2.3-全等三角形的判定（2）-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?2.3全等三角形的判定（2）考點(diǎn)先知考點(diǎn)先知知識(shí)考點(diǎn)“AAS”、“ASA”判定全等1.與“AAS”、“ASA”有關(guān)的添?xiàng)l件問(wèn)題2.“AAS”、“ASA”判定全等“HL”判定三角形全等3.與“HL”有關(guān)的添?xiàng)l件問(wèn)題4.“HL”判定三角形全等題型精析題型精析知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一“ASA”和“AAS”全等三角形的判定原理內(nèi)容全等三角形的判定（三）兩個(gè)三角形的兩個(gè)角與任意一邊對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等.題型一添?xiàng)l件問(wèn)題題型一添?xiàng)l件問(wèn)題例1如圖，已知，若用“”證明，還需加上條件（）例1A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)已知，，添加條件，即可用“”證明，即可求解．【詳解】解：補(bǔ)充條件，在與中∴，故選：C．例2如圖，已知AB=AD，∠1=∠2，要根據(jù)“ASA”使△ABC≌△ADE例2【分析】利用ASA定理添加條件即可．【解答】解：還需添加的條件是∠B=∠D，∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAEAB=AD∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案為：∠B=∠D．變1如圖，，若利用“”判定，則需要添加的一個(gè)直接條件是（）變1A．B．C．D．【答案】D【分析】找到根據(jù)“”判定需要的條件，作出證明即可．【詳解】解：還需添加的條件是，理由是：在和中，，∴，故選：D．變2如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AC=DF，∠1=∠2，如果根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△DEF，那么需要補(bǔ)充的條件是（）變2A．AB=DEB．∠A=∠DC．BF=CED．∠B=∠D【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA”即角邊角對(duì)應(yīng)相等，只需找出一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等即可，進(jìn)而得出答案．【解答】解：需要補(bǔ)充的條件是∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∠A=∠DAC=DF∴△ABC≌△DEF（ASA）．故選：B．題型二“ASA”和“AAS”判定全等題型二“ASA”和“AAS”判定全等例1如圖，點(diǎn)A、、B、在同一條直線上，若，，求證：．例1【答案】見(jiàn)解析【分析】由知，結(jié)合，，依據(jù)“”可判定≌，依據(jù)兩三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等可得．【詳解】證明：，，即，在和中，，，．例2如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，，．求證：．例2【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由三角形外角的性質(zhì)及可得到，再結(jié)合圖形并利用恒等變換可得到，最后利用即可得證．【詳解】證明：∵，即，∵，∴，∵，∴

，∴，在和中，，∴．變1如圖，在中，，，連接，E為邊上一點(diǎn)，，求證：．變1【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)，得到，利用即可得證．【詳解】證朋：，，，，．變2在和中，，，，求證：．變2【答案】見(jiàn)解析【分析】證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即可得證．【詳解】證明：，，即，在和中，，，．例3如圖，，點(diǎn)D在邊上，．求證：．例3【答案】見(jiàn)解析【分析】由三角形的外角的性質(zhì)可得，由“”可證．【詳解】證明：，且，，且，，在和中，，≌．變3如圖，，，點(diǎn)在邊上，，，相交于點(diǎn)．求證：．變3【答案】證明見(jiàn)解析【分析】欲證明，只要證明即可．【詳解】證明：∵，且，∴，又∵，，∴∴．例4如圖，在中，，，點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，連結(jié)，作，，垂足分別為點(diǎn)D，E．例4（1）求證：；（2）若，，則的長(zhǎng)是______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)7【分析】（1）由“AAS”可證；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，，即可求解．【詳解】（1）證明：，，，．，，在和中，，；（AAS）（2）解：，，，．故答案為：7．變4如圖，已知，點(diǎn)B，C，D在一條直線上，，，，與全等嗎？為什么？變4【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，，再根據(jù)全等三角形的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】，理由如下：∵∴∵∴∵∴∵∴在與中∴（ASA）知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二“HL”全等三角形的判定原理內(nèi)容全等三角形的判定（四）兩個(gè)直角三角形的斜邊與任意直角邊對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)直角三角形全等.【注意】“HL”僅適用于直角三角形.題型三添?xiàng)l件問(wèn)題題型三添?xiàng)l件問(wèn)題例1如圖，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“HL”證明△ABC≌△ABD例1【答案】BD=BC（或AD=AC）【分析】要利用HL判定△ABC≌△ABD，已知∠C=∠D=90°，AB=AB，具備了一組斜邊、一組角相等，故添加BD=BC或AD=AC后可判定三角形全等．