遼寧省瓦房店高級(jí)中學(xué)2023年高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測(cè)卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某地區(qū)高考改革，實(shí)行，3+2+1”模式，即“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必選

一門，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科，則一名

學(xué)生的不同選科組合有（）

A.8種B.A種C.16種D.20種

\Bc\=2,BABC=-2PC（PA+PB+PC）

2.已知AABC中，??.點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）

_3_25

A.2B.4C.-2D.12

3.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積是（）

A.8c巾2B12cm2

4.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是‘每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示

為兩個(gè)素?cái)?shù)（即質(zhì)數(shù)）的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超過20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等

于20的概率是（）

113

A.14B.12C.28D.以上都不對(duì)

y-_m_x_+_\

5.已知函數(shù)〉=。*2（">°且aol的圖象恒過定點(diǎn)尸，則函數(shù)x+n圖象以點(diǎn)尸為對(duì)稱中心的充要條件是（）

m==—m=-l,n=2

?D?

Cm=1/=2口m=—l,n=—2

（吟3

cosa+—=—

6.設(shè)a為銳角，若I4J5,則sin2a的值為（）

17_YL

A.25B.25c.25D25

7.已知角“的終邊經(jīng)過點(diǎn)則2si股+cosa的值是（）

2_2_22

A.1或TB.5或5c.i或5D.T或5

—=2z+l

8.已知i是虛數(shù)單位，若j，則（）

A.6B.2c.MD.10

io.已知函數(shù)—以-i,以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①當(dāng)a=°時(shí)，函數(shù)/（X）的圖象的對(duì)稱中心為（°，T）；

②當(dāng)。23時(shí)，函數(shù)Ax）在（-1，1）上為單調(diào)遞減函數(shù)；

③若函數(shù)〃?在（T'D上不單調(diào)，則。＜。＜3；

④當(dāng)a=12時(shí)，/（x）在［Y，5］上的最大值為［.

A.1B.2C.3D.4

/G)=sin|+cos<ux（（o>0）.]L

11.已知函數(shù)在1。H上的值域?yàn)閡,則實(shí)數(shù)e的取值范圍為（）

12.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為A8中點(diǎn)，F(xiàn)為co的三等分點(diǎn)（靠近。）若“"="”0+加“，則

的值為（）

_1_2_1

A.2B.3C.'D.T

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

—+—=1（67>/>>0）

13.已知橢圓「a2b2,Fl、F2是橢圓「的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓「的上頂點(diǎn)，延長AF2交橢圓「

AARF

于點(diǎn)B,若△1為等腰三角形，則橢圓「的離心率為.

14.已知向量加=（一2/），〃=（4,y）,若碗則M+"|=.

x2V2

C：—+—=>b>0）pp下門①

15.己知橢圓a2b2的左右焦點(diǎn)分別為?2,過"2W且斜率為1的直線交橢圓于AB,

若三角形耳48的面積等于衣2,則該橢圓的離心率為________.

16.已知函數(shù)〔2x2+—+c,尤<°是偶函數(shù)，直線y='與函數(shù)）'='Q）的圖象自左向右依次交于四個(gè)不同

點(diǎn)A,B,C,D.若AB=BC,則實(shí)數(shù)t的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知橢圓°：4,不與坐標(biāo)軸垂直的直線,與橢圓。交于加，N兩點(diǎn).

（I）若線段"N的中點(diǎn)坐標(biāo)為I求直線’的方程；

（II）若直線/過點(diǎn)（4,0），點(diǎn)PQ。。）滿足+鼠=°（kpM,鼠分別為直線PM,PN的斜率），求為的值

C.二+?2-1

18.（12分）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸，過尸的直線,與0交于A*兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，°）.

（1）當(dāng)直線/的傾斜角為45°時(shí)，求線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,求證：M,B,C三點(diǎn)共線；

（3）設(shè)過點(diǎn)M的直線交橢圓于G，”兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P,使得°6+°方=九°尸（其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)

入的取值范圍.

