易錯點2 函數(shù)的性質-2022年高考數(shù)學考試易錯題（新高考專用）（教師版含解析）

易錯點02函數(shù)的性質

易錯題Loi］不理解函數(shù)概念

在函數(shù)力A-B中AB都是非空數(shù)集，且滿足兩允許，兩不允許：允許B中有剩余元素，不允許

A中有剩余元素；允許多對一，不允許一對多.

易錯題［02］研究函數(shù)單調性忽略定義域

研究函數(shù)的單調性切記定義域優(yōu)先，分式形式的函數(shù)要保證分母不為零,對數(shù)型函數(shù)要保證底

數(shù)大于零且不等于1,真數(shù)大于零.

易錯題［03］研究函數(shù)奇偶性與單調性忽略其等價形式的應用

1.注意與函數(shù)奇偶性有關的幾個結論：

⑴/⑺是偶函數(shù)o7(%)=〃r)o〃x)=〃k|)u>/(x)-『(r)=0；

(2)〃力是奇函數(shù)0/(-x)=-/(%)<?/(x)+/(-x)=O：

(3)若函數(shù)/(X)在x=O處有意義，則/(0)=0；

(4)/(%+?)是偶函數(shù)，則f(x+a)=/(-x+a)J(x)是偶函數(shù)，則〃x+a)=f(-x+a).

2.增函數(shù)與減函數(shù)的等價形式

⑴若\/xvx2e［a,b］，且%尸々，(七一工2)［/(%)-/(*2)］〉°。秋

=/(x)在［a,b］上是增函數(shù)；(%-%)［/(%)-/(%2)］<0o~"々)<o

王一馬

。./'(力在可上是減函數(shù).

(2)若x產x2，且"6")>3則y=_乙是增函數(shù).

X］—x2

易錯題［04］不會利用對稱性與奇偶性推導函數(shù)的周期性

(1)函數(shù)y=/(x)滿足/(a+x)=/(a-x)(a>0),若/(x)為奇函數(shù)，則其周期為T=4a,

若/(x)為偶函數(shù)，則其周期為T=2a.

⑵函數(shù)y=/(x)(xeR)的圖象關于直線x=a和尤=人(a<。)都對稱，則函數(shù)/(x)是以

2(匕一。)為周期的周期函數(shù)；函數(shù)y=/(x)(xeR)的圖象關于兩點A(a,%)、B(b,y0)

(a<h)都對稱，則函數(shù)/(x)是以2傳—a)為周期的周期函數(shù)；函數(shù)y=/(x)(xeR)的圖象

關于A(a,%)和直線x=外“<。)都對稱，則函數(shù)/(x)是以4e-a)為周期的周期函數(shù).

易錯題四

下列四個圖像中，是函數(shù)圖像的是（）

【警示】本題出錯的主要原因不明白函數(shù)不允許一對多.

【答案】c

【問診】根據(jù)函數(shù)的定義,一個自變量值對應唯一一個函數(shù)值，或者多個自變量值對應唯一一

個函數(shù)值，顯然只有（2）不滿足.故選C.

【叮囑】注意區(qū)分函數(shù)圖象與曲線的區(qū)別，曲線可以是一對多，但函數(shù)不允許一對多.

變式練可

L函數(shù)產/（尤）的圖象與直線x=l的交點個數(shù)（）

A.至少1個B.至多1個C.僅有1個D.有。個、1個或多個

【答案】B

【解析】若1不在函數(shù)/U）的定義域內,尸兀＜）的圖象與直線x=l沒有交點，若1在函數(shù)_/U）的

定義域內的圖象與直線X=1有1個交點，故選B.

2.下列四個圖像中，不是函數(shù)圖像的是（）

【答案】A

【解析】對于A,由于一個自變量x對應兩個兒不表示函數(shù),不是函數(shù)圖像，所以A符合題意,

對于BCD,由圖像可知一個自變量x對應唯一一個九所以表示的是函數(shù)圖像，所以BCD不符

合題意，故選A.

易錯題凹

（2022湖北省武漢市高三上學期月考）函數(shù)，（乃=1。8“（3-2^）在區(qū)間［1,2］上單調遞增,則實

數(shù)。的取值范圍為（）.

A.（0.1）B.

C.?D.（l,+oo）

【警示】本題出錯注意原因是忽略在［1,2］上3-為x>0.