【詳解】解：∵∠C=∠D，AB=AB，∴添加BD=BC或AD=AC后可利用HL判定△ABC≌△ABD故答案為：BD=BC（或AD=AC）．例2如圖，∠C=∠D=90°，添加下列條件：①AC=AD；②∠ABC=∠ABD；③BC=BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD例2A．0B．1C．2D．3【分析】根據(jù)直角三角形的全等的條件進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：①當(dāng)AC=AD時(shí)，由∠C=∠D=90°，AC=AD且AB=AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；②當(dāng)∠ABC=∠ABD時(shí)，由∠C=∠D=90°，∠ABC=∠ABD且AB=AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；③當(dāng)BC=BD時(shí)，由∠C=∠D=90°，BC=BD且AB=AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；故選：D．變1如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，則需要添加的條件是_________．變1【答案】AD=CB（答案不唯一）【分析】根據(jù)垂直定義得出∠ABD=∠CDB=90°，根據(jù)圖形可知BD是公共直角邊，根據(jù)直角三角形全等的判定HL得出需要添加的條件是斜邊相等．【詳解】解：需要添加的條件是AD=CB．理由是：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠CDB=90°．在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故答案為：AD=CB．變2如圖，已知點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，∠B=∠E=90°，AB=DE，若添加一個(gè)條件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的條件可以是（）變2A．BC=EFB．∠BCA=∠FC．AB∥DED．AD=CF【答案】D【分析】根據(jù)題目給的條件可知道直角邊和直角，因?yàn)樾栌谩癏L”的方法判定≌，故只能添上斜邊這一條件，即可解答．【詳解】解：∵，，∴添加條件，根據(jù)“HL”即可判定≌；或添加條件，也可得出，根據(jù)“HL”即可判定≌，故D正確．故選：D．題型四“HL”判定三角形全等題型四“HL”判定三角形全等例1如圖，，，垂足分別為、，，．求證：．例1【答案】見(jiàn)解析【分析】求出，，根據(jù)證明即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，即，在和中，，∴．即．變1如圖，∠A=∠D=90°，BC=EF，AE=CD，求證：∠BCE=∠FED．變1【答案】見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)HL證明和全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：如圖所示，∵AE=CD，∴AE＋EC=CD＋EC，∴AC=ED在和中，∵∴，∴∠BCE=∠FED例2已知：BA⊥BD，F(xiàn)D⊥BD，AB=CD，AC=CF，求證：AC⊥FC例2【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)BA⊥BD，F(xiàn)D⊥BD，，再根據(jù)條件證明出，得出，得出，即可得到．【詳解】解：BA⊥BD，F(xiàn)D⊥BD，，AB=CD，AC=CF，，，，，，．變2如圖（1），，，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，且，．變2（1）試判斷AC與CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖（2），若把沿直線向左平移，使的頂點(diǎn)C與B重合，此時(shí)第（1）問(wèn)中AC與BE的位置關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理由．（注意字母的變化）．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)成立，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)條件證明就得出，就可以得出；（2）根據(jù)可以得出，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下，理由：∵，，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴；（2）解：，理由如下，∵，∴，∵，∴，∴，∴．例3已知：如圖，在中，于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，且，．求證：例3（1）；（2）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴變3如圖，在中，，，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．變3（1）求證：；（2）求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用證明即可；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用全等三角形的性質(zhì)，以及對(duì)頂角相等，得到，得到，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，，∴（）；（2）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則：，∵，∴，∴，∴，∴．例4如圖，，垂足分別為D，E，相交于點(diǎn)O．如果．求證：平分．