19.（12分）設(shè)橢圓從2+'I直線4經(jīng)過點(diǎn)"Q"）,直線"2經(jīng)過點(diǎn)直線直線1,且直線Z2

分別與橢圓￡相交于A8兩點(diǎn)和C'°兩點(diǎn).

（1）若用，N分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，且直線軸，求四邊形A8CO的面積；

（H）若直線〈的斜率存在且不為0,四邊形A8C。為平行四邊形，求證:加+〃=°；

（川）在（II）的條件下，判斷四邊形ABC。能否為矩形，說明理由.

20.（12分）在如圖所示的四棱錐尸-A8CO中，四邊形ABCZ）是等腰梯形，AB〃CD,乙48c=60°,ECJ■平

面ABC。，AC1BFCB=CD=1

（1）求證：AC_L平面8C77；

在

（2）已知二面角/一80-C的余弦值為5,求直線4F與平面。尸8所成角的正弦值.

21.（12分）如圖，四棱錐「一ABC。的底面為直角梯形A8//DC,NABC=90°,AB=BC=\?CD=2,PC±

底面AB。。，且尸C=@后為CD的中點(diǎn).

p

（1）證明：BEVAP.

（2）設(shè)點(diǎn)知是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線AM與直線OP所成的角最小時(shí)，求三棱錐尸一COM的體積.

22.（10分）已知函數(shù)y=/（"）與的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）若y=的圖象在點(diǎn)AQO'/Q?！诽幍那芯€經(jīng)過點(diǎn)（一e，—1）,求”的值；

/（xX—ax2-（l-a）x-l

（2）若不等式2恒成立，求正整數(shù)0的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

分兩類進(jìn)行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對(duì)應(yīng)的組合數(shù)，即可求出結(jié)果

【詳解】

若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門，則有=12種組合；

若一名學(xué)生物理和歷史都選，則有匕一種組合；

因此共有12+4=16種組合.

故選C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，熟記其計(jì)數(shù)原理的概念，即可求出結(jié)果，屬于常考題型

2、D

【解析】

以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系，可得"I'。''。''。）,設(shè)尸（"」））A（x,））,運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示,

求得點(diǎn)A的軌跡，進(jìn)而得到關(guān)于a的二次函數(shù)，可得最小值.

【詳解】

以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的直角坐標(biāo)系，

r/(-LO),C(LO)、幾尸(〃，O),A(x,y)

可得，設(shè)，

由BA,-BC——2

俎(x+1,y)?(2,0)=2x+2=-2%=一2,ywO

可得，即^

PC(PA+PB+PC)=(l-a,O)G-a-l-a+l-a,y+O+O)

則

=(1-Q)(X-3Q)=(1-Q)(-2-3Q)=3a2—Q—2

a=gPC(PA+PB+PC)

當(dāng)6時(shí)，的最小值為12

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

3、D

【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計(jì)算出幾何體的表面積

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為2x2=4.側(cè)面的高為＞/日6=有，所以側(cè)面積為

4x—x2xy/5=4-75Q-Js+4X/M2

2.所以該幾何體的表面積是

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題

4、A

【解析】

首先確定不超過2°的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率求解方法計(jì)算可得結(jié)果

【詳解】

不超過2°的素?cái)?shù)有2,3,5,7,II,13,17,19,共8個(gè),

從這&個(gè)素?cái)?shù)中任選2個(gè)，有。：=28種可能;

其中選取的兩個(gè)數(shù)，其和等于2°的有Qi,），Gm）,共2種情況,

故隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于2°的概率2814

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

由題可得出p的坐標(biāo)為Q』），再利用點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即可求出機(jī)和

【詳解】

J尤-2=0

根據(jù)題意，,所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2』），

mx+1m(x+〃)+l一m"

又x+〃

所以m=1'〃=-2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題和函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

6、D

【解析】

用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算.

【詳解】

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式，解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.

7、B

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得sinmcos"后可得結(jié)論.

