新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè) 練習(xí) 02 空間向量的數(shù)量積

專題02空間向量的數(shù)量積

目錄

☆【題型一】空間向量的概念......................................................................?

☆【題型二】空間向量的線性運(yùn)算.................................................................2

☆【題型三】向量共線的判定及應(yīng)用：線線平行.....................................................4

☆【題型四】向量共線的判定及應(yīng)用：三點(diǎn)共線.....................................................6

☆【題型五】向量共線的判定及應(yīng)用：線面平行.....................................................7

☆【題型一】空間向量的夾角

【例題】如圖，在正方體力88—4夕CTy中，求向量祀分別與向量AB>,8W>,初,9,BD’的

夾角.

AB

【答案】45°；135°；60°；120°；90°.

【詳解】連接8。，則在正方體/8CD-40CTy中,

ACA.BD,NR4C=45。,AC^AD'CD',

所以〈祀，4B')=〈祀,赤〉=45°,

〈企，B'A'')=1800—〈企,港〉=135°,

f1o

(AttAD)=ZDAC=GO,

〈祀,次〉=180°—<C5,CDr>=180°—60°=120°,

〈就，B'D'?=(At,Bb)=90°.

【變式訓(xùn)練】

1.在正四面體Z8C。中，比與仍的夾角等于()

A.30oB.60oC.150oD.120°

【答案】D

【詳解】〈豉,⑦=180。一(C?,C2))=180。-60。=120。.故選口.

2.在正四面體4-8C。中，點(diǎn)E,尸分別是4C,力。的中點(diǎn)，則虎與訪的夾角為()

A.30oB.60oC.120oD.150°

【答案】C

【詳解】由題意，可得彷=11),

2

所以(Bt,Ep)=(,Bt,cb)=180°—<ch,cb'>=180°-60°=120°.

3.如圖,在棱長為。的正方體/8。-4BιGO∣中，向量反t與向量祀的夾角為()

A.60oB.150o

D.120o

【答案】D

【詳解】〈密,就〉=<cb?,At)=180o-<cbι,At)=180。-60。=120。.故選口.

☆【題型二】空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算

【例題】如圖所示，已知空間四邊形/8CD的每條邊和對(duì)角線長都等于1,點(diǎn)、E,F分別是NB,的中點(diǎn),

計(jì)算：

(1)彷?威：(I)Ep-Bb-,⑶酢氏;(4)5？??C?.

【答案】⑴肆宓=L

4

(2)訪協(xié)二；

⑶阱虎=-1.

(4)彷在=-?.

【詳解】⑴或宓=：劭尻=,屁>H扇FCOS=∣×1×l?cos6θ0=4.

所以彷宓=L

4

(2)Ep-Bb=^BbBb=^β??-?Bb?-cosiBb,βb}=^×1×l?cos0o=p

所以旗屁>=L

2

⑶群.覺=涉?皮=.科西CoS(βb,Dt)=∣×1×I-COS120°=-^,

所以或'.方—?.

4

(4)游在=3質(zhì)+曲；(團(tuán)+兩

=：［前?(一宿+扇?(-南+防?H+扇

=%一加屁一屆花+(仍一團(tuán))京+港?花

4

【變式訓(xùn)練】

1.已知在長方體ZBCD-48∣GO∣中，4B=AAι=2,AD=4,E為側(cè)面∕8∣的中心，尸為4口的中點(diǎn)，試

計(jì)算：

⑴肥前I；

(2)阱涵.

【答案】⑴冊(cè)初ι=16.

(2)彷?旃=0.

【詳解】(1)取力8的中點(diǎn)H,連接。H,易知E/7，平面/8C。，又。平面288,所以向量前ι在平面

ABCD上的投影向量為沉).

所以衣1?胡I=比?肪=力』16.

(2)向量防在平面48514上的投影向量為扇I.

又信」刀I,所以命?用I=扇「刀1=0.

2,已知勺，C2為單位向量，且ei_L?2，若α=2g+3c2,〃=Ael—4及，U.Lh1則實(shí)數(shù)Z的值為()

A.—6B.6

C.3D.-3

【答案】B

【詳解】由題意可得〃力=0,eι?e2=0,Iell=Ie2∣=1,

所以（2e∣+3e2>（%eι—4e2）—0,

所以24—12=0,所以％=6.

☆【題型三】空間向量的平行

【例題】對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量”,b,Z〃加'是“〈a,?）=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【詳解】顯然〈%b}=O=a〃6,但α〃分包括向量α,6同向共線和反向共線兩種情況，

即當(dāng)?！r(shí)，<?,b）=0或兀，

因此a〃b#<α,?）=0.

故“a〃b”是"Q,b>=0”的必要不充分條件.

