第二章++圓錐曲線綜合拔高練 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

綜合拔高練五年高考練考點(diǎn)1橢圓1.(2023新課標(biāo)Ⅱ,5)已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線y=x+m與C交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍,則m=(A.23B.23C.-232.(2023全國(guó)甲,7)設(shè)F1,F2為橢圓C:x25+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,若PF1·PF2=0,則|PFA.1B.2C.4D.53.(2019課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,10)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過(guò)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為()A.x22+y2=1B.C.x24+y24.(2022全國(guó)甲,10)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,Q均在C上,且關(guān)于y軸對(duì)稱.若直線AP,AQ的斜率之積為A.32B.22C.125.(2023全國(guó)甲,12)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F1,F2為橢圓C:x29+y26=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,cos∠F1PF2=A.135B.302C.145考點(diǎn)2雙曲線6.(2023全國(guó)甲,8)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,C的一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1A.55B.255C.37.(2023天津,9)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.過(guò)F2作其中一條漸近線的垂線,垂足為P.已知|PF2|=2,直線PFA.x28-y2C.x24-y28.(多選題)(2022全國(guó)乙,11)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D,過(guò)F1作D的切線與C交于M,N兩點(diǎn),且cos∠F1NF2=35,則C的離心率為(A.52B.32C.1329.(2023全國(guó)乙,11)設(shè)A,B為雙曲線x2-y29=1上兩點(diǎn),下列四個(gè)點(diǎn)中,可以為線段AB中點(diǎn)的是(A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)10.(2022北京,12)已知雙曲線y2+x2m=1的漸近線方程為y=±33x,則m=考點(diǎn)3拋物線11.(2022全國(guó)乙,5)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=()A.2B.22C.3D.3212.(多選題)(2023新課標(biāo)Ⅱ,10)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=-3(x-1)過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與C交于M,N兩點(diǎn),l為C的準(zhǔn)線,則()A.p=2B.|MN|=8C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形13.(2021北京,12)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在拋物線上,MN垂直x軸于點(diǎn)N.若|MF|=6,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為;△MNF的面積為.

考點(diǎn)4圓錐曲線的綜合應(yīng)用14.(2023新課標(biāo)Ⅱ,21)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為(-25,0),離心率為5.(1)求C的方程;(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn),M在第二象限,直線MA1與NA2交于點(diǎn)P,證明:點(diǎn)P在定直線上.15.(2023全國(guó)甲,20)已知直線x-2y+1=0與拋物線C:y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),|AB|=415.(1)求p;(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn),M,N為C上兩點(diǎn),且FM·FN=0,求△MFN16.(2023全國(guó)乙,20)已知橢圓C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的離心率為(1)求C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)(-2,3)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明:線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).三年模擬練應(yīng)用實(shí)踐1.(2024吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè))橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有兩點(diǎn)A,B,F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),△ABF1是以A.2-12C.3-122.(2024北京清華大學(xué)附屬中學(xué)開(kāi)學(xué)考試)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是拋物線的準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),作線段PF的垂直平分線l,則直線l與拋物線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的可能值構(gòu)成的集合為()A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}3.人利用雙耳可以判斷聲源在什么方位,聽(tīng)覺(jué)的這種特性叫作雙耳定位效應(yīng)(簡(jiǎn)稱雙耳效應(yīng)).根據(jù)聲波傳到雙耳的時(shí)間差,可以確定聲源P一般在以雙耳為左、右焦點(diǎn)的一條雙曲線上,若聲源P所在的雙曲線與它的一條漸近線趨近,則聲源P對(duì)于測(cè)聽(tīng)者的方向偏角α就近似地由該雙曲線漸近線與虛軸所在直線的夾角來(lái)確定.一般地,甲測(cè)聽(tīng)者的左、右兩耳相距約為20cm,聲源P的聲波傳到甲的左、右兩耳的時(shí)間差為3×10-5s,聲速為334m/s,則聲源P對(duì)于甲的方向偏角α的正弦值約為()A.0.004B.0.04C.0.005D.0.054.(2024甘肅酒泉第三次診斷)已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線l與雙曲線E的右支交于B,C兩點(diǎn),且|CF|=3|FB|,點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,若A.3B.233C.1035.(多選題)(2023福建廈門(mén)第一中學(xué)期中)一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓圍成,如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半圓所在的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F(3,0),橢圓的短軸與半圓的直徑重合.若直線y=t(0<t<3)與半圓交于點(diǎn)A,與半橢圓交于點(diǎn)B,則下列結(jié)論正確的是()A.橢圓的離心率是2B.線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是(0,3+32)C.△ABF面積的最大值是94D.△OAB的周長(zhǎng)存在最大值6.(2024山西呂梁期中)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于M,N兩點(diǎn)(M在第二象限),過(guò)點(diǎn)M作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線,垂足為M1,若|FM|=|FM1|,|FM|-|FN|=4,則p=.