【詳解】

八r=J（-4.1+（3.E=5\mI

由題意得點(diǎn)尸與原點(diǎn)間的距離V1I

①當(dāng)機(jī)＞°時(shí)，r=5m

3m3-4m4

S1H67——,COSCl-—―

5m55m5

.342

2sin〃+cosa=2x二一一二一

555

②當(dāng)機(jī)<°時(shí)，r=-5m

3m3-4m4

sina二----=一一，cosa=----=—

-5m5-5m5

2

2sina+cosa=2x

5

2_2

綜上可得2sin?+cosa的值是弓或5.

故選B.

【點(diǎn)睛】

利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)需確定三個(gè)量:角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,

該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.

8、C

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】

—=2z+l

因?yàn)橐唬?/p>

所以z=（i）（2i+D,

Iz1=11-?I-I2z+11=72x75=710

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題

9、A

【解析】

.5（-x）+2sin（-x）5x+2sinx_

因?yàn)?r—一3-7-3V-3-X所以函數(shù)/a）是偶函數(shù)，排除B、D,

y（n）=5n>0

又3"-3-",排除C,故選A.

10、C

【解析】

逐一分析選項(xiàng)，①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心判斷；②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若滿足條件,

則極值點(diǎn)必在區(qū)間J1』）；④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.

【詳解】

①>=心為奇函數(shù)，其圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，根據(jù)平移知識(shí)，函數(shù)“X）的圖象的對(duì)稱中心為正確.

②由題意知/(x)=3x2-a,因?yàn)楫?dāng)一1<尤<］時(shí)，3x2<3>

乂"河所以/(x)<°在(T，D上恒成立，所以函數(shù)/(x)在(T/)上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確.

③由題意知“")—3x2a當(dāng)440時(shí)，f(x)>Qt此時(shí)/(x)在(-8，+8)上為增函數(shù)，不合題意，故。>0

,_x=土叵

令/(x)-0,解得3.因?yàn)?(x)在(T，D上不單調(diào)，所以廣。)=0在(T,l)上有解，

0<迤<1

需3,解得0<a<3,正確.

④令/(X)=3X2-12=0,得》=±2.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，"X)在145】上的最大值只可能為,(一2)或/(5)

因?yàn)椤?2)『(5)=64,所以最大值為建,

結(jié)論錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值,意在考查基本的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型

11、A

【解析】

KJ簿’3

-F-j(ox33'"』；根據(jù)""一5,結(jié)合心)的值域和s】m.的圖象，可知

將/tv)整理為\力，根撩的范圍可求得

7C才2萬

-<K(t)4--<—

233,解不等式求得結(jié)果.

【詳解】

/、/4H元下.3匚.(”

f\x)-sinkox+-］+cos3r=sinwxcos-+cos3Ksm二+coscox=：sin3V+;cos3V=(3§叫5?4-

\6)166

X［乃JT

當(dāng)》日0.才|時(shí)，，L，”

fid)4sin-=一/isn-=一、仄山一=\'5

又32,3292

E同產(chǎn)7r2及

由念)在［oz］上的值域?yàn)?13~.

r

解得：［6ji

本題正確選項(xiàng)：/

【點(diǎn)睛】

本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限，從

而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.

12、D

【解析】

使用不同方法用表示出然一，結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出.

【詳解】

AF=AD+DF=-AB+AD

解：3,

AF=xAC+yDE=x(AB+AD)+y(-AB-AD)=(x+-y)AB+(x-y)AD

又22

5

x+—y=-i49

234

y=——

解得〔9

,所以＞一苫=

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3

【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設(shè)伊7y=’，由題可得忸的長，在三角形A'。中，三角形'々勺中由余

弦定理可得,AB勺的值相等，可得a，’的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率

【詳解】

如圖，若I為等腰三角形,則IBF1ITABI.設(shè)IBF2l=t,則|BFl|=2a-t,所以|AB|=a+t=|BFl|=2aT,解得a=2t,即

—c=\OF2\=

IABHBFII=3t,IAFll=2t,設(shè)/BAO=8,貝lJ/BAFl=28,所以「的離心率e="11sin6,結(jié)合余弦定理，易得在

cos20=1=1-2sin20sin20=2.2^

?中，3，所以3,即€=如9=3

故答案為:3

【點(diǎn)睛】

此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于中檔題

14、10

【解析】

根據(jù)垂直得到y(tǒng)=8,代入計(jì)算得到答案.

