矩陣的特征值問題

關(guān)于矩陣的特征值問題1設(shè)A是n階方陣，如果存在一個(gè)數(shù)

及非零向量則稱

為A的一個(gè)特征值,α為A的對應(yīng)于（或?qū)儆冢│?使得特征值

的特征向量。第一節(jié)特征值與特征向量比如，給定定義1第2頁,共71頁，2024年2月25日，星期天如何求方陣A的特征值與特征向量?分析:若是A的特征值，是A的屬于特征值的特征向量，α

Aα=λα,即(λE-A)α=0(α≠0),可見:α是齊次線性方程組(λE-A)X=0的非零解.由于是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組，故有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式|λE-A|為零，即

|λE-A|=0. (稱此方程為A的特征方程).(λE-A)X=0.λ

由此可知:是特征方程的根。λ

|λE-A|=0λλα則由定義有第3頁,共71頁，2024年2月25日，星期天求矩陣A的特征值與對應(yīng)的特征向量的步驟可以歸納為：(2)將每個(gè)特征值λ=

代入齊次線性方程組,得

(

E-A)X=0，特征向量.解方程組，求出基礎(chǔ)解系，基礎(chǔ)解系的線性組合(1)求出A的特征方程|λE-A|=0的全部根，即得矩陣A的全部特征值

.求矩陣A的特征值與對應(yīng)的特征向量的步驟可以歸納為：（零向量除外）就是A的對應(yīng)于特征值

的全部

第4頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例1求矩陣A=解

A的特征方程為故得A的特征值為λ1=-1,λ2=λ3=2.的特征值與特征向量.|λE-A|=0即第5頁,共71頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)λ1=-1時(shí)，解線性方程組(-E-A)X=0,得基礎(chǔ)解系α1=(1,0,1)T，于是對應(yīng)于λ1=-1的全體特征向量為k1α1,k1為任意非零常數(shù).當(dāng)λ2=λ3=2時(shí)，解線性方程組(2E-A)X=0,即得基礎(chǔ)解系α2=(1,0,4)T,

=(1,4,0)T,于是對應(yīng)于λ2=λ3=2的全部特征向量為k2α2+k3α3(k2,k3是不同時(shí)為零的任意常數(shù)).＝

＝即第6頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例2求矩陣A=解

A的特征方程為故得A的特征值為λ1=2,λ2=λ3=1.的特征值與特征向量.|λE-A|=第7頁,共71頁，2024年2月25日，星期天＝得基礎(chǔ)解系α1=(0,0,1)T.于是對應(yīng)于特征值λ1=2的全部特征向量為k1α1(k1為任意非零常數(shù)).當(dāng)λ2=λ3=1時(shí)，解齊次線性方程組(E-A)X=0，即＝得基礎(chǔ)解系α2=(1,2,-1)T.于是對應(yīng)于特征值λ2=1的全部特征向量為k2α2(k2為任意非零常數(shù)).當(dāng)λ1=2時(shí)，解齊次線性方程組(2E-A)X=0，即第8頁,共71頁，2024年2月25日，星期天注意:例1中對于二重特征值對角化問題的討論具有重要意義.線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)只有一個(gè),這對后面方陣對應(yīng)于二重特征值的存在兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量;而例2中第9頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例3

設(shè)λ是方陣A的特征值，證明(1)λ2是A2的特征值；(2)當(dāng)A可逆時(shí)，證明設(shè)α≠0是A的對應(yīng)于λ的特征向量，則

A=λα,于是

(1)

α(2)當(dāng)A可逆時(shí)，由Aα=λα有α=λA-1α.因α≠0，α,即是A-1

的特征值.知λ≠0，故Aα=22故λ是A的特征值.-1第10頁,共71頁，2024年2月25日，星期天(1)(A)=

有特征值.有特征值.ψ(A)=

.ψ(λ)=注進(jìn)一步容易證明：若A有特征值，則φ(λ)=

(2)當(dāng)A可逆時(shí),λφ

第11頁,共71頁，2024年2月25日，星期天二、特征值與特征向量的性質(zhì)設(shè)A是n階矩陣，則A與有相同的特征值.