【答案】C

【問診】設”（x）=3-2or（a>0）,可得y=log"",則”（x）=3-2ax（a>。）是減函數(shù)，

耍使得函數(shù)/（司=1嗝（3-2奴）為［1,2］上的增函數(shù),只需》=咋,,“為減函數(shù),且滿足

r［0<a<13

〃（力=3-2依>0對于84r,2卜恒成立,所以*（力="（2）=3_4〃>0，解得：0<?<-,

所以實數(shù)a的取值范圍為（0；）.故選C.

【叮囑】研究形如丫=108"/"）（。>0,。工1）的單調性一定要注意/（q>0.

變式練習,，

1.函數(shù)/（x）=1g（爐-2%-3）的單調遞增區(qū)間為.

【答案】（3,+8）

【解析】由》2一2%-3>0得》<一1或03,所以〃%）遞增區(qū)間為（3,母）.

2.（2022屆安徽省安慶市重點高中高三上學期月考）函數(shù)，（力=卜12-奴-3）在（1,+8）單調

遞增，求。的取值范圍（）

A.a<2B.a<2C.a<-2D.a<-2

【答案】C

【解析】令"x）=x2-雙-3,二次函數(shù)拋物線的對稱軸方程為x=；a,

由復合函數(shù)的單調性可知又/-以-3>0在（1，+°°）上恒成立，所以1-a-320,即

-2-°20,所以《2-，解可得,aM-2.故選C

-2-a>0

易錯題時

(2015新課標全國卷1)若函數(shù)/(x)=xln(x+Ja+f)為偶函數(shù)，則。=

【警示】本題失分注意原因是不知道用/(x)-/(-x)=O求”的值，直接利用定義又不知道

分子有理化.

【答案】1

【解析】因為“X)是偶函數(shù).，所以/(%)-/(-%)=xln[(x+Va+x2)(-x+Va+x2)]=

xlna=0,所以“=1.

【叮囑】研究函數(shù)的奇偶性與單調性要注意等價形式的應用.

變式練習

1.(2022屆陜西省西安高三上學期期中汜知函數(shù)++x+

awl),且/(萬)=5廁/(-萬)=()

A.-5B.2C.1D.-1

【答案】C

[解析]令g(x)=/(x)-3=In卜+\Jx2+1j+；+x,

所以g(x)為奇函數(shù)，

所以g(—萬)+g(%)=0,即/(一乃)-3+/(萬)-3=0.

又〃乃)=5,所以)=1,故選C.

2.(2022屆北京市通州區(qū)高三上學期期中)已知函數(shù)/(x)的定義域為RJ(5)=4J(x+3)是

偶函數(shù),Vxpx2G[3,^o)，有,(%)-"%)>0，則()

玉一當

A./(O)<4B./(1)=4C./(2)>4D.〃3)<0

【答案】B

【解析】由3)是偶函數(shù)可得“X)關于直線x=3對稱因為Vx?x2e[3,+8),有

色匕3>0,所以“X)在[3,內)上單調遞增，因為“5)=4,所以〃0)=〃6)>4.

%一％2

〃1)=〃5)=4J⑵=〃4)<4,無法比較了⑶與0的大小，故選B

易錯題四

(202全國卷甲卷理數(shù)12)設函數(shù)/(X)的定義域為AJ(x+1)為奇函數(shù),7(x+2)為偶函數(shù)，當

o

xe[l,2]時J(x)=or2+b.若f(0)+/(3)=6,則/0)=()

9375

A.—B.—C.—D.一

4242

【警示】不會利對稱性推導周期性是本題失分的主要原因

【答案】D

【問診】?/(x+1)為奇函數(shù)⑴=0,且f(x+l)=-x+1),

f(x+2)偶函數(shù),：.f(x+2)=f(-x+2),

/[(x+D+1]=-f[-(x+1)+l]=，即f(x+2)=,

f(-x+2)=f(x+2)=-/(-x).

令^=-》,則/。+2)=-/。)，

■-f(t+4)=-f(t+2)=f(t),rJ(x+4)=f(x).

當xw[l,2]時,/(幻=0^+力.

/(0)=/(-I+1)=-/(2)=4j,

/(3)=/(l+2)=/(-l+2)=/(l)=a+b.