【詳解】

m±nt則說工=(-2,l>(4,y)=-8+y=0,解得y=8,

“2帚+日=(一4,2)+(4,8)=(0,10)」2蔬+司=10

故，故??

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，向量模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力

15、g

【解析】

,，一,r=V4-1,C?2+/?2)y2+262)+/?2—。2人2=0

由題得直線48的方程為冗代入橢圓方程得：7)

/、/、-2b2b2—a2b2

設(shè)點(diǎn)A則有乙+%-G+C--二+枚,由

S=lxIFFIxly-y\=y/2bi

"*2'2''2，且成一加=1解出“，進(jìn)而求解出離心率.

【詳解】

,上+四=1

由題知，直線AB的方程為X-y+l,代入成b2消x得：

C/2+4)>2+2b2y+￡>2-a2b2=0

-2b2b2—a2b2

A（x,y）,B（x,y）y+y=,>yy

設(shè)點(diǎn)112/2,則有>2a2+b212GJfbl

y=y+y4yy-2/?2Y4b?-a2b2_2abyja2+』2-1

-'-\yi-）/i2^~i2

Q2+32JQ24-/72Q2+Z72

而％13叱卜卜訃?2X2?：-二@2

又Q2一從=1

le=—=——=y/3-l

_V3+1a#+1

解得：2,所以離心率2.

故答案為：W-1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積計(jì)算與離心率的求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力

5

【解析】

由f（x）是偶函數(shù)可得x>°時(shí)恒有/（—X）=/（?,根據(jù)該恒等式即可求得“，b,c的值，從而得到“X），令'=/（X）,

可解得4,B,C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)AB=8C可列關(guān)于'的方程，解出即可.

【詳解】

解：因?yàn)?⑶是偶函數(shù)，所以x>°時(shí)恒有/（-x）=/（x）,即2x2-bx+c=g-4x-l,

所以(a-2)x2+(6-4)x-c-l=0

a—2=0

<b—4=0

所以卜+1=°，解得。=2,b=4,c=-l.

2x2-4x-l,x^0

fM=\

2x2+4x-l,x<0

所以

x=-1±-12t+6

由，=2x2+4x—1,gp2x2+4x-1-r=0,解得2

x=-l--V2r+6x=-l+-72r-f-6

故A2,B2

由，=2X2-4X-1,gp2x2-4x-l-r=0,解得'一"4

x=1--+6x=1+，J2f+6

故02,。2.

5

r—

因?yàn)锳B=8C,所以『匕='-「，即右+6=23+6,解得2t

5

故答案為:2

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)*+2丁-2=0(H)x0=l

【解析】

(I)根據(jù)點(diǎn)差法，即可求得直線的斜率，則方程即可求得；

L_1.b=f)

(II)設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)PM.一，即可求得參數(shù)的值.

【詳解】

才+”，

<

了2

小、0(7)N(x,y)才+>廠L

(1)設(shè)11,22,則L

(%-X)(%+X)/\(、八

—1---2---1---2-4-ly-yAy+y7=0

而嚇田、小V7T4B41212/業(yè)、

目頌，號(hào)

因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為12),所以5+%=2y+y=1

，12

(口).2+6_y)=0

代入(*)式，得412

女=4^=」

所以直線/的斜率X1-X22.

1_1，

y_____(x—1n),

所以直線’的方程為22,即尤+1y-2=0

c=zny+4,

<ai

一+)2=1.

(II)設(shè)直線'：x='")'+4聯(lián)立'4.

+4“2+Smy+12=0

整理得

A=64機(jī)2-4xl2xCn2+4)

所以解得帆2>12

Sm12

y+y=-----Tyy=?