性質(zhì)1A證明因?yàn)閨λE-A|=|(λE-A)|=|λE-A|,

所以A與A有相同的特征多項(xiàng)式，

故它們的特征值相同.TTTT第12頁,共71頁，2024年2月25日，星期天設(shè)A=(aij)是n階方陣，則

＝λn-(a11+a22+…+ann)λn-1+…+(-1)n|A|.|λE-A|＝由n次代數(shù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系有性質(zhì)２:第13頁,共71頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)2設(shè)n階方陣A=(

)的n個(gè)特征值為則

(1)

由此定理很容易有推論:稱為矩陣A的跡，記作trA.其中A的全體特征值之和=|A|.(2)第14頁,共71頁，2024年2月25日，星期天推論

n階方陣可逆的充分必要條件是它的全部特征值都不為零.例4設(shè)三階矩陣A的特征值為-1,1,2，求|A*+3A-2E|.解依題設(shè)，A沒有零特征值，所以A可逆，故A*=|A|A-1.又|A|=λ1λ2λ3=-2,

故φ(A)的特征值為

φ(-1)=-3,φ(1）=-1,φ(2)=3,

于是|A*+3A-2E|=(-3)(-1)·3=9.將上式右端記作φ(A),有所以A*+3A-2E=-2A+3A-2E.-1φ(λ)=-

+3λ-2,第15頁,共71頁，2024年2月25日，星期天16

∵

∴∴

29.設(shè)A為三階方陣，A*為A的伴隨矩陣.已知求的值.回顧第二章習(xí)題解第16頁,共71頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3設(shè)A為n階方陣，

是A的m個(gè)不同的特征值，

分別是A的對應(yīng)于

的特征向量，則

線性無關(guān).即屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān).性質(zhì)4設(shè)n階方陣A的相異特征值為λ1,λ2,…,λm，(i=1,2,…,m),則向量組α11,α12,…,,α21,α22,…,,…,αm1,αm2,…,線性無關(guān).對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量為第17頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例5設(shè)

和

是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為

和

，證明不是A的特征向量.依題設(shè)有

A=

,A=

,A(

)=

(

)

證明用反證法.假設(shè)

是A的對應(yīng)于某特征值

的特征向量，則第18頁,共71頁，2024年2月25日，星期天19第19頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)相似矩陣與矩陣的對角化設(shè)A,B為n階方陣，若有可逆矩陣P,使定義2則稱B是A的相似矩陣，或稱矩陣A與B相似，A~B.

記作簡單地講，若，則稱A與B相似.一、相似矩陣及其性質(zhì)第20頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例如，給定矩陣A=P=

以及Q=使得

P-1AP=

Q-1AQ=.由此可知，與A相似的矩陣并不唯一．存在矩陣也不一定是對角矩陣.

第21頁,共71頁，2024年2月25日，星期天

相似是矩陣間的一種特殊的等價(jià)關(guān)系，即兩個(gè)相似矩陣是等價(jià)矩陣；即若，則(1)反身性A~A;(2)對稱性若A~B,則B~A;(3)傳遞性若A~B,B~C,則A~C.相似的兩個(gè)矩陣之間，還存在著許多共同的性質(zhì).A~B.反之不然，但相似關(guān)系仍具有以下性質(zhì)第22頁,共71頁，2024年2月25日，星期天

.

性質(zhì)1

因此，A與B有相同的特征值.

證明只需證明A與B具有相同的特征多項(xiàng)式.

