第05講整式方程分式方程（十大題型）（原卷版）

第05講整式方程分式方程（十大題型）1、知道一元整式方程與高次方程的有關(guān)概念，知道一元整式方程的一般形式.2、經(jīng)歷從具體問題中的數(shù)量相等關(guān)系引進(jìn)含字母系數(shù)的方程的過程,理解含字母系數(shù)的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它們的基本解法.3、理解和掌握二項(xiàng)方程的意義以及二項(xiàng)方程的解法；4、了解分式方程的概念；5、經(jīng)歷探索可化為一元二次方程的分式方程求解方法的過程，知道求解分式方程的一般步驟，領(lǐng)會(huì)化歸思想.6、掌握“去分母”法解分式方程，知道可能產(chǎn)生增根，掌握驗(yàn)根的方法.知識(shí)點(diǎn)一、一元整式方程1.一元整式方程：如果方程中只有一個(gè)未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式,這個(gè)方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是(是正整數(shù)),這個(gè)方程叫做一元次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是，若次數(shù)是大于2的正整數(shù)，這樣的方程統(tǒng)稱為一元高次方程。要點(diǎn)：一元高次方程應(yīng)具備：整式方程;只含一個(gè)未知數(shù);含未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)大于2次.知識(shí)點(diǎn)二、二項(xiàng)方程1.概念：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程.要點(diǎn)：注：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②這里所涉及的二項(xiàng)方程的次數(shù)不超過6次.2.一般形式：3.二項(xiàng)方程的基本方法:是（開方）4.解的情況：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果ab<0，那么方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為相反數(shù)；如果ab>0，那么方程沒有實(shí)數(shù)根.知識(shí)點(diǎn)三、雙二次方程1.概念：只含有偶數(shù)次項(xiàng)的一元四次方程.要點(diǎn)：當(dāng)常數(shù)項(xiàng)不是0時(shí)，規(guī)定它的次數(shù)為0.2.一般形式：3.解題的一般步驟：換元——解一元二次方程——回代4.解雙二次方程的常用方法：因式分解法與換元法（目的是降次，使它轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程）通過換元，把雙二次方程轉(zhuǎn)化為一元方程體現(xiàn)了“降次”的策略。要點(diǎn)：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，對有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法時(shí)要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解。知識(shí)點(diǎn)四、分式方程分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.要點(diǎn)：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.知識(shí)點(diǎn)五、求解可化為一元二次方程的分式方程的步驟.可以用下面的圖表示：分式方程去分母分式方程去分母解整式方程檢驗(yàn)增根舍去是原方程的根寫出分式方程的根知識(shí)點(diǎn)六、分式方程的解法1、解分式的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.2、解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解.要點(diǎn)：1、熟練掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“換元法”解特殊的分式方程（組）.3、領(lǐng)會(huì)分式方程“整式化”的化歸思想和方法.知識(shí)點(diǎn)七、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時(shí)，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時(shí)，方程兩邊同乘最簡公分母是含有字母的式子，這個(gè)式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義，所以這個(gè)根是原分式方程的增根.要點(diǎn)：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時(shí)求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的.題型1：整式方程的有關(guān)概念【典例1】．下列方程是一元高次方程的是（）A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0【典例2】．下面四個(gè)方程中是整式方程的是（）．A． B． C． D．題型2：二項(xiàng)方程【典例3】．下列方程中，是二項(xiàng)方程的是（

）A．； B．； C．； D．【典例4】．下列方程中，是二項(xiàng)方程的為（

）A． B． C． D．【典例5】．下列方程中，是二項(xiàng)方程的是（

）A．； B．；C．； D．．【典例6】．在下列關(guān)于的方程中，不是二項(xiàng)方程的是()A． B． C． D．題型3：整式方程的解【典例7】．方程的解是．（保留三位小數(shù)）．【典例8】．方程的根是．【典例9】．方程x3﹣x＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解是題型4：分式方程的概念【典例10】．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【典例11】．已知方程：①；②③；④．這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1題型5：分式方程的解【典例12】．解方程：（m為常數(shù)）【典例13】．解方程：【典例14】．解方程組：【典例15】．解下列分式方程.(1).(2).題型6：將分式方程化為整式方程【典例16】．解方程時(shí)，設(shè)，則原方程可化為關(guān)于的整式方程是（