7.(2024湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)月考)已知F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),以F2為圓心,4為半徑的圓與C的一條漸近線切于點(diǎn)P,過(guò)F1的直線l與C交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),若C的離心率e=①|(zhì)PF1|=213;②|AB|的最小值為323③若|AF2|=7,則|AF1|=13;④若A,B同在C的左支上,則直線l的斜率k∈-∞8.(2023廣西欽州浦北中學(xué)期中)已知橢圓C:x2a2+y2(1)求C的方程;(2)若A,B是C上的兩點(diǎn),直線AB與圓x2+y2=2相切,求|AB|的取值范圍.9.(2023江蘇南京江寧五校期中聯(lián)考)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與橢圓x24(1)求雙曲線C的方程;(2)直線y=2x+m與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M在雙曲線C上,且OM=2OA+λOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求λ遷移創(chuàng)新10.閱讀下列有關(guān)光線的入射與反射的兩個(gè)現(xiàn)象:現(xiàn)象(1):光線經(jīng)平面鏡反射滿足反射角與入射角相等;現(xiàn)象(2):光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).試結(jié)合上述現(xiàn)象,回答下列問(wèn)題:有一類(lèi)似于橢圓形臺(tái)球桌,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b.將一放置于焦點(diǎn)處的桌球擊出,經(jīng)過(guò)球桌邊緣的反射(假設(shè)球的反射完全符合現(xiàn)象(2))后第一次返回到該焦點(diǎn)時(shí)所經(jīng)過(guò)的路程記為s,則s的值為(用a,b表示).

答案與分層梯度式解析綜合拔高練五年高考練1.C由已知得F1(-2,0),F∵S△F1AB=2S△F2AB,∴點(diǎn)F1到直線AB的距離為點(diǎn)F2到直線AB的距離的2倍,即|m-2|2=2·|m+2|2,解得m=-23故選C.2.B由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得a=5,b=1,c=由PF1·PF2=0得所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16.由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=25,所以|PF1|·|PF2|=12[(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|2+|PF2|23.B設(shè)|F2B|=x(x>0),則|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由橢圓的定義知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|·|F1F2|·cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4xcos∠BF2F1①,在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|·cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8xcos∠BF2F1②,由①②得x=32所以2a=4x=23,a=3,所以b2=a2-c故橢圓C的方程為x23+y4.A設(shè)P(x0,y0),x0≠±a,則Q(-x0,y0),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=y0x0+因?yàn)镻(x0,y0)在C上,所以x02a2+y02b2=1,得y故選A.5.B由橢圓方程知a=3,b=6,則c=a2設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=2a,即m+n=6,所以2mn=36-(m2+n2)①.在△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|OP為邊F1F2上的中線,故|OP|2=14(P1=1425(m6.D∵e=1+b由圖形知與圓相交的漸近線方程為y=bax,即y=2x,即由已知得圓心坐標(biāo)為(2,3),半徑r=1,∴圓心到直線2x-y=0的距離d=|2∴|AB|=2r2-d27.D如圖,易知|PF2|=b=2,|OP|=a,|OF2|=c.設(shè)P(xP,yP),過(guò)點(diǎn)P的漸近線方程為y=bax,直線PF2的方程為y=-a聯(lián)立y=bax,y故Pa2c,abc所以kP即4a=2(a2+2),即a2-22a+2=0,所以a=2,又b=2,所以雙曲線的方程為x22-y8.AC依題意可設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.