乂/(0)+/(3)=6.—3(7=6,解得a=-2,

/(I)—a+b—0..'.b——a—2,

.?.當xeri,2]時,/(x)=-2W+2,

aia95

=/(-)=-/弓)=-(-2x-+2)=-.故選”

【叮囑】掌握由對稱性推導周期性的結論

變式練習〉)

1.(2022屆江西省贛州市十七校高三上學期期中聯(lián)考)已如y=/(x-l)的圖像關于點(1,0)對

稱，且對VxeR，都有/(x-1)=/(3-x)成立，當xe(-2,0)吐f(x)=2/,則

/(2021)+/(2022)=()

A.-2B.2C.0D.-8

【答案】A

[解析】y=ZU-1)的圖像關于點d,o)對稱，所以/*)關于原點對稱，為奇函數(shù).

由于f(x—1)=f(3-x)，所以/(x+4)=/(x+5-1)=/(3-(x+5))

=/(-2-x)=-f(x+2)=-f(x+3-1)=-/(3-(x+3))=-/(-x)=/(x),

所以/(x)是周期為4的周期函數(shù).

所以/(2021)=/(505x4+l)=/(1)=-/(-I)=-2x(-l)2=-2.

/(2022)=/(505x4+2)=/(2)=/(-2),而/(2)=-/(-2),

0/(2)=0即/(2022)=0,/(2021)+/(2022)=-2,

2.(多選題)(2022屆山東師范大學附屬中學高三上學期月考)定義在R的奇函數(shù)/(x)滿足

=當xe［0,3］時〃x)=d-3x,則以下結論正確的有()

A.“X)的周期為6B./(X)的圖象關于(1,0)對稱

C.7(2021)=2D./(X)的圖象關于x對稱

【答案】ACD

【解析】因為/⑴滿足〃x_3)=_〃x),所以〃*_6)=_〃8_3)=〃力,故函數(shù)〃》)是周期為

6的周期函數(shù)，故A選項正確：、由于函數(shù)為R的奇函數(shù)f(x)滿足〃x-3)=_f(x),所以

/(x_3)=-/(x)=/G),所以根據(jù)周期性得〃x+3)=〃_x),所以小+T=/(|-4所以

/(X)的圖象關于x對稱，故B錯誤,D正確；對于C選項,結合周期性得

〃2021)=/(336x6+5)=〃5)=/(T)=-〃1)=一(1-3)=2,故正確.故選ACD

易錯題通關

1.(2022北京市朝陽區(qū)高三上學期期中屆)若函數(shù)〃,力=。-己2(aeR)為奇函數(shù),則實數(shù)

"().

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

2

【解析】因為函數(shù)〃力="亍、(。€/?)為奇函數(shù),定義域為乩

所以40)=0,即解得4=1,經檢驗符合題意，故選D

2.(2022屆廣東省深圳實驗學校、湖南省長沙市第一中學高三上學期聯(lián)考)已知函數(shù)

［lg(2x+l),X>0,、/、ri

"力二%-2：1<0'若不等式“儂一1)<小—2)在［2,3］上有解,則實數(shù)"的取值范圍是

)

【答案】C

【解析】當x<0時,/(X)=lg(l-2x),-x>O./(-x)=lg(-2x+l)=/(x).

當x>0時,f(x)=lg(2*+1),—X<o,f(-x)=lg(l+2x)=/(x).

所以/(X)為偶函數(shù).又因為一(X)在(―,0)為減函數(shù)，在(0,+e)為增函數(shù).

所以/3-1)</"-2)0麻-1|小-2|.因為不等式“"-1)</(%一2)在［2,3］上有解,所

31

以2—xvor—1vx—2,即二一1<x<1—在［2,3］上有解，

又因為y=：-l在［2,3］為減函數(shù),、=1-：在［2,3］為增函數(shù)，

3

所以0<。<5.故選c

3.已知偶函數(shù)/(X)的圖象經過點(T-3),且當04a<。時,不等式(fS)-/(?))(^-?)<。恒成

立，則使得/(X-2)+3<0成立的x取值范圍為()

A.(3*)B.(1,3)C.(―,1).(3收)D.［1,3］

【答案】C

【解析】由題意,Ax)是偶函數(shù)且經過點(-1,-3)所以點(1,-3)也在圖象上，即/(1)=-3

當04a<匕時不等式(/(b)-/(a))S-a)<0恒成立，所以函數(shù)/(x)在［0,+a>)上為減函數(shù)，因

為/(x-2)+3<0,即/(x-2)<-3,所以/(,一2|)</。),即卜一2|>1

解得：x<l或x>3

所以使得/(工-2)+3<0成立的x取值范圍為：(y>,l)U(3,y).故選C.

