2023年山西省運城市景勝中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023年山西省運城市景勝中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集。={0」,2,3,4},A={1,2,3},B={2,4},則必(4U3)=

A.{2}B.{0}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足zi=l+i,貝”=()

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

3.已知函數(shù)/(x)=[：若/(a)=6,貝!]a=()

[5x+6,尤<0

A.0B.2C.-3D.2或3

4.從五件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的兩件產(chǎn)品中恰好是一件正品、一

件次品的概率是().

5.已知偶函數(shù)4%),當(dāng)xvO時,/(X)=X3-2X+1,則〃2)=()

A.3B.-3C.-5D.5

IQtan"：

6.已知+=3f貝|tan(a-2y0)=()

92-102

A.一B.——C.—D.-

1311115

7.如圖的曲線是幕函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象.已知〃分別取±2,土;四個值，與曲

線￡、c2.G、G相應(yīng)的〃依次為()

B.2,—,—2,

22

D.-2,-^-,^-,2

C.——,—2,2,—

2222

8.已知△ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為“，b,c,若〃=6,b=7,c=5,貝!Jsin。

=（）

AA/6R3c2瓜n新

7776

9.如圖，在正方體ABCD-4B［C］。中，E、F、G、H分別為AA|、AB,BB［、

的中點，則異面直線E尸與GH所成的角等于（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

10.在三棱錐尸一ABC中，PAJ_平面ABC,AB=AC,ABAC=9Q,且AB+E4=6,

當(dāng)三棱錐P-ABC的體積取最大值時，該三棱錐外接球的體積是（）

A.27TIB.36KC.54KD.72兀

二、多選題

11.已知拋物線C:y2=x的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線交X軸于點。，過點產(chǎn)作傾斜角為。（。為

銳角）的直線交拋物線于A3兩點（其中點A在第一象限）.如圖，把平面AD尸沿x軸

折起，使平面4）廠，平面8。尸，則以下選項正確的為（）

B.折疊前。尸平分NADB

C.折疊后三棱錐分體積為定值!

D.折疊后異面直線仞,5廠所成角隨。的增大而增大

12.如圖，已知直線”4,點A是4,4之間的一個定點，點A到4,4的距離分別為1，

2.點B是直線4上一個動點，過點A作AC_LAB,交直線4于點C,GA+GB+GC=0^

試卷第2頁，共4頁

貝Ij()

7

B.△GAB面積的最小值是耳

c.|AG|>ID.GAGB存在最小值

三、填空題

13.若a,b>0,且4+人2=必+3,則必的最大值為.

14.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,〃)，若尸(X<l)=0.2,則P(X<3)=

15.已知。=(1,2),6=(2,-2),c=(X,-l),e//(2a+6),則2等于.

，、1

16.數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,，若%=〃(〃+[),則S,=.

四、解答題

17.已知tana=2,求下列各式的值：

3sina-5cosa

(])Z~?；

cosa+2sina

(2)2sin2?-3cos2a.

18.如圖，四棱柱ABC。-A4GA的底面ABC。是菱形，44,，平面ABCD,AB=1,

A4|=2,/&W=60。，點P為。2的中點.

(1)求證：直線8,〃平面PAC；

⑵求證：BD}±AC-

(3)求二面角B.-AC-P的余弦值.

19.已知函數(shù)/0)=-/+7加+2,*€11.

(1)當(dāng)m=3時，求f⑴值；

⑵若"X)是偶函數(shù)，求了(X)的最大值.

20.己知，橢圓C過點A[1,|)兩個焦點為(-1,0),(1,0).

(I)求橢圓C的方程；

(II)及歹是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明

直線班'的斜率為定值，并求出這個定值.

21.已知數(shù)列｛a/的前〃項和為S“，%=2.

從下面①②③中選取兩個作為條件,剩下一個作為結(jié)論.如果該命題為真,請給出證明;

如果該命題為假，請說明理由.

①。3=3%；②為等差數(shù)列;@an+2-an=2.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【詳解】試題分析：AuB={l,2,3,4},6/(4U3)={0}.故選8.

考點：集合的運算.

2.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法公式即可求解.

【詳解】由zi=l+i得z=H=-i(l+i)=l—i

故選：D

3.B

【分析】由題意分類討論a20,a＜0,解方程可求解a.

【詳解】當(dāng)。30時，則/(。)=。2+。=6,解得：。=2或a=-3(舍去)

當(dāng)。＜0時，貝!|=5。+6=6,解得：a=0(舍去)

綜上所述：a=2

故選：B.

4.A

【分析】記五件正品為“,6,c,1,e,次品為A,由列舉法結(jié)合概率公式得出所求概率.