實(shí)際上，由A~B，必有可逆矩陣P,使

.若A～B,則A與B有相同的特征多項(xiàng)式和特征值于是第23頁,共71頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)2若A～B，則，其中m為正整數(shù)

證明由A~B,必有可逆矩陣P,使

.于是所以第24頁,共71頁，2024年2月25日，星期天(1)若A~B,則|A|=|B|;(2)若A~B,則trA=trB;(3)若A~B，則R(A)=R(B);(5)若A~B,則A與B有相同的可逆性，且當(dāng)A與B都可逆時(shí)，

~

.兩個(gè)矩陣的相似關(guān)系還具有下述性質(zhì)(4)若A~B,則

~

;第25頁,共71頁，2024年2月25日，星期天二、矩陣可對角化的條件

我們將討論矩陣可對角化的充分必要條件.如果n階方陣A可以相似于一個(gè)n階對角矩陣Λ,則稱A可對角化，稱Λ為A的相似標(biāo)準(zhǔn)形.

由性質(zhì)1可知，若則Λ的對角線元素就是A的n個(gè)特征值.然而，并非所有的n階矩陣可對角化.下面，第26頁,共71頁，2024年2月25日，星期天證明必要性設(shè)A~Λ,其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),則存在可逆矩陣P,使

P-1AP=Λ或AP=PΛ.（*） 將矩陣P按列分塊，記P=(α1,α2,…,αn),.A(

)=()定理1

n階方陣A相似于n階對角矩陣的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.其中

是矩陣P的第i列(i=1,2,…,n),則(*)可寫成

第27頁,共71頁，2024年2月25日，星期天因P可逆，所以

≠0(i=1,2,…,n),

充分性設(shè)

是A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，它們對應(yīng)的特征值依次為

是A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

是A的對應(yīng)線性無關(guān).由此可得A=

(i=1,2,…,n).于特征值

的特征向量，記矩陣P=(

)，則P可逆，且且因此且即第28頁,共71頁，2024年2月25日，星期天AP=A(α1,α2,…,αn)=(Aα1,Aα2,…,Aαn)=(λα1,λ2α2,…,λnαn).注(1)定理的證明過程實(shí)際上已給出了把方陣對角化的方法；=(

)=PΛ,于是有PAP=Λ,即A~ΛP中列向量的次序與矩陣Λ對角線上的特征值的次序相對應(yīng).推論若A的特征方程的根都是單根，則A與對角矩陣Λ相似.-1第29頁,共71頁，2024年2月25日，星期天

.注意當(dāng)A的特征方程有重根時(shí)，就不一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化.例如，在上節(jié)例1中A有二重特征值

=

=2，但因能找到三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故此A可對角化；而在例2中A也有二重特征值

=

=1，但卻只能找到兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故此A不能對角化.第30頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例1已知A=與B=(1)求x和y;(2)求一個(gè)可逆矩陣P,使P-1AP=B.解(1)方法一由于A~B,故|λE-A|=|λE-B|,即=,從而(λ-2)(λ2-xλ-1)=(λ-2)(λ-y)(λ+1),將λ=-1代入得x=0.于是有λ2-1=(λ-y)(λ+1).因此，y=1.相似.第31頁,共71頁，2024年2月25日，星期天可分別求得A的對應(yīng)于特征值2,1,-1的特征向量,α2=,α3=.于是，可逆矩陣

P=(α1,α2,α3)=,可使P-1AP=B.方法二由于A~B,故|A|=|B|,trA=trB，即有

-2=-2y,2+x=1+y,解得x=0,y=1.=(2)由于A~B,故A與B有相同的特征值2,1,-1.解齊次線性方程組(λE-A)X=0,第32頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例2已知A=解

A的特征多項(xiàng)式===(λ-1)(λ+1)2,可對角化，求k.|λE-A|=第33頁,共71頁，2024年2月25日，星期天-E-A=→→故k=0時(shí)，A可對角化.A的特征值為