(1)當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)M,N分別在雙曲線兩支上時(shí),設(shè)切點(diǎn)為P,連接OP,則OP⊥MN,易知|OP|=a,|OF1|=c,|PF1|=b,過(guò)點(diǎn)F2作F2Q⊥MN,垂足為Q,則F2Q∥OP,由相似易知|F2Q|=2a,|QF1|=2b,∵cos∠F1NF2=35,∴sin∠F1NF2=4∴|NF2|=5a∴|NF1|-|NF2|=|QF1|+|NQ|-|NF2|=2b+3a2-∴e=1+b(2)當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)M,N均在左支上時(shí),同(1)易得|NF2|=5a2,|NQ|=∴|NF1|=3a2-2b,∴e=1+b故選AC.9.D設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為x1+x22,y1+y2∵A,B在雙曲線上,∴x12-y對(duì)于A,可得k=1,則kAB=9,∴l(xiāng)AB:y=9x-8,與x2-y29=1聯(lián)立消去y,得72x2-2×72x+73=0,Δ=-288<0,對(duì)于B,可得k=-2,則kAB=-92,∴l(xiāng)AB:y=-92x-52,與x2對(duì)于C,可得k=3,則kAB=3,∴l(xiāng)AB:y=3x,與雙曲線的漸近線重合,故lAB與雙曲線無(wú)交點(diǎn),錯(cuò)誤,故排除A、B、C,故選D.10.答案-3解析∵雙曲線的方程為y2+x2∴雙曲線的漸近線方程為y=±-1又∵漸近線方程為y=±33∴1-∴m=-3.11.B設(shè)A(xA,yA),依題意可得F(1,0),由B(3,0),得|BF|=2=|AF|=xA+1,所以xA=1,代入y2=4x,得yA=2或yA=-2,所以|AB|=(3-1)12.AC∵直線y=-3(x-1)過(guò)焦點(diǎn)p2∴p=2,故A正確.拋物線方程為y2=4x.由y=-3(x-1),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=103,x1x2∴|MN|=1+(-3)2|x由對(duì)稱性,不妨設(shè)M在x軸上方,如圖,取MN的中點(diǎn)D,過(guò)M,N,D分別作l的垂線,垂足分別為M',N',D',則|DD'|=12∴以MN為直徑的圓和l相切,故C正確.由B、C選項(xiàng)分析可知M13∴|OM|=133,|ON|=21,顯然|OM|≠∴△OMN不是等腰三角形,故D錯(cuò)誤.故選AC.13.答案5;45解析設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),則有|MF|=x0+1=6,解得x0=5,所以M的橫坐標(biāo)是5.將x0=5代入y2=4x,得|y0|=25,由題意得S△MNF=1214.解析(1)設(shè)雙曲線C的方程為x2a2由題意知c=25,e=5=所以b2=c2-a2=(25)2-22=16,所以雙曲線C的方程為x2(2)證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),x1<-2,x2<-2,y1>0>y2,P(x,y),由題意設(shè)過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線的方程為x=ty-4,由x=ty-4,x24-y216=1,消去x則y1+y2=32t4t2-1,y1y2=484易知A1(-2,0),A2(2,0),則直線MA1:y-y1y1=x聯(lián)立消去y得x-x1x1+2+1y1=x-x15.解析(1)聯(lián)立x=2y-1,y由題知Δ=16p2-8p>0,且p>0,∴p>12設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),則yA+yB=4p,yAyB=2p,∴|AB|=1+22|yA-yB|=5((2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),易知直線MN的斜率不為0,設(shè)直線MN的方程為x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立x=my+n,yΔ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①,y1+y2=4m,y1y2=-4n,∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2,∵FM=(x1-1,y1),∴FM·FN=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,即4m2=n2-6n+1①②聯(lián)立可得n2-6n+1又n2-6n+1=4m2≥0,∴n≤3-22或n≥3+22.S△MFN=12|MF||NF|=12(x=12(x1x2+x1+x2=12(2n2-4n+2)=(n-1)2又∵n≤3-22或n≥3+22,∴當(dāng)n=3-22時(shí),(S△MFN)min=(2-22)16.解析(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c(c>0),由題意知ca=53,b=2,又a2=b2+c2,故C的方程為y2(2)證明:易知直線PQ的斜率存在且小于0,又直線PQ過(guò)點(diǎn)(-2,3),所以設(shè)直線PQ的方程為y=kx+2k+3,k<0.聯(lián)立y=kx+2k+3,y29+則Δ=[8k(2k+3)]2-4×(4k2+9)×16k(k+3)=-27×64k>0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-8k因?yàn)镻(x1,y1),A(-2,0),所以直線AP的方程為yx令x=0,得M0,2y1x所以線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為0,y=2k+3=2k+3=2k+-=2k+-=2k+-72所以線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),所以線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).