例4【答案】見(jiàn)解析【分析】先由，，得到，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明，得，再證明得到，即可證明平分．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，∴平分．變4如圖，四邊形中，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，．求證：．變4【答案】答案見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)證明，得，再根據(jù)證明，即可得答案．【詳解】解：如下圖，連接，∵，，，在和中，，，在和中，，．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.已知：如圖，是上一點(diǎn)，，，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】由，得，由，結(jié)合三角形外角，可得，進(jìn)而可證，即可證得．【詳解】證明：∵，∴，∵，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．2.如圖，中，，，是上一點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于，于．（1）求證：；（2）若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）根據(jù)可以證明；（2）根據(jù)可得對(duì)應(yīng)邊相等，即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：．．，．．．．同角的余角相等，在和中，，∴；（2）∵，，，．3.已知：如圖所示，和有共同的頂點(diǎn)A，，，．求證：．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】先證，然后利用判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】證明：，∴，在和中，∴．4.如圖，△ABC的兩條高AD，BE相交于H，且AD=BD．試說(shuō)明下列結(jié)論成立的理由．（1）∠DBH=∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【分析】（1）因?yàn)椤螧HD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°，所以∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°，故∠DBH=∠DAC；（2）因?yàn)锳D⊥BC，所以∠ADB=∠ADC，又因?yàn)锳D=BD，∠DBH=∠DAC，故可根據(jù)ASA判定兩三角形全等．【解答】解：（1）∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°∴∠DBH=∠HAE∵∠HAE=∠DAC∴∠DBH=∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC在△BDH與△ADC中，∠ADB=∠ADCAD=BD∴△BDH≌△ADC．5.如圖，在和中，，，若要用“斜邊直角邊”直接證明，則還需補(bǔ)充條件：_________．【答案】或BE=CF【分析】根據(jù)斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，即可求解．【詳解】解：∵，∴和都是直角三角形，可以補(bǔ)充：，理由如下：在和中，∵，，∴；可以補(bǔ)充：BE=CF，理由如下：∵BE=CF，∴，在和中，∵，，∴；故答案為：或BE=CF．6.如圖：已知，，，垂足分別為點(diǎn)、，若，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】利用已知條件證明△ADF≌△CBE，由全等三角形的性質(zhì)即可得到∠B=∠D，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】證明：∵DE=BF，∴DE+EF=BF+EF；∴DF=BE；在Rt△ADF和Rt△BCE中，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），∴∠B=∠D，∴．7.如圖，在中，于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)F，若有，，試探究與的位置關(guān)系．【答案】【分析】根據(jù)“”證明，得出，證明，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴．8如圖，∠A=∠B=90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE與Rt△BEC全等嗎？并說(shuō)明理由；（2）試判斷CE和DE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）由∠1=∠2，可得DE=CE，根據(jù)證明直角三角形全等的“HL”定理，證明即可；（2）由∠1=∠2，可得DE=CE，再根據(jù)題意，∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，又∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，所以，∠AED+∠BEC=90°，即可證得∠DEC=90°，即可得出．【解答】解：（1）結(jié)論：Rt△ADE≌Rt△BEC；理由如下：∵∠1=∠2，∴DE=CE，而∠A=∠B=90°，AE=BC∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，DE=CE，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；（2）結(jié)論：DE=CE且DE⊥CE，理由如下：∵∠1=∠2∴DE=CE，∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，又∵∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，∴2（∠AED+∠BEC）=180°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠DEC=90°