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投資效益優(yōu)化問題李曉彬投資效益優(yōu)化問題李曉彬1、投資決策問題產(chǎn)生背景
企業(yè)在某時(shí)期擁有一筆資金,如通過采用購買股票或國債的形式向外投資,如何選擇投資項(xiàng)目,可獲最大利潤(rùn)。
投資效益優(yōu)化問題
企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量或擴(kuò)大生產(chǎn),需對(duì)原有設(shè)備進(jìn)行技術(shù)改造或新建一些項(xiàng)目工程。如何使有限資源充分被利用,以達(dá)到最大效益?注:這里的資--指資金、材料、人力等各資源
2、投資決策問題數(shù)學(xué)模型假定某公司要對(duì)n個(gè)投資方案作出選擇
設(shè):
n=可以投資項(xiàng)目的個(gè)數(shù)
m=實(shí)施投資項(xiàng)目所需有關(guān)資源的種類數(shù)
=各種資源的擁有量
=實(shí)施第j項(xiàng)投資所需消耗的第i種資源的數(shù)量
=實(shí)施第j項(xiàng)投資所能獲得的收益
公司希望解決的問題,可表示為:公司希望解決的問題,可表示為:3、問題的求解整數(shù)規(guī)劃問題
(IntegerLinear
Grogramming)
背包問題
決策變量為0-1變量3、問題的求解
物品項(xiàng)目食品氧氣冰鎬繩索帳篷照相器材通訊設(shè)備重量(kg)55261224重要系數(shù)201518148410重要系數(shù)4392.330.6722.5
重量例、一登山隊(duì)員允許攜帶的最大重量為25公斤,如何確定最優(yōu)方案?物品食品氧氣冰鎬繩索帳篷照相器材解決的問題可表示為:按物品重要系數(shù)與重量比值從大到小選取。只帳篷落選,最優(yōu)攜帶物品總重24kg。解決的問題可表示為:按物品重要系數(shù)與重量比值從大到小選取。只例、某公司有5個(gè)投資項(xiàng)目被列入投資計(jì)劃,各項(xiàng)目需要的投資額和期望收益如下表。
公司只有600萬元可用于投資。
項(xiàng)目12345投資額(萬元)210300100130260期望收益(萬元)1502106080180項(xiàng)目1234由于技術(shù)上的原因,投資受到以下約束(1)項(xiàng)目1、2和3至少應(yīng)有一項(xiàng)選中。(2)項(xiàng)目3、4只能選一項(xiàng)。(3)項(xiàng)目5選中的前提是項(xiàng)目1必須選中。問:如何確定一最優(yōu)投資方案使得投資收益最大?投資效益優(yōu)化問題決策變量為0-1變量解決的問題可表示為:決策變量為0-1變量解決的問題可表示為:
項(xiàng)目12345投資額(萬元)210300100130260期望收益(萬元)1502106080180
投資回報(bào)率0.7140.70.60.6150.692計(jì)算各方案的投資回報(bào)率:項(xiàng)目12345投資額(萬元)由約束2,可選由約束3,可選由約束4和1,可選
項(xiàng)目12345
投資回報(bào)率0.7140.70.60.6150.692
總投資額為:210+130+260=600萬元總收益為:z=410萬元由約束2,可選項(xiàng)目123454、整數(shù)規(guī)劃求解過程中存在的問題解對(duì)應(yīng)的LP問題,然后將其解舍入到最靠近的整數(shù)解。
可行:LP的解較大,最優(yōu)解對(duì)舍入誤差不敏感。否則,可行性差或不可行。4、整數(shù)規(guī)劃求解過程中存在的問題解對(duì)應(yīng)的LP問題,然后將其解ILP的可行解大大少于LP的可行解,用枚舉法求解ILP問題。
可行:?jiǎn)栴}的變量個(gè)數(shù)、可行解集的格點(diǎn)數(shù)很少。ILP的可行解大大少于LP的可行解,用枚舉法求解ILP問題。5、分枝定界法基本思路:根據(jù)某種策略將原問題的可行域分解為越來越小的子域,并檢查每個(gè)子域內(nèi)整數(shù)解的情況,直到找到最優(yōu)的整數(shù)解或證明整數(shù)解不存在。5、分枝定界法基本思路:根據(jù)某種策略將原問題的可行域分解為越1、求解ILP問題的松弛問題,得一個(gè)整數(shù)解,則為所求最優(yōu)解。2、求解ILP問題的松弛問題,得非整數(shù)解。則ILP的最優(yōu)解不優(yōu)于LP的最優(yōu)解。3、求解過程中已得一個(gè)整數(shù)解,則最優(yōu)整數(shù)解不劣于該整數(shù)解。三種情形1、求解ILP問題的松弛問題,得一個(gè)整數(shù)解,則為所求最優(yōu)解。松弛問題的解值最優(yōu)整數(shù)解最優(yōu)整數(shù)解滿足關(guān)系目前已找到的整數(shù)解對(duì)最大化問題:對(duì)最小化問題:松弛問題的解值最優(yōu)整數(shù)解最優(yōu)整數(shù)解滿足關(guān)系目前已找到的整分枝:從求解松弛問題開始,將線性規(guī)劃問題的可行域分為小的子域。定界:分枝過程中找到的更好的整數(shù)解來不斷修改問題的上界、下界。分枝:從求解松弛問題開始,將線性規(guī)劃問題的可行域分為小的子域例:求解下列ILP原問題之松弛問題的可行域和最優(yōu)解如圖:例:求解下列ILP原問題之松弛問題的可行域和最優(yōu)解如圖:優(yōu)先選擇為分枝變量?jī)?yōu)先選擇為分枝變量分枝后可行域縮小分枝后可行域縮小例、某公司有22億資金可用來投資,現(xiàn)有6個(gè)投資項(xiàng)目可供選擇,各項(xiàng)目需要的投資額和預(yù)計(jì)年收益如下(每項(xiàng)目投資一份或不投資)。問如何確定一最優(yōu)投資方案使投資收益最大?
項(xiàng)目123456投資額(億元)526468
年收益(億元)0.50.40.60.50.91收益率0.10.20.10.1250.15.0.125例、某公司有22億資金可用來投資,現(xiàn)有6個(gè)投資項(xiàng)目可供選擇,決策變量為0-1變量:解決的問題可表示為:決策變量為0-1變量:解決的問題可表示為:放寬約束條件,允許取正實(shí)數(shù)值,優(yōu)先選擇收益率最高的項(xiàng)目,得到兩組最優(yōu)解:放寬約束條件,允許取正實(shí)數(shù)值,優(yōu)先選擇收益率最高的項(xiàng)增加約束:
根據(jù)優(yōu)先選取收益率高的項(xiàng)目的原則,允許其余變量取非負(fù)實(shí)數(shù)。對(duì)應(yīng)年收益:所以,實(shí)際最優(yōu)解<3.0增加約束:對(duì)應(yīng)年收益:所以,實(shí)際最2.92.9例、10個(gè)工件需在同一臺(tái)機(jī)器上加工,要求在工件抵達(dá)后266小時(shí)內(nèi)加工完畢,否則賠款,賠款金額正比于延誤時(shí)間。具體情況如下表。由于機(jī)器故障,10個(gè)工件抵達(dá)后T小時(shí)才開始加工。問:如何安排加工次序,使得賠款最少?緊前工件例、10個(gè)工件需在同一臺(tái)機(jī)器上加工,要求在工件抵達(dá)后266工件號(hào)12345678910加工時(shí)間20282545161260102030緊前工件387/1,2,684359賠款/小時(shí)121415101011128674731加工次序約束8265109工件號(hào)12345678910加工時(shí)間2028254假設(shè):機(jī)器加工下一工件時(shí),準(zhǔn)備時(shí)間忽略。加工順序?yàn)榈趈次序加工完的工件共耗時(shí)賠款總額假設(shè):賠款總額賠款總額不妨設(shè)目標(biāo):求加工次序使P最小投資效益優(yōu)化問題4731加工次序約束82691054734731加工次序約束82691054732342元2266元3182618266162211510元830元1550元1782元1420元2522元1590元1110元2782元2838元2662元3722元3666元3882元2342元2266元3182618266162211510元4731加工次序約束826910559104731加工次序約束826910559104731最優(yōu)加工次序82691054731最優(yōu)加工次序8269105選擇對(duì)問題影響最大的變量首先分枝按目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)選擇按非整數(shù)變量選擇按人為給定的順序選擇
6、提高分枝定界法的搜索效率6、提高分枝定界法的搜索效率選擇有利的分枝節(jié)點(diǎn),減少搜索次數(shù),盡快找到好的整數(shù)解.深探法廣探法預(yù)估法
選擇有利的分枝節(jié)點(diǎn),減少搜索次數(shù),盡快找到好的整數(shù)解.令顧客愉快,他們才會(huì)做好,次次都做對(duì)。4月-244月-24Wednesday,April3,2024百年大計(jì)、質(zhì)量第一。02:49:3002:49:3002:494/3/20242:49:30AM追根究底,消除不良因素。4月-2402:49:3002:49Apr-2403-Apr-24開源節(jié)流效益增,首件檢驗(yàn)不馬虎,制程穩(wěn)定無錯(cuò)誤。02:49:3002:49:3002:49Wednesday,April3,2024生產(chǎn)區(qū)域內(nèi)十四個(gè)不準(zhǔn)。4月-244月-2402:49:3002:49:30April3,2024生產(chǎn)秩序亂,事故到處有。2024年4月3日2:49上午4月-244月-24安全生產(chǎn)工作,重在求真務(wù)實(shí)。03四月20242:49:30上午02:49:304月-24見火不救火燒身,有章不循禍纏身。四月242:49上午4月-2402:49April3,2024產(chǎn)品的次能鑒別,問題產(chǎn)生能解決。2024/4/32:49:3002:49:3003April2024爭(zhēng)取一個(gè)客戶不容易,失去一個(gè)客戶很簡(jiǎn)單。2:
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