第05講整式方程分式方程（十大題型）（原卷版）

第05講整式方程分式方程（十大題型）1、知道一元整式方程與高次方程的有關概念，知道一元整式方程的一般形式.2、經(jīng)歷從具體問題中的數(shù)量相等關系引進含字母系數(shù)的方程的過程,理解含字母系數(shù)的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它們的基本解法.3、理解和掌握二項方程的意義以及二項方程的解法；4、了解分式方程的概念；5、經(jīng)歷探索可化為一元二次方程的分式方程求解方法的過程，知道求解分式方程的一般步驟，領會化歸思想.6、掌握“去分母”法解分式方程，知道可能產(chǎn)生增根，掌握驗根的方法.知識點一、一元整式方程1.一元整式方程：如果方程中只有一個未知數(shù)且兩邊都是關于未知數(shù)的整式,這個方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是(是正整數(shù)),這個方程叫做一元次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是，若次數(shù)是大于2的正整數(shù)，這樣的方程統(tǒng)稱為一元高次方程。要點：一元高次方程應具備：整式方程;只含一個未知數(shù);含未知數(shù)的項最高次數(shù)大于2次.知識點二、二項方程1.概念：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項方程.要點：注：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②這里所涉及的二項方程的次數(shù)不超過6次.2.一般形式：3.二項方程的基本方法:是（開方）4.解的情況：當n為奇數(shù)時，方程有且只有一個實數(shù)根，；當n為偶數(shù)時，如果ab<0，那么方程有兩個實數(shù)根，且這兩個根互為相反數(shù)；如果ab>0，那么方程沒有實數(shù)根.知識點三、雙二次方程1.概念：只含有偶數(shù)次項的一元四次方程.要點：當常數(shù)項不是0時，規(guī)定它的次數(shù)為0.2.一般形式：3.解題的一般步驟：換元——解一元二次方程——回代4.解雙二次方程的常用方法：因式分解法與換元法（目的是降次，使它轉化為一元一次方程或一元二次方程）通過換元，把雙二次方程轉化為一元方程體現(xiàn)了“降次”的策略。要點：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，對有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法時要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解。知識點四、分式方程分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.要點：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看聯(lián)系：分式方程可以轉化為整式方程.知識點五、求解可化為一元二次方程的分式方程的步驟.可以用下面的圖表示：分式方程去分母分式方程去分母解整式方程檢驗增根舍去是原方程的根寫出分式方程的根知識點六、分式方程的解法1、解分式的基本思想：將分式方程轉化為整式方程.轉化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時必須驗根.2、解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.要點：1、熟練掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“換元法”解特殊的分式方程（組）.3、領會分式方程“整式化”的化歸思想和方法.知識點七、解分式方程產(chǎn)生增根的原因方程變形時，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.產(chǎn)生增根的原因：去分母時，方程兩邊同乘最簡公分母是含有字母的式子，這個式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義，所以這個根是原分式方程的增根.要點：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤，而是檢驗是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進行的.題型1：整式方程的有關概念【典例1】．下列方程是一元高次方程的是（）A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0【典例2】．下面四個方程中是整式方程的是（）．A． B． C． D．題型2：二項方程【典例3】．下列方程中，是二項方程的是（

）A．； B．； C．； D．【典例4】．下列方程中，是二項方程的為（

）A． B． C． D．【典例5】．下列方程中，是二項方程的是（

）A．； B．；C．； D．．【典例6】．在下列關于的方程中，不是二項方程的是()A． B． C． D．題型3：整式方程的解【典例7】．方程的解是．（保留三位小數(shù)）．【典例8】．方程的根是．【典例9】．方程x3﹣x＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解是題型4：分式方程的概念【典例10】．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【典例11】．已知方程：①；②③；④．這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1題型5：分式方程的解【典例12】．解方程：（m為常數(shù)）【典例13】．解方程：【典例14】．解方程組：【典例15】．解下列分式方程.(1).(2).題型6：將分式方程化為整式方程【典例16】．解方程時，設，則原方程可化為關于的整式方程是（

）A． B． C． D．【典例17】．用換元法解分式方程，如果設，那么原方程化為關于的整式方程是（

）A． B．C． D．【典例18】．用換元法解方程，設，則得到關于的整式方程為．【典例19】．用換元法解方程時，設則原方程可變形為（

）A． B． C． D．【典例20】．用換元法解方程時，下列換元方法中最合適的換元方法是（

）A．設 B．設 C． D．題型7：增根問題【典例21】．已知關于x的方程有增根，那么．【典例22】．當時，解關于的方程會產(chǎn)生增根．題型8：無解問題【典例23】．若關于x的分式方程無解，則k的值為（

）A． B．－1 C．1 D．【典例24】．若關于的分式方程無解，則的值為．題型9：根據(jù)分式方程的解求參數(shù)范圍【典例25】．如果關于x的分式方程的解為正數(shù)，那么a的取值范圍是．【典例26】．若關于x的方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍為．題型10：分式方程與一元一次不等式組【典例27】．關于的分式方程的解是非負數(shù)，且使得關于的不等式組．有且僅有4個整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是．【典例28】．若關于x的不等式組至少有4個整數(shù)解，關于y的方程的解是非負數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為．一、單選題1．下列方程中，是關于的一元三次方程的是（）A． B．C． D．（為非零常數(shù)）2．下列方程中，二項方程是（

）A． B．C． D．3．下列方程是二項方程的是（

）A．B．C．D．4．下列方程中：（1）；（2）；（3）；（4）；是二項方程的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．45．如果關于的方程無解，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．任意實數(shù)6．關于分式方程的解，下列說法正確的是（）A．解是x＝2 B．解是x＝4 C．解是x＝﹣4 D．無解7．用換元法解分式方程+1＝0時，如果設＝y(tǒng)，那么原方程可以變形為整式方程（）A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝08．若關于x的分式方程=的根為正數(shù)，則k的取值范圍是()A．k<且k≠1 B．k≠1 C．<k<1 D．k<9．若關于的分式方程有增根，則的值是(

)A． B． C． D．10．若關于x的不等式組所有整數(shù)解的和為2，且關于y的分式方程＝1的解是正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)k的和是（）A．10 B．13 C．15 D．17二、填空題11．試寫出一個二項方程，使得它有一個解為x=1，這個二項方程可以是．12．有一個解為，那么這個方程的另一個解為．13．已知關于x的方程是二項方程，則m=．14．方程的解是．15．方程的解是．16．若關于x的方程無實根，則m取值范圍是．17．用換元法解方程，如果設，那么原方程可以化為關于y的整式方程為．18．方程的解為．三、解答題19．解關于x的方程：20．解下列關于x的方程21．解方程：．22．解方程：．23．解方程：．24．解方程組：．25．用換元法解方程組：．26．用換元法解方程：x2﹣x﹣=4．27．已知關于x的分式方程+＝．(1)若方程有增根，求k的值．(2)若方程的解為負數(shù)，求k的取值范圍．28．已知：，(1)化簡分式；(2)若關于的分式方程：的解是非負數(shù)，求的取值范圍；(3)當取什么整數(shù)時，分式的值為整數(shù)．29．已知，關于的分式方程．(1)當，時，求分式方程的解；(