所以12儂+4,'2m2+4

y(x-x)4-y(x-x)

k+k=?+——i_,1?)n：/。：八

所以PMPNX-%X-X(x—x-x)

oo1020

xy+xy-(y+y(機(jī)y+4)y+(my+4)y-(y+y)x

=1b[?、n=__；iix}\/1n

(x-xAx-X){x-x)[x-x)

10201020

2myy+(4-x)(y+y)

____,:ni、】=0

U-XAx-X)

1020

.2myy+(4-x)(y+y)=0

所以r20‘1/2

8m8m(x-1)

2myy+(4-x)(y+y)=2a-12+(x-4)-

-=-0=0

所以120I2W2+40m2+4m2+4

因?yàn)樗裕?1.

【點(diǎn)睛】

本題考查中點(diǎn)弦問題的點(diǎn)差法求解，以及利用代數(shù)與幾何關(guān)系求直線方程，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬中檔題

2

18、(1)AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為行；(2)證明見解析；(3)(一2,2)

【解析】

A(x,y),B(x,y)

位1122.

y=x-i

(1)因?yàn)橹本€/的傾斜角為45°,產(chǎn)(1，°),所以直線AB的方程為＞聯(lián)立方程組〔—5++?2一-1，消去,并整理,

4x+x2

X*+X*——1Q——

得3x2—4x=0,則?23'2-3,

2

故線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為不.

(2)根據(jù)題意得點(diǎn)c(q，r;),

若直線AB的斜率為0,則直線AB的方程為>=°,A、C兩點(diǎn)重合，顯然M,B,C三點(diǎn)共線;

若直線AB的斜率不為0,設(shè)直線AB的方程為+

x=my+i

<X2〔

—+y2=1

聯(lián)立方程組l2,消去x并整理得(儂+2)戶+2切-1=0,

2m1

y+y=-------,yy=-------

k

則'2m2+2-?2加2+2,設(shè)直線BM、CM的斜率分別為。M、CM>

則

,,~yyy(x-2)+y(x-2)y(my-l)+>'(my-1)2myy-(>'+)?)

K—K---2-----1-=T1—!-------1-2------21------12----------1----12

BMCM2-x2-x(x-2)(x-2)(my-1)(〃2y-1)l-m(y+y)+/W2yy

2112121212

-2m2m

■+

m2+2+2=o

,2m2m2

IH--------------.1

加2+2ml+2,即。M=%〃，即M,B,C三點(diǎn)共線.

（3）根據(jù)題意，得直線GH的斜率存在，設(shè)該直線的方程為丫="0-2）,

設(shè)尸（＞4）0（2七）田3%）

y=k(x-2)

?X2.

一+J2=1

聯(lián)立方程組2消去）'并整理，得（1+2攵2）k-8攵2工+8攵2-2=0

,18人8公一2

由△=64匕-4(1+2攵2)(8攵2-2)＞。，整理得2,又匕+匕1+2&1+2公

4〃

y+y=k(x+x-4)=-------

所以34341+2上

結(jié)合。G+加=九。＞，得菽0=二+［，包=丫3+刀,

當(dāng)九=。時(shí)，該直線為x軸，即y二°

此時(shí)橢圓上任意一點(diǎn)P都滿足oG+。m=入。戶，此時(shí)符合題意;

18&2

X——'---------

＜。九1+2上

_￡-4k32gT6k2,

-----------F---------=1

當(dāng)入。0時(shí)，由+O/Z=九。戶，得‘0九1+2公代入橢圓C的方程，得Q(l+2公)2Q(l+2&2)2,整理,

、16k216

A2-------=------

1+2公I(xiàn)-

得k2,

再結(jié)合2,得到℃2V4,即＞€(-2,0)U(0,2),

綜上，得到實(shí)數(shù)九的取值范圍是（一2,2）.

19、（I）2點(diǎn)；（H）證明見解析；（III）不能，證明見解析

【解析】

,計(jì)算得到面積.

4k2m

X+x=--------

122攵2+1

2k2m2-2網(wǎng)=際2^^〃建+8

（ii）設(shè)（為，="Q-聯(lián)立方程得到xx=------------

122A2+1計(jì)算2k2+1,同理

,根據(jù)M=|C°I得到加2="2,得到證明.

