-l

所以&-1（22）,

又ai=l也符合須六—所以-

2-12.~1

因此b”=a“a”（2_:（2+信（717公7），

所以丁“日［（「9+養(yǎng)+…+（七一?。抗ā噶┒??

（法二）由一得（2n+Da”i=（2nT）a.，

所以數(shù)列｛（2nT）aJ是常數(shù)列，

—=

所以（2n1）an-（2X2~1）a2l,

所以a產(chǎn)乙.

2.~1

因此b“=a“a”（2一:（2+層（-，

所以*［吟+（汾+…+-）］得（『占）嗡?

選條件③S?=2"+l,

nln1

當(dāng)n，2時(shí),a?=S?-S?-1=（2+l）-（2"-+l）=2-,

又a,=S,=3,顯然不符合上式，

13

1

所以a產(chǎn)解~'則b?=a??a”像；「19

u,n>z,U,n>2,

352|8(14，

當(dāng)n22時(shí)，T?=6+2+2+---+2"=6+~~X4"+-,

1~433

又「=6,符合*X4n+冬

所以*X4畔

(能力拔高〉

5.己知等比數(shù)列瓜｝為遞增數(shù)列，fia?=a1o,2(a?+a?t2)=5a?H,數(shù)歹U?｝滿足2b,=ai,bn+1-b?=a,.

⑴求數(shù)列｛aj和｛b“｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)c產(chǎn)等二,求數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和T?.

anbnbn+l

【解析】(1)對(duì)于數(shù)列匕工設(shè)公比為q,

由題可得［廖8.師(a^O,neN*),

z

(2+anq)=5anq

解得:1或｛:1

V2

又??.｛&,｝為遞增數(shù)列，.?.21二2，

(q=2,

an=2".

數(shù)列｛bn｝滿足2bi=ai=2,bn+1-bn=ai=2,

???數(shù)列｛bn｝是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列，

14

/.bn=2n-l.

c-n=2n+l

(2)由(1)得"\bnbn+12(2n-l)(20+1)[(2n-l)-2""(2n+l)-2])

T=2(—1+—―-1-+???+!-___!____)=]-____!

???n1x2*3x223x225x23(2n-l)-2n(2n+l)-2n+I；(2n+l)-2n，

6.已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S”,且2,a?,S“成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=n?an,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和T?;

⑶對(duì)于⑵中的T,,,設(shè)c.3,求數(shù)列｛cj中的最大項(xiàng).

a2n+l

【解析】⑴因?yàn)?,a”,Sn成等差數(shù)列，

所以2an=2+Sn,①

可得2an-i=2+Sn-i(n22),②

①-②得a=2ai(n22),所以也=2(n22),

nnan-l

又2ai=2+ai,解得ai=2,

所以數(shù)列｛劣｝是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列，

所以a?=2".

n

(2)由⑴可得bn=n?an=n?2,

15

所以T?=2+2X22+3X23+-+n?2",①

2T?=22+2X23+3X2l+-+n?2nH,@

由②-①可得T.=(nT)X2叫2.

⑶由(1)(2)可得以-1:/%/

設(shè)數(shù)列｛cj的第n項(xiàng)最大,則!?+i，

lcn-cn-b

rn-ln

—QB+1，

可得3工

IF2尹

解得2WnW3(nGN*).

所以當(dāng)n=2或n=3時(shí),c"最大，即C2=C3=為｛c“｝中的最大項(xiàng).

4

〈拓展延伸》

7.設(shè)等差數(shù)列｛a,｝的前n項(xiàng)和為S,?a3=6,a?=14.

(1)求數(shù)列｛a0｝的通項(xiàng)公式及S?;

⑵若,求數(shù)列｛b,,)的前n項(xiàng)和T,..

在①b.=2%?為:②1)產(chǎn)華垣;③?a.這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問中，并對(duì)其

求解.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為a1,公差為d,

16

..__.fai+2d=6,.

?33—6c,a7-1]y41,?.].??ai-2,d—2,

⑶+6Pd=14,

1(22n)

an=2+(n-l)2=2n,Sh-^-n(n+1).

ann

(2)^te0,Van=2n,/.bn=2?an=2n?4,

T?=2X41+4X42+6X43+-+2nX4n,①

234nH

4Tn=2X4+4X4+6X4+-+2(n-1)X4+2nX4",②

23n+,

由①-②得-31=2X41+2X4+2X4+-+2X412nX4=^^--2nX2nx叱,

1-4-3

9399

選②，?.?au=2n,Sn=n(n+1),

...b.W±l=字?8+=+8+4d2)，

Snn(n+l)n(n+l)nn+1

；?Tn=bi+bz+b?+…+bn=8n+4(1…+L」y)=8n+T■二也工

223nn+1n+1n+1

選③，..Wn,??.bn=(T)n?&F(T)"?2n,

n

ATn=-2+4-6+8—?+(-1)?2n.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，L=(一2+4)+(-6+8)+…+[-2(nT)+2n]g-2=n,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=(-2+4)+(-6+8)+???+[-2(n-2)+2(n-1)]-2n=y->2-2n=-n-l,

fn,n=2k,k^N*,

(-n-1,n=2k-1,k￡N.

17

8.在①bi=-ai,b.j=a2+4,②b】刊,3b2=a2,③bi刊+1,b2=a2-3這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面

的問題中并作答.

問題：已知數(shù)列｛aj滿足乎出貨…+滬?,數(shù)歹I」?｝為等比數(shù)列，且,S.為數(shù)列｛*的

前n項(xiàng)和.是否存在正整數(shù)k,使得822020成立?若存在,求出k的最小值;若不存在,請(qǐng)說明

理由.

【解析】由^"+11+$+=n?可得^■?峰+$+…+|#(nT)2(n22),

兩式相減可得新(nT)J2nT,

所以a=(2n-l)2n.

當(dāng)n=l時(shí),由乎||+於…+滬?可得a,