【變式訓(xùn)練】

1.對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量Z,B,“73<0”是“<￡,3>為鈍角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【詳解】α?B<O時(shí)，4,B可能反向，<α,B>=180。時(shí)，得不出<4,B>為鈍角；

<3,B>為鈍角時(shí)，a-b<O,故“<0”是“<Z,B>為鈍角”的必要不充分條件.

2.若B是空間兩個(gè)非零向量，則

（1）當(dāng)4%=1帆時(shí)、<a,b>=；

（2）當(dāng)力=-而時(shí)，<Z,5>=.

【詳解】⑴由4彳=卜帆"Cos<α]>=，同得，cos<a,6>=l，又<W,I>e[θ,句,所以<J6>=0.

（2）由4?B=,帆?cos<α,B>=-卜啊得，cos<α,S>=-l，又<U>e[0,句，所以<Z,B>=兀.

故答案為0；π.

☆【題型四】空間向量的垂直

【例題】如圖，/,B為平面α外兩點(diǎn)，點(diǎn)4,6在平面ɑ上的射影分別為點(diǎn)H,6',五為平面α內(nèi)的向量.

【詳解】,?*AA-Lcc,BB'?cc,又加UQ，

.,.AAr?加=O，BfB?m=O-

因此Z6?m=(44'+48'+85)?m=AA'-m+ArB'm+BrBm=0+ArB'm+0=ArB'm-

故命題成立.

【變式訓(xùn)練】

1.在空間四邊形/8CD中，ABkCD,ACLBD,求證：ADLBC.

【詳解】（證法1）在疣=（港+勃）?（就—港）=/?祀+勤?就一港2-港?防

=Ah（Ab-Ah-Bb）=Ah（Bt-Bb）=Ah-Dt=O,

所以4）"L8C.

(證法2)選取一■組基底，設(shè)港=α,At=h,λb=c.

因?yàn)?8_L.CZ),所以α?(c-6)=0,即α?c=Zrα.

同理[6=b?c.所以ac=bc,

所以c(?-?)=0?

所以歷?附=0,βpADA.BC.

2.如圖，在正方體∕8CΓM∣8∣GQl中，。為NC與8。的交點(diǎn)，G為CCI的中點(diǎn)，求證：小。，平面GBD

【詳解】證明：設(shè)汨瓦=",A^)?-b,AtA=c,

則ab=0,b?c=O,ac=0,?a?=?b?=?c?.

因?yàn)??-At)=A?A+g(^δ+jJδ)=c+5+gb,

Bb=Ab-λh=b~a,

種=求+M=刎+力)+好尸

所以丁力,月方=l'202^j?(b-a)=c?b~c?a-?--a?b--a2-?--b2--ba

2222

=^(ft2-α2)=j(∣A∣2-∣Λ∣2)=O.

于是出力JL屁)，即4O_L8D

同理可證血，濟(jì)，即/∣OLOG.

又因?yàn)锽DCoG=0,

所以小O_L平面GBD.

3.已知同=3姒，∣A∣=4,m=a+h,tι=a+λh,{a,h}=135°,則2=.

【答案】-3

2

【詳解】由〃i_L〃，得(α+8)?(q+M)=0,

所以a2+(l+2)α??+2?2=0,

所以18+(A+l)?3√2×4cos1350+161=0,

即42+6=0,所以2=——.

2

☆【題型五】空間向量的模

【例題】已知2,5均為單位向量，它們的夾角為60。，那么卜+3同=.

【答案】√13.

【詳解】∣Z+3B∣2=7+67B+9r=l+6xcos6（Γ+9=13,.?.,+3可=√3^.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知在平行四邊形NBC。中，AD=4,CD=3,ND=60。，K4，平面/8C。，且刃=6,貝IJpC

【答案】7

【詳解】I芯三同+力+成y=麗2+|力F+∣反ψ+2或力+2力.反?+2用?比

=62+42+32+2Ir）Il皮IeOS120。=49,所以IAI=7.

2.平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱/5CO-48∣GZλ的所有棱長都為1,且//"￡>=/4/8=60。,

ZDAB=45°,則8。等于（）

A.√3-lB./-1

C.√3-√2D.√3-Λ^

【答案】C

【詳解】如圖，因?yàn)楹鶬=T）一靜+京I,

所以-SΓ2AI)?A2?

=1+1+1—2xlxlXCOS45o-2×l×l×cos60o+2×l×l×cos60。=3—/，

所以I力||=43—也

☆【題型六】空間向量夾角的余弦值

【例題】已知空間四邊形OMC中，OB=OC,AAOB=ZAOC=-,則CoS〈漢,庭〉的值為（）

A』B也

22

C.--D.0

2

【答案】D

【詳解】δkBb=ok?δb-ob）=δkδb-δ^oh

=|次lleeleOSNzOC-I或Il仍ICOSN408

=3兩I能一）前1萌=0，

所以次（，比.所以CoS〈為,比〉=0.