（III）設(shè)AB中點(diǎn)為？?,根據(jù)點(diǎn)差法得到。+2妨=0,同理c+2Zd=0,故p。2k*kt得到結(jié)論.

【詳解】

ZX/XA（—1,小

⑴加-1,。），N（l,。），故12

故四邊形4BCD的面積為S=2jE.

X2

T+y2=1

(222+1)x2一422mX+2m222—2=0

…,y=k\x-m),y=k\x-rn)

(II)設(shè)］為,，則故

4k2m

X+X

122k2+1

2k2m2-2

xx=------------

設(shè)gM,叱匕）故I122A2+1

:，16公一8公加2+8

|AB|-j+k,2|x-x|=Jl+公J(x+xj-4xx->Jl+k

2&2+1

|CD卜標(biāo)業(yè)±8公〃2+8

同理可得2左2+1

出6k2-8上加2+8r~直也6k2-8)2〃2+8

ABJl+%2上+

火2V+*21

\\=\CD\故2+1

即m2=nz,m手n,故〃2+幾=0

Q-t-+y2=1-2-+y2=1

(IH)設(shè)相中點(diǎn)為尸腦，叫則2?,22

(x+xXx-x)7\

—J——2——i——+yAy-y7=0

相減得到2121即a+2kb=0

同理可得：CD的中點(diǎn)滿足c+20=0,

.d-bd-b11

故PQc-a-2kd+2kb2kE,故四邊形ABC0不能為矩形

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓內(nèi)四邊形的面積，形狀，根據(jù)四邊形形狀求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力

在

20、(1)證明見解析；(2)5.

【解析】

(1)由已知可得CF,AC,結(jié)合AC,BR,由直線與平面垂直的判定可得ACJ?平面BCb；

⑵由⑴知，AC,。則C4,%“兩兩互相垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以5C3,5所在直線

更

為x,',z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)/(°,0,“)，由二面角尸一BO-。的余弦值為5求解。，再由空間向量求

解直線4尸與平面OFB所成角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)樗倪呅?8C。是等腰梯形，AB//CD(ZABC=60°,所以/4。0=/8?！?gt;=120°又44=。

所以ZACZ)=30。,

因此4c8=90°,AC1BC,

又AC1B/7

且5?？?尸=8,BC,BEu平面5C/7,

所以AC,平面8b

(2)取8。的中點(diǎn)G,連接CG,FG

由于CB=CO,因此CG,BO,

又尸。~L平面ABC。，8￡)u平面A3CZ),所以下。_1_3。

由于bCcCG=C,FC,CGu平面尸CG

所以30,平面尸CG,故BDLFG,

所以NFGC為二面角b-BO-C的平面角.在等腰三角形8C°中，由于ZBCO=12()。

CG=1

因此2,又CB=CF=1

cosZFGC叵

因?yàn)?,所以tan/FGC=2,所以?=1

F（0,0,1）B（0,1,0）

以％為光軸、a為>軸、a7為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則22

/方=（且L—1B力=（且2,0、

I22）I22J

，，

設(shè)平面尸的法向量為〃=（乂%Z）

褥1n

——x-^y-z=0

I22

FDn=0串

所以1%=°,即〔22y,令X=?則y=l,Z=l,

則平面DBF的法向量〃=G11）（-73,0,1）,

.c\AF-n\J5

sin0=—▼

設(shè)直線4尸與平面50尸所成角為8,則\n\\AF\5

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題.

2^/2

21、（1）見解析；（2）9.

【解析】

（1）要證明BELAP,只需證明8石工平面PAC即可；

（2）以c為原點(diǎn)，分別以CcAc"的方向?yàn)?軸、'軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求

1-

——-BM=-BP

并求其最大值從而確定出使問題得到解決.

cos<AM,DP>f3

【詳解】

(1)連結(jié)AC、AE,由已知，四邊形ABCE為正方形，則AC'BE①，因?yàn)镻C_L底面

ABCD,則PC_LBE②，由①②知平面PAC,所以

(2)以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

20,0,應(yīng))，所以血=(一1,0,0),BP=(0,-1,y/2)DP=(-2,0,y/2)設(shè)兩=九而