【詳解】記五件正品為a,6,c,d,e,次品為A,從五件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件的所

有基本事件為：{a,b},{a,c},{a,d},{a,A\,{a,e},{b,c},{b,d},{b,A},{c,d},{c,A}[b,e],

{d,A},{c,e},{d,e},{e,A},共15種，其中取出的兩件產(chǎn)品中恰好是一件正品、一件次品的有

5種,即所求概率為三=1

153

故選：A

5.B

【分析】利用偶函數(shù)定義，結(jié)合已知解析式求解可得.

【詳解】因為/(x)為偶函數(shù)，

所以”2)=〃一2),

又當(dāng)無＜0時，/(x)=x3—2x+l,

所以2)=(-2)3-2x(-2)+1=-3,

答案第1頁，共12頁

所以〃2)=〃-2)=-3.

故選：B

6.B

【分析】利用二倍角正切公式求得tan[^+2，],再利用拆角的方法結(jié)合兩角差的正切公式,

即可求得答案.

2tanfe+d2X|3

【詳解】由tan舟勾=:得,tan1+2,

jfjjtanl67+-^-

2

冗冗

(__>tan((z+-)-tan(27?+-)

故tan(a-20)=tan(a+-)-(2^+-)=------------------------------

')1+tan(a+—)-tan(277+-)

66

j__3

_2_4_2

一LF

24

故選：B

7.A

【分析】作直線X=2分別與曲線￡、。2、。3、。4相交，結(jié)合函數(shù)y=2、的單調(diào)性即可判斷.

【詳解】因為函數(shù)y=2"為增函數(shù)，所以22>23〉24>2一2，

所以作直線x=2分另U與曲線CI、C?C”C4相交,交點由上到下分別對應(yīng)的n值為,

由圖可知，曲線G、C?C3、C4相應(yīng)〃值為2,g,-g,-2.

故選：A

8.C

答案第2頁，共12頁

【分析】根據(jù)余弦定理求得cosC,判斷角C的范圍，繼而求得答案.

【詳解】因為。=6,b=7,c=5,所以cosC=a+:―c=36+49-25=*,

2ab2x6x77

則C為銳角

故sinC=Vl-cos2C=2加,

7

故選：C.

9.B

【分析】連接48,2G，AG，證明異面直線所與GH所成的角是/ABC或其補(bǔ)角，由正方

體性質(zhì)即可得結(jié)論.

【詳解】如圖，連接A3,BG，AG，

由題意M//AB，GH//BC,,所以異面直線E尸與GH所成的角是NABG或其補(bǔ)角，

由正方體性質(zhì)知VA3G是等邊三角形，NA3G=60。，

所以異面直線E尸與G"所成的角是60。

故選：B.

a

AFB

10.B

【分析】設(shè)=則三棱錐尸-ABC的體/=-'丁+尤2,構(gòu)造函數(shù)

6

32

/(X)=-^X+X(0<X<6),利用導(dǎo)數(shù)求最值可得x,再求三棱錐尸-ABC外接球半徑可得

6

答案.

【詳解】設(shè)AB=x,則叢=6-x,故三棱錐尸-ABC的體積

111,1,,

V=——ABACPA=-X2(6-X)=——丁+/，

3266

答案第3頁，共12頁

設(shè)fM=~—X3+X2(0<X<6),則f\x)=--x2+2x(0<x<6),

62

由廣(%)>。得0<xv4,由八%)<0,得4Vx<6,則"%)在(0,4)上單調(diào)遞增,

在(4,6)上單調(diào)遞減，從而/。)2=/(4)=々，

即三棱錐尸-ABC體積的最大值是此時x=4,即AB=AC=4,PA=2,

因為PAL平面A5CABLAC,把三棱錐尸-ABC不成一個長方體，則三棱錐尸-ABC與所

補(bǔ)成的長方體有相同的外接球，

所以外接球的半徑R=1V42+42+22=3,則三棱錐P-ABC外接球的體積為白爐=36無.

11.BCD

【分析】對于A：利用弦長公式結(jié)合點到直線的距離運算求解；對于B：利用韋達(dá)定理證明

kAD+kBD=0,即可得結(jié)果；對于C：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合錐體的體積公式運算求解；

對于D：根據(jù)題意利用|A司=匚勺,［叱仁心結(jié)合空間向量可得

/UimuumI7

|cos(1M,師x卜,高需-1,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷.