三年模擬練1.C設(shè)AB邊與x軸交于點(diǎn)D,如圖,因?yàn)椤鰽BF1是以F2為中心的正三角形,所以AB⊥F1D,且F2為△ABF1的重心,由重心性質(zhì)可得,|AF2|=|F1F2|=2c,則|F1D|=3c,在Rt△AF1D中,cos∠AF1D=|F所以|AF1|=23c,由橢圓的定義可得,|AF1|+|AF2|=2a,即23c+2c=2a,即(3+1)c=a,則e=ca=132.B由題意得,焦點(diǎn)為Fp2,0,準(zhǔn)線方程為設(shè)點(diǎn)P-p2,m,則當(dāng)m≠0時(shí),直線l的斜率k=pm所以直線l的方程為y-m2由y-m2=pm因?yàn)棣?4m2-4m2=0,所以直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m=0時(shí),線段PF的垂直平分線l為y軸,此時(shí)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).綜上,直線l與拋物線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的可能值構(gòu)成的集合為{1}.故選B.3.D設(shè)聲源所在雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,焦距為2c,虛軸長(zhǎng)為2b,則2a=3×10-5×334=0.01002(m),2c=0.2m,tanπ2-α=所以sinα=11+b2a2=4.D設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1,連接AF1,BF1,CF1,如圖所示,因?yàn)锳F·BF=0,所以AF又O為FF1和AB的中點(diǎn),所以四邊形AF1BF為矩形.設(shè)|BF|=t,則|CF|=3t,由雙曲線的定義可得|BF1|=2a+t,|CF1|=2a+3t,又△CBF1為直角三角形,所以|BC|2+|BF1|2=|CF1|2,即(4t)2+(2a+t)2=(2a+3t)2,解得t=a或t=0(舍去),所以|BF1|=3a,|BF|=a,因?yàn)椤鰾FF1為直角三角形,|FF1|=2c,所以|BF|2+|BF1|2=|FF1|2,即a2+9a2=4c2,所以c2a2=52,即5.ABC由題意得半圓的方程為x2+y2=9(x≤0),設(shè)半橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0,x≥0),則b=3,c=3,∴半橢圓的方程為x218+橢圓的離心率e=ca=332當(dāng)t趨近于0時(shí),|AB|趨近于3+32;當(dāng)t趨近于3時(shí),|AB|趨近于0,∴線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是(0,3+32),故B正確.由題意得△ABF的面積S=12設(shè)A(x1,t),x1<0,則x1設(shè)B(x2,t),x2>0,則x2∴S=12(9-t2+18-2t2)×t=2+12△OAB的周長(zhǎng)為|AO|+|OB|+|AB|=3+18-∴當(dāng)t=0時(shí),△OAB的周長(zhǎng)最大,又t的值不能為0,∴△OAB的周長(zhǎng)沒(méi)有最大值,故D錯(cuò)誤.故選ABC.6.答案3解析如圖所示,過(guò)點(diǎn)N作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線,垂足為N1,拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F0,p2,由拋物線的定義知|FM|=|MM1又|FM|=|FM1|,所以△FMM1是等邊三角形,所以∠FMM1=π3所以直線MN的方程為y=-33設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)(x1<0,x2>0),聯(lián)立y=-33x+p2,x所以x1+x2=-233p,x1x2=-p由|FM|-|FN|=4,得y1+p7.答案①③④解析對(duì)于①,已知雙曲線C:x2a2-y2b則F2(c,0)到直線bx-ay=0的距離為bcb連接PF1,因?yàn)橐訤2為圓心的圓與該漸近線相切于點(diǎn)P,所以|PF2|=b=4,因?yàn)閑=53,即ca=53又a2+b2=c2,即a2+16=259a2,所以所以c=53在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1=bc在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,則|PF1|2=|F1F2|2+|PF所以|PF1|=213,故①正確;對(duì)于②,當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),A,B兩點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn),則|AB|=2a=6,又因?yàn)?<323,所以|AB|的最小值不是323,故②對(duì)于③,因?yàn)閨AF2|=7,a+c=8,所以|AF2|<a+c,所以A在C的右支上,所以|AF1|-|AF2|=2a=6,所以|AF1|=|AF2|+6=7+6=13,故③正確;對(duì)于④,設(shè)直線l的方程為y=k(x+5),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=k(x+5),x29-y216=1因?yàn)橹本€l與雙曲線C的左支交