【變式訓(xùn)練】

1.已知IaI=4,|臼=3也，ah=-n,則α與〃的夾角〈。,加=—.

【答案】—

4

【詳解】CoS<a,?）=W,由Q,力的范圍得<a,Z>>的值為

2.已知IQl=4,網(wǎng)=3/，ab=12,求4與b的夾角（a,b）.

【答案】7.

4

【詳解】CoS<a,b>=E?=-?=4r=~,因?yàn)镺S<a,b><π,所以Q力〉=手.

同回4×3√2√224

3.已知向量4,6滿足(α+2Z>)?(4-〃)=—6,且Ial=I,向=2,則α與〃的夾角為__.

【答案】

【詳解】(α+2Z>)?(α-Z>)=∣αF+α?b-2網(wǎng)2=—6,

因?yàn)镃oS(a,b>=S■=1,所以(*b)=60°.

IaIIbl2

4.已知a+3b與7。-58垂直，且“一46與7。一26垂直，則［a,b)=.

【答案】60°

【詳解】由條件知(a+36>(7α-5b)=7∣α∣2-15∣6F+i6α?8=0,

(α-4*)?(7α-2*)=7∣β∣2+8∣*∣2-30α??=0,兩式相減得46a-b=23?b?2,

所以，力=3呼，代入上面兩個(gè)式子中的任意一個(gè)，得同=網(wǎng)，

所以CoS〈%b1=0把=1,

∣α∣l*l網(wǎng)22

所以〈a,b)=60。.

☆【題型七】空間向量在平面上的投影向量

【例題】如圖，在棱長為1的正方體∕8C7‰4b5∣G9中，/為棱CG上任意一點(diǎn).

試確定向量翔在平面/8C上的投影向量，并求焉f配.

【詳解】在正方體N8CDdIBGA中，CG，平面Z8C,

因此，祀即為施在平面48C上的投影向量.

又因?yàn)殪对谄矫鍺BC內(nèi)，

所以就鍵=求或=61XCoS45。=1.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在長方體N8CO-Z∣8∣GOι中，設(shè)40=4∕ι=l,48=2,尸是GA的中點(diǎn).

試確定向量在平面BCG上的投影向量，并求枇?H?.

【答案】向量#在平面BCG上的投影向量為一水/；瓦t1?彳力=1.

【詳解】因?yàn)樾∑矫鍮CG,PC_L平面BCG,

所以向量在平面8CG上的投影向量為CGi

所以抗舒=抗?8∣G*=SX1×cos45。=1.

1

2.如圖，在直三棱柱Z8C一/山ιC∣（即44_L平面48C）中，AC=AB=AAl=y∣2,BC=2AE=2,求旋?Wt.

【詳解】（方法1）14MJ?平面ZBC,

：.AiALAB,AtAlAC.

,；4C=AB=%BC=2,

：.ABA.AC.

又BC=2AE=2,

為8C的中點(diǎn)，

二顯=/孫+宿.

；AAl=亞,

.?.∕∣C=2.

.?.港京^甘孫+祀）?（祀-筋I(lǐng)）=T祀2=1.

（方法1）（小4J_平面/BC,

.?.at1在平面ZBC上的投影向量為祀.

又AC=4B=AAι=y∣^.,BC=24E=2,

旅就=海忒=l×√2×cos45o≈l.

☆【題型八】空間向量在直線上的投影向量

【例題】如圖，在棱長為1的正方體∕8CZ‰48∣Gd中，M為棱CCl上任意一點(diǎn).

試確定向量就在直線8C上的投影向量，并求施?比.

【詳解】在正方體/5CD?∕∣8∣GO中，ABLBC,且CGJL5C,

因此，就即為所在直線5C上的投影向量，

從而施?比=或?炭'=I比F=1

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在長方體/8CZ）一小8IeIZ）I中，設(shè)∕D=44∣=1,48=2,尸是Gol的中點(diǎn).

試確定向量W力在直線SG上的投影向量，并求8C∣>?力力.

【詳解】因?yàn)榻釨l_L8iG,PC∣±5ιC∣,

所以向量介在直線BlCl上的投影向量為Blel>,

故B?C??A?P-B?C?■BtCt—1.

2.如圖，在三棱錐PdBC中，A4_L平面∕8C,CBLAB,AB=BC=a,PA=h.

試確定反'在直線48上的投影向量，并求反■?處.

【詳解】（2）無在直線48上的投影向量為港.無?港=施2=|港|2=〃2

☆【題型八】空間向量在向量上的投影向量

【例題】如圖，在三棱錐P—Z8C中，P4上平面4BC,CBY