【詳解】由題意可得：拋物線C：y=x的焦點為尸［,()］,準(zhǔn)線x=-；,則。

設(shè)直線AB:x=my+^,A（x1,y1）,B（x29y2）f

f1

x=my+—,,1

聯(lián)立方程4,消去x得y-my--=0,

24

y=x

221

可得A=m-4xm+l>0,yi+y2=m,yxy2=--

22

貝!1寸+yl=（%+y2）-4%%=m+1,

對于選項A：因為=""+m2m2+1,

答案第4頁，共12頁

點到直線AB：龍-叼-：=0的距離d=工=J

Jl+m22J1+療

可得折疊前△AB。的面積%^=^x（m2+l）J—

2'72yjl+m2

所以當(dāng)“=。時，折疊前△的的面積的最小值為:，故A錯誤;

對于選項B：因為

%%2%跖+；5+為）11

?——m+—m

22=0

m

yt+|%2+g[my+；]+g]

x'+4X?+4陽2+5

即折疊前直線仞,關(guān)于x軸對稱，所以折疊前平分/4DS,故B正確;

對于選項C：因為平面AD尸_L平面則可知點A到平面BDF的距離即為點A到無軸

的距離瓦|，

VBOE的面積S^BDF=；xgx|y2Kmy2I，

所以折疊后三棱錐體積5一曲=底血x；昆|=3%%|=L（定值），故C正確；

34124o

對于選項D：由拋物線的性質(zhì)可知：|AF|=5=[\BF\=e=]

1-cos^2（1-cos。）'1+cos02（l+cos6）

114*八1+cos0iyi.八sin?

可得%=JMc°s*而砌,％=|A鄧

x=^--|BF|cos^=l-cos。II.sin。

2—7----------r,y=-BFsin6=——----------六

2（1+cos。）22（1+cos0）

根據(jù)題中所給的空間直角坐標(biāo)系，可得

,1+COS。八sin。Bl-cos6sin。0,。1_；,0,0）,尸（；,0,0

A一,----------7,0,

4（l-cos^）2（l-cos6）14（1+cos2（1+cos。）’,

ri則（1+cos01_sin6111.sin8

貝!JOA=-----------+-,0,—----------=-----------,0,------------

4（l-cos^?）42（1-cos。）?J（2（1-cos。）?2（1-cos。）.

uur1-cos61sin6cos62（1：?S6）Q

FB=——---------------——--------------------

4（1+cos4'2（l+cos。）'J（2（1+cos。）

答案第5頁，共12頁

COS0

/uunuur4(l-cos2

可得卜os(D4,EB

2222

sin。。。

1+cos+sin

2(1-cos。)2(1-cos。)20+COS0)20+COS°)

COS。

dsil?。_cos'

1+sin201Vl+sin20

4（1-cos4（1+cosop

I/uunuinniI2

所以辰母叫v］eij

即折疊后異面直線AD,①7所成角的余弦值為J—1一-1,

Vl+sin

因為y=sin6在上單調(diào)遞增，貝ijy=,2-1在上單調(diào)遞減，

且y=4在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則y=J2,二1在?上單調(diào)遞減,

'V1+sin-0V2）

所以折疊后異面直線的>,3月所成角隨。的增大而增大，故D增大；

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法

（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；

（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不

等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）.

12.ABC

【分析】取8C中點產(chǎn)，利用向量運算判斷A；設(shè)ZB4￡>=6,利用三角形面積公式結(jié)合正弦

函數(shù)性質(zhì)判斷B；利用數(shù)量積的運算律計算判斷CD作答.

【詳解】取BC中點尸，連接G/，如圖,

由GA+G3+GC=0，得GF=；(GB+GC)=_；GA,因止匕點AG,尸共線,

2?11

S.AG=-AF=-x-(AB+AC)=-(AB+AC),A正確；

答案第6頁，共12頁

7TTT

設(shè)N3AO=e（Ove<5）,由于。而ACLAB,貝1」/胡。=3-。,

21

由AD=2,AE=1,得AB=--,AC=--,顯然點G為二ABC的重心，

cos6sm6

111222

則△G43的面積九四十=-x-ABxAC=-x---------------=---------->-,

3232cos0sin3sin203

當(dāng)且僅當(dāng)26=5，即。=:時取等號，B正確;

22

\AG\=^\AB+AC\=^\1AB2+AC1I4_1__1L+4sin^^cos^

3Vcos20+sin203v+cos20+sin20

小2氏子當(dāng)且僅當(dāng)需黑,即tan*手時取等號’C正確;

1121

由AG=§(A3+AC),得GA=—](AB+AC),GB=AB-AG=-AB--ACf

11.22181

因止匕GAG5=(AB+AC)\2AB-AC)=——(2AB-AC)=――(—z-----------

999cos0sin0

18sin20cos20人sin202八小、nw-8sin20cos20,1

二——(7+---------=)x，令"——=tan26>e(0,+oo),貝|7+-----------------==7+o8—,

9cos6sin6cos0cos0sin0t

而函數(shù)y=7+8f」在(0,+⑹上單調(diào)遞增，值域為R,所以G4-GB=」(7+8f-1)值域為R,

t9t

無最小值，D錯誤.