）A． B． C． D．【典例17】．用換元法解分式方程，如果設(shè)，那么原方程化為關(guān)于的整式方程是（

）A． B．C． D．【典例18】．用換元法解方程，設(shè)，則得到關(guān)于的整式方程為．【典例19】．用換元法解方程時(shí)，設(shè)則原方程可變形為（

）A． B． C． D．【典例20】．用換元法解方程時(shí)，下列換元方法中最合適的換元方法是（

）A．設(shè) B．設(shè) C． D．題型7：增根問題【典例21】．已知關(guān)于x的方程有增根，那么．【典例22】．當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程會(huì)產(chǎn)生增根．題型8：無解問題【典例23】．若關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（

）A． B．－1 C．1 D．【典例24】．若關(guān)于的分式方程無解，則的值為．題型9：根據(jù)分式方程的解求參數(shù)范圍【典例25】．如果關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，那么a的取值范圍是．【典例26】．若關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍為．題型10：分式方程與一元一次不等式組【典例27】．關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，且使得關(guān)于的不等式組．有且僅有4個(gè)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是．【典例28】．若關(guān)于x的不等式組至少有4個(gè)整數(shù)解，關(guān)于y的方程的解是非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為．一、單選題1．下列方程中，是關(guān)于的一元三次方程的是（）A． B．C． D．（為非零常數(shù)）2．下列方程中，二項(xiàng)方程是（

）A． B．C． D．3．下列方程是二項(xiàng)方程的是（

）A．B．C．D．4．下列方程中：（1）；（2）；（3）；（4）；是二項(xiàng)方程的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．45．如果關(guān)于的方程無解，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．任意實(shí)數(shù)6．關(guān)于分式方程的解，下列說法正確的是（）A．解是x＝2 B．解是x＝4 C．解是x＝﹣4 D．無解7．用換元法解分式方程+1＝0時(shí)，如果設(shè)＝y(tǒng)，那么原方程可以變形為整式方程（）A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝08．若關(guān)于x的分式方程=的根為正數(shù)，則k的取值范圍是()A．k<且k≠1 B．k≠1 C．<k<1 D．k<9．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值是(

)A． B． C． D．10．若關(guān)于x的不等式組所有整數(shù)解的和為2，且關(guān)于y的分式方程＝1的解是正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)k的和是（）A．10 B．13 C．15 D．17二、填空題11．試寫出一個(gè)二項(xiàng)方程，使得它有一個(gè)解為x=1，這個(gè)二項(xiàng)方程可以是．12．有一個(gè)解為，那么這個(gè)方程的另一個(gè)解為．13．已知關(guān)于x的方程是二項(xiàng)方程，則m=．14．方程的解是．15．方程的解是．16．若關(guān)于x的方程無實(shí)根，則m取值范圍是．17．用換元法解方程，如果設(shè)，那么原方程可以化為關(guān)于y的整式方程為．18．方程的解為．三、解答題19．解關(guān)于x的方程：20．解下列關(guān)于x的方程21．解方程：．22．解方程：．23．解方程：．24．解方程組：．25．用換元法解方程組：．26．用換元法解方程：x2﹣x﹣=4．27．已知關(guān)于x的分式方程+＝．(1)若方程有增根，求k的值．(2)若方程的解為負(fù)數(shù)，求k的取值范圍．28．已知：，(1)化簡分式；(2)若關(guān)于的分式方程：的解是非負(fù)數(shù)，求的取值范圍；(3)當(dāng)取什么整數(shù)時(shí)，分式的值為整數(shù)．29．已知，關(guān)于的分式方程．(1)當(dāng)，時(shí)，求分式方程的解；(