=1,

=

=-1.由定理1可知，數(shù)矩陣的秩R(E-A)=1,而關(guān)的特征向量，故線性方程組(E-A)X=0的系對應(yīng)二重特征值

=

=-1,A應(yīng)有兩個(gè)線性無第34頁,共71頁，2024年2月25日，星期天2.已知α=是A=的逆矩陣A-1的特征向量，求

.解設(shè)是的屬于特征值的特征向量，則即

解此方程組得或第35頁,共71頁，2024年2月25日，星期天3.設(shè)A是n階方陣，證明：若

，則A的特征值只能是-1或1.證設(shè)是A的特征值是A的屬于特征值的特征向量，則即

故即或因?yàn)榈?6頁,共71頁，2024年2月25日，星期天4.已知三階矩陣A的特征值為1，2，3，試求A*+3E的特征值.B=解的特征值為.故

第37頁,共71頁，2024年2月25日，星期天6.設(shè)A與B都是n階方陣，且|A|≠0，證證明：AB與BA相似.第38頁,共71頁，2024年2月25日，星期天8.設(shè)三階方陣A的特征值為1，0，-1，對應(yīng)的特征向量求依次為解因?yàn)橐李}設(shè)有第39頁,共71頁，2024年2月25日，星期天9.設(shè)矩陣A=特征向量，求x和y應(yīng)滿足的條件.有3個(gè)線性無關(guān)的，得（二重），

可見方程的基礎(chǔ)解系含2個(gè)解向量，

又從而解由第40頁,共71頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量一、向量的內(nèi)積(數(shù)量積）在空間解析幾何中，兩個(gè)向量的內(nèi)積定義為第41頁,共71頁，2024年2月25日，星期天而向量α的長度（模）定義為并且α,β的夾角θ滿足

我們可以把三維向量的內(nèi)積推廣到n維向量，定義n維向量的內(nèi)積、長度和夾角.第42頁,共71頁，2024年2月25日，星期天定義4

設(shè)為Rn中的兩個(gè)向量，稱為向量α與β的內(nèi)積，記作[α,β]（或），或即注意:若則第43頁,共71頁，2024年2月25日，星期天容易證明內(nèi)積滿足下列性質(zhì)：第44頁,共71頁，2024年2月25日，星期天定義5

向量的長度具有下述性質(zhì)：設(shè)為向量α的長度（也稱范數(shù)），記作‖α‖,即第45頁,共71頁，2024年2月25日，星期天這一過程叫做向量的單位化或標(biāo)準(zhǔn)化.(1)非負(fù)性‖α‖≥0;(2)齊次性‖kα‖=|k|·‖α‖;(3)三角不等式‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖.當(dāng)‖α‖=1時(shí)，稱α為單位向量或標(biāo)準(zhǔn)向量.

任一非零向量除以它的長度后就成了單位向量.

第46頁,共71頁，2024年2月25日，星期天設(shè)α,β為Rn中的兩個(gè)非零向量,則稱為向量α與β的夾角.定義6定義7設(shè)α,β為Rn中的向量，若[α,β]=0，則稱向α與β正交（或垂直），記作α⊥β.顯然，零向量與任何向量都正交.

第47頁,共71頁，2024年2月25日，星期天若不含零向量的向量組（即該向量組中的向量定義8都不是零向量）中任意兩個(gè)向量都正交，則稱此向量組為正交向量組。則稱此向量組為單位正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.若一個(gè)正交向量組中每一個(gè)向量都是單位向量，第48頁,共71頁，2024年2月25日，星期天

因此

是一個(gè)線性無關(guān)的向量組.定理3正交向量組必是線性無關(guān)的向量組.

證明設(shè)n維向量

是正交向量組，則有[

]=0(i≠j). (*)設(shè)

=0,以

與上式兩端同時(shí)做內(nèi)積運(yùn)算，并利用(*)式可得[

]=0.由

≠0知，[

]＞0,于是必有

=0(i=1,2,…,r),第49頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例1已知向量α1=,α2=解設(shè)α3=,則[α1,α3]=0求一個(gè)非零向量

,使

為正交向量組.正交，，[

]=

0即由

得從而有基礎(chǔ)解系ξ=.第50頁,共71頁，2024年2月25日，星期天取

=ξ,即可使

為正交向量組.注:1.我們常常采用正交向量組作為向量空間的基，稱此基為向量空間的正交基.2.基向量都是單位向量的正交基又稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.如是的正交基，只是的基，而不是正交基.如是中的標(biāo)準(zhǔn)正交基.3.中的標(biāo)準(zhǔn)正交基也不是唯一的.如第51頁,共71頁，2024年2月25日，星期天取β1=α1;β2=α2-β1;βr=αr-β1-β2--βr-1.