4.(2022屆新疆克拉瑪依市高三第三次模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足

〃x)=〃2r),當時J(x)=3x,若函數(shù)g(x)=f(x)-耳x-4)的所有零點為

1Q〃

x,(i=l,2,3,,〃),當時,=()

A.20B.24C.28D.36

【答案】c

【解析】?.?定義在R上的奇函數(shù)“X)滿足〃x)=/(2-x),故圖象關于x=l對稱，

；?一/(—x)=/(2—x).故〃2+x)=—4X).〃4+x)=—/(2+x)=〃x),即周期為4,又

〃x)定義在H上的奇函數(shù)，所以(4,0)是函數(shù)〃x)一個對稱中心，

又因為當時J(x)=3x,作出函數(shù)/(x)的草圖，如下：

易知函數(shù)y=%(x-4)經過定點(4,0),且關于(4,0)中心對稱，

1Q1劣

又;<4<],分別作出函數(shù)y=；(x—4)和y=](x-4)的圖象廁函數(shù)y=&(x—4)的圖象在函

則y=/(x)與y=Mx-4)交點關于(4,0)中心對稱，由圖像可知關于(4,0)對稱的點共有3對,

同時還經過點(4,0),所以￡升=3x2x4+4=28.故選C.

/=!

5.(2022屆重慶市涪陵實驗中學校高三上學期期中)已知y=/(x-l)的圖象關于點(1,0)對稱,

且對VxeR,都有〃x-l)=/(3-X)成立，當xe[7,0)時J(x)=2d,則/(2021)=()

A.-8B.-2C.0D.2

【答案】B

【解析】因為y=〃x—i)的圖象關了點(1,0)對稱，

所以函數(shù)/(X)的圖象關于點(0,0)對稱，即函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，

所以—f(x),

又對X/xeR,都有/(x-l)=〃3-x)成立，

所以〃x+2)=/(—x)=-/(x),

所以〃x+4)=-〃x+2)=-[-/(X)]=〃x),

所以函數(shù)/(?是周期為4的周期函數(shù)，

因為xw[—l,0)時,/(x)=2f,

所以f(2021)=/(1)=-/(-1)=一2(-1)2=-2,故選B.

6.(2022屆吉林省長春市重點高中高三上學期月考)已知函數(shù)負x)=lg(N—2x—3)在(一8,4

單調遞減，則a的取值范圍是()

A.(-oo,-|]B.(-oo,2]C.[5,+oo)D.[3,+oo)

【答案】A

【解析】y=lg“是增函數(shù),〃=2x-3=(x-l)2-4在(9,1)上遞減，在(1,”)遞增，

[a<\

因此/(x)在(ro,a)上遞減，則有I.0、八,解得a?-l.故選A.

口-2a-320

7.(多選題)(2022屆決勝新高考名校交流高三聯(lián)考卷)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對VxeR,

均有/(x+2)=-〃x),當xe[0,l]時,"x)=log2(2-x),則下列結論正確的是()

A.函數(shù)〃x)的一個周期為4B.”2022)=1

C.當xe[2,3]時,/(x)=-1。氏(4—x)D.函數(shù)在[0,2021]內有1010個零點

【答案】AC

【解析】是定義在R上的偶函數(shù)，對TxeR,均有〃x+2)=-〃x),

.?J(x+4)=—"x+2)="x),故函數(shù)的周期為4,故選項A正確；

/(2022)=『(4x505+2)=/(2)=—/(0)=—1,故選項B錯誤；

當xe[2,3]時,x-2e[0,l],則〃x)=-〃x-2)=-log2[2-(x-2)]=-log2(4-x),故選項C

正確；易知〃l)=/(3)=f(5)i.=/(2019)=/(2021)=0.

于是函數(shù)f(x)在[0,2021]內有1011個零點，故選項D錯誤，故選AC.

8.(2022屆廣東省普通高中高三上學期11月階段性檢測)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足

/(%)=-/(4-x),且/(X+1)=川-x),則()

A.7(x)為奇函數(shù)B.7(x)的圖象關于x=2對稱

C./(x+2)為偶函數(shù)D.7(x)是周期為4的函數(shù)

【答案】AD

【解析】因為/a+i)=/a-x