2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破第4講 不等式的證明（原卷版）

第4講不等式的證明不等式問題是導(dǎo)函數(shù)考試的重點(diǎn),也是難點(diǎn).一方面是導(dǎo)函數(shù)的進(jìn)一步應(yīng)用,利用導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性和最值,然后利用單調(diào)性來證明和解決不等式問題.反過來,也可以利用不等式來判定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)進(jìn)而來研究函數(shù)單調(diào)性,所以不等式在基礎(chǔ)階段起重要的銜接作用.在后面的高級(jí)課程里面,不等式也是起著關(guān)鍵作用,特別是和放縮法結(jié)合來證明不等式,賦值法來找到零點(diǎn)區(qū)間等.在后面的極值點(diǎn)偏移和雙變量問題都圍繞著不等式展開,要好好體會(huì)關(guān)于不等式的證明,深刻理解不等式在導(dǎo)函數(shù)中的作用.不等式問題的核心就是合理地構(gòu)造函數(shù),函數(shù)的構(gòu)造將在后面章節(jié)講解,這里要重點(diǎn)掌握證明不等式的核心思路.其次是理解不等式的含義是圖像之間的上下位置關(guān)系,不等式的解是在圖像上方時(shí)的取值范圍.證明無參不等式不等式恒(能)成立問題的轉(zhuǎn)換方法:若在區(qū)間上有最值,則(1)恒成立:.(2)能成立:.【例1】已知函數(shù).證明:當(dāng)時(shí),.【例2】已知函數(shù),求證:.【例3】函數(shù).證明:對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立.不等式恒成立求參數(shù)取值范圍——參變分離參變分離法解不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的步驟：第一步:參變分離.若能參變分離,則將問題轉(zhuǎn)化為:[或恒成立.第二步:轉(zhuǎn)換為最值..第三步:通過導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)最值,進(jìn)而得到參數(shù)取值范圍.【例1】已知函數(shù)若恒成立,求的取值范圍.【例2】已知函數(shù)時(shí),,求的取值范圍.【例3】已知函數(shù),若恒成立,求的取值范圍.【例4】已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若)時(shí),恒成立,求的取值范圍.不等式恒成立求參數(shù)取值范圍——分類討論分類討論法解不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的步驟：第一步:合理構(gòu)造含參函數(shù)(構(gòu)造函數(shù)的方法在后面章節(jié)講).第二步:把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題.第三步:利用導(dǎo)函數(shù)討論最值的方法,來討論出函數(shù)最值.【例1】已知函數(shù)，已知對(duì)任意恒成立,求的值.【例2】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)若,求的取值范圍.【例3】已知函數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例4】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.不等式能成立(存在性)求參數(shù)取值范圍一一參變分離參變分離法解不等式能成立求參數(shù)取值范圍的步驟：第一步:參變分離.存在使得能成立,則參變分離,將問題轉(zhuǎn)化為:或恒成立.第二步:轉(zhuǎn)換為最值..第三步:通過導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)最值,進(jìn)而得到參數(shù)取值范圍.【例1】設(shè)函數(shù),若存在,使得不等式成立,求的取值范圍.【例2】設(shè)函數(shù),若存在正數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.不等式能成立(存在性)求參數(shù)取值范圍——分類討論分論討論法求不等式能成立的參數(shù)取值范圍的步聚:第一步:合理構(gòu)造含參函數(shù)(構(gòu)造函數(shù)的方法在后面章節(jié)講).第二步:把不等式能否成立轉(zhuǎn)化為最值問題.,.第三步:利用導(dǎo)函數(shù)討論最值的方法,來討論出函數(shù)的最值.【例1】已知函數(shù)