構(gòu)造方法如下：

構(gòu)造出一組與之等價(jià)的向量組給定n維向量空間中的一組線性無關(guān)的向量，(Schmidt)正交化方法.它是用線性無關(guān)向量組個(gè)正交向量組，這個(gè)變換的方法稱為施密特我們可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q方法由它們構(gòu)造出一第52頁,共71頁，2024年2月25日，星期天如果對彼此正交的向量組

再分別單位化，即γ1=,γ2=,,γr=,顯然為單位正交向量組.當(dāng)r=n時(shí)，

即為向量標(biāo)準(zhǔn)正交基.可以驗(yàn)證

兩兩正交，且

與

等價(jià).

空間的一組第53頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例2設(shè)α1=,α2=,α3=試用施密特正交化方法將這組向量化為R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.解先將

正交化，取β1=α1=β2=α2-β1=-=,第54頁,共71頁，2024年2月25日，星期天β3=α3-β1-β2-+=2.=再將它們單位化，取

γ2=,γ3=,即為所求.=第55頁,共71頁，2024年2月25日，星期天對例2給出的標(biāo)準(zhǔn)正交基γ1,γ2,γ3,可以驗(yàn)證它滿足=以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣QQQ=E.T第56頁,共71頁，2024年2月25日，星期天定義9若n階方陣Q滿足QQ=E，則稱Q為正交矩陣.(3)兩個(gè)正交矩陣的乘積仍為正交矩陣.

(2)|Q|=-1或1;(1)Q=Q，且Q（或

Q)也是正交矩陣；由正交矩陣的定義，顯然有下面的性質(zhì):T-1T-1T第57頁,共71頁，2024年2月25日，星期天定理4

Q為正交矩陣的充分必要條件是Q的列（行）向量組是單位正交向量組.證明將Q按列分塊成則

定理得證.第58頁,共71頁，2024年2月25日，星期天由于QQ=E與QQ=E等價(jià)，故上述結(jié)論對Q的行向量組的情形也成立.注由此可知，只要我們求出了的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基

,則以這n個(gè)向量為列（或行）構(gòu)造出的n階矩陣Q就是一個(gè)n階正交矩陣.反之亦然.TT第59頁,共71頁，2024年2月25日，星期天二、實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)實(shí)對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).

實(shí)對稱矩陣的對應(yīng)于不同特征值的特征向量若λ是實(shí)對稱矩陣A的特征方程的r重根，則性質(zhì)1性質(zhì)2相互正交.性質(zhì)3對應(yīng)于的特征方程也有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

λr

由此可見，實(shí)對稱矩陣一定能夠?qū)腔?。?0頁,共71頁，2024年2月25日，星期天定理5其中Λ是以A的n個(gè)特征值為對角元素的對角矩陣.

證明設(shè)A的互不相同的特征值為

,按列排列構(gòu)成正交矩陣Q，有正交化并單位化，即得

個(gè)兩兩正交的單位特征向量，從而A有n個(gè)兩兩正交的單位特征向量.把它們依次恰有

個(gè)線性無關(guān)的特征向量，把它們進(jìn)行施密特根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)3知，對應(yīng)特征值

(i=1,2,…,s)它們的重?cái)?shù)分別為設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣，則必有正交矩陣Q,使三、實(shí)對稱矩陣的對角化第61頁,共71頁，2024年2月25日，星期天,恰是A的n個(gè)特征值

其中對角矩陣Λ的對角元素含=diag(

)=Λ,第62頁,共71頁，2024年2月25日，星期天例3設(shè)實(shí)對稱矩陣A=,求一個(gè)正交矩陣Q，使

為對角矩陣.解A的特征方程為|λE-A|==(λ-1)2(λ+2)=0,解得