故選：ABC

【點睛】思路點睛：利用向量解決問題，可以選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表

示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

13.3

【分析】根據(jù)"+戶22而，從而可得仍+3W2",求解即可.

［詳解］因為4+/=必+3,所以必+3=/+匕②22ab,abM3,

當(dāng)且僅當(dāng)”=b=括時，等號成立,

所以質(zhì)的最大值為3.

故答案為：3

14.0.8

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)即可求解概率.

【詳解】解：因為尸（XN3）=尸（XMl）=0.2,

所以P（X<3）=l-P（X>3）=l-0.2=0.8,

答案第7頁，共12頁

故答案為：0.8.

15.-2

【分析】根據(jù)向量平行列方程，化簡求得4的值.

【詳解】2a+b=（2,4）+（2,-2）=（4,2）,

由于沙/(2a+b),所以22=-4"=-2.

故答案為：-2

4

16.—/0.8

5

【分析】利用裂項求和法求得正確答案.

【詳解】5*4=------1--------1--------1-------

41x22x33x44x5

1111111,14

=]---1------1------1-----=]———

223344555,

4

故答案為：—

17.⑴(

(2)1

cinzy

【分析】（1）根據(jù)——二tana,分式同除cosa可得.

cosa

（2）根據(jù)siYa+cos2a=1先將Zsi/a_3cos2a轉(zhuǎn)化為―,再將分式同除cos?。

sina+cosa

可得.

3sina-5cosa_3tan?-53x2-5」

【詳解】（1）

cosa+2sina1+2tana1+2x2-5

2sin2a-3cos2a2tan2a-3_2x22-3

(2)2sin2cif-3cos2cir

sin2cr+cos2crtan2a+12?+1

18.（1）證明見解析;

（2）證明見解析:

印7病

6情

【分析】（1）設(shè)AC和8。交于點。，連接尸O,根據(jù)線面平行的判定定理求解；

（2）由線面垂直可得線線垂直，再由菱形對角線垂直可得線面垂直，即可得證;

答案第8頁，共12頁

(3)連接耳尸，B0可證明/用。尸為二面角瓦一AC-尸的平面角，利用余弦定理求解余

弦值即可.

【詳解】(1)設(shè)AC和BO交于點。，連接尸0,如圖，

由于P,。分別是。2，8￡)的中點，故P0〃8D1,

平面PAC,平面PAC,所以直線BA〃平面PAC.

(2)在四棱柱耳G2中，底面ABCD是菱形，則AC1BD,

又。R_L平面ABQ),且ACu平面A3C。，則OR^AC,

BDu平面BDDiB1,RDu平面BDDXB{,BDcD{D=D

：.4。_1平面2。。田.

BDXu平面BDD[B[,；.BDt1AC.

(3)連接男尸,BQ,

因為24=PC,。是AC中點，所以尸O,AC,

因為AC,平面3。。4，平面3。2片，所以用。，AC,

/.NBQP為二面角B.-AC-P的平面角,

=jF+f=萬

BQ=不=理，3尸呼

3-2

PCP+OB,-PB；44

由余弦定理可知cos/B0P=

2PoOB185

2x

22

答案第9頁，共12頁

.?.二面角片-AC-尸的余弦值為源.

85

19.(1)4

⑵2

【分析】(1)先得到函數(shù)/(x),再求值;

(2)先利用函數(shù)是偶函數(shù)，求得了(x),再求最值.

【詳解】(1)解：當(dāng)機(jī)=3時，/(%)=-X2+3%+2,

所以7(1)=-F+3X1+2=4；

(2)因為/(x)是偶函數(shù)，

所以/(-x)=/(x)成立，

BP—(—x)+一無)+2=—*2—+2=—尤2+mx+2，成',

所以m=0,則/(x)=-x1+2,

所以f(x)的最大值為2.

20.(1)—+匕=1(2)直線AE的斜率為定值:

432

r2v23

【詳解】試題分析：(1)由題意C=l,設(shè)橢圓方程為三丁+當(dāng)=1,將41,力代入即可求出

1+bb2

〃=3,則橢圓方程可求.

3r22

⑵設(shè)直線AE方程為：y=k(x-l)+^,代入入L+上v=1得

243

3

(3+4嚴(yán))/=4左(3-2加+442-12左-3=0,再由點4(1,萬)在橢圓上，根據(jù)結(jié)直線AE的斜率

與"的斜率互為相反數(shù)，結(jié)合直線的位置關(guān)系進(jìn)行求解.

22

(1)由題意c=l,設(shè)橢圓方程為上方+與=1,

1+b2b2

3—3

因為點A(I,辦在橢圓上，所以1,a-,解得*3,