第06講 雙曲線高頻考點精練（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練（藝考生基礎(chǔ)版）

第第頁第06講雙曲線(精練）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·山東省鄆城第一中學(xué)高二期中）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【詳解】由題意，解得．故選：B.2．（2022·浙江·余姚中學(xué)高二期中）雙曲線的焦距等于（

）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】D【詳解】由題意可知：，，，解得，即雙曲線的焦距等于，故選：D.3．（2022·江蘇·揚州中學(xué)高二期中）已知雙曲線C：的左右焦點為，，點P在雙曲線C的右支上，則（

）A．－8 B．8 C．10 D．【答案】A【詳解】由，得，得，因為雙曲線C的左右焦點為，，點P在雙曲線C的右支上，所以，故選：A4．（2022·河南安陽·高二期中）雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由雙曲線方程得，焦點在軸上，所以，.所以，雙曲線的離心率為故選：A5．（2022·甘肅·靖遠縣第四中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若點在雙曲線：（，）的一條漸近線上，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】依題意得點在直線上，所以.故選：C.6．（2022·山東省桓臺第二中學(xué)高二期中）2022年10月16日，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂降重開幕，為了增強主席臺的亮度，且為了避免主席臺就坐人員面對強光的不適，燈光設(shè)計人員巧妙地通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線達到了預(yù)期的效果.如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線的反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1.已知雙曲線的離心率為，則當(dāng)入射光線F2P和反射光線PE互相垂直時（其中P為入射點），（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，，不妨設(shè)雙曲線的標準方程為，設(shè)，則，所以，解得（已舍去），所以.故選：D.7．（2022·黑龍江·高二期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，半焦距為，則，，故，.所以雙曲線的標準方程為.故選：D.8．（2022·遼寧·遼西育明高級中學(xué)高二期中）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線交雙曲線的右支于，兩點，若的周長為72，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題知，，所以直線為，設(shè)，，由，得，則，，所以，因為，，所以，因為的周長為72，所以，所以，得，所以雙曲線方程為.故選：C.二、多選題9．（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）已知曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則是橢圓，其焦點在軸上B．若，則是雙曲線，其焦點在軸上C．若，則是圓D．若，，則是兩條直線【答案】AB【詳解】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確，對于B，因為，所以可化為，曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線，故B正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，若，不是圓，故C錯誤；對于D，若，，則可化為，當(dāng)時，無意義，當(dāng)時，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D錯誤；故選：AB.10．（2022·江蘇·揚州中學(xué)高二期中）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，點P在C的右支上，且不與C的頂點重合，則下列命題中正確的是（

）A．若，則C的兩條漸近線的方程是B．若點P的坐標為，則C的離心率大于3C．若，則的面積等于D．若C為等軸雙曲線，且，則【答案】BC【詳解】解：由題意得：A選項：當(dāng)時，雙曲線的漸近線的斜率，A錯誤；B選項：因為點在C上，則，得，所以，故B正確；C選項：，若，則，即，即，得，所以，C正確；D選項：若C為等軸雙曲線，則，從而．若，則，．在中，由余弦定理，得，D錯誤故選：BC11．（2022·江蘇南通·高二期中）設(shè)雙曲線：的焦點為，，若點在雙曲線上，則（

）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的漸近線方程為C． D．【答案】BC【詳解】依題意，，解得，雙曲線：的實半軸長，半焦距，雙曲線的離心率，A不正確；雙曲線的漸近線方程為，B正確；，C正確；，，則，有，D不正確.故選：BC12．（2022·安徽省泗縣第一中學(xué)高二期中）如圖，是橢圓與雙曲線（）在第一象限的交點，且共焦點的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．若，則的最小值為2D．【答案】AB【詳解】對A：由橢圓和雙曲線的定義：，故，故A正確；對B：在中，由余弦定理：即，故時，，故B正確；對C：時，，由（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），，所以等號取不到，故C錯誤；對D：對△，將其視作是橢圓中的焦點三角形，則由余弦定理可得，解得，故，同理，將△視作雙曲線中的焦點三角形，則，則，故D錯誤.故選：AB.三、填空題13．（2022·吉林吉林·高二期中）已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】若方程表示在軸上的雙曲線，則，解得；若方程表示在軸上的雙曲線，則，此時.綜上所述，.故答案為：.14．（2022·江蘇·邵伯高級中學(xué)高二期中）已知雙曲線C：的離心率為，且與橢圓有公共焦點則雙曲線C的方程為_________．【答案】【詳解】橢圓中，，，焦點坐標是因為雙曲線與橢圓有公共焦點，所以，即，，所以雙曲線C的方程為.故答案為：15．（2022·廣西貴港·高三階段練習(xí)（文））已知，點P滿足，動點M，N滿足，，則的最小值是____________．【答案】3【詳解】以的中點O為坐標原點，的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，則，由雙曲線定義可知，點P的軌跡是以，為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支，即點P的軌跡方程為．，由，可得．因為的最小值為，所以的最小值是3．故答案為：3.16．（2022·遼寧·遼西育明高級中學(xué)高二期中）已知雙曲線：的左右焦點分別為，，點在雙曲線右支上，滿足，，又直線：與雙曲線的左、右兩支各交于一點，則雙曲線的離心率的取值范圍是______.【答案】【詳解】因為，故，由雙曲線定義可得，由勾股定理知：，整理得，，又，，，故，，解得，直線：與雙曲線的左、右兩支各交于一點，則直線的斜率，所以，所以.故答案為：.四、解答題17．（2022·江蘇揚州·高二階段練習(xí)）求滿足下列條件的曲線標準方程：(1)兩焦點分別為，，且經(jīng)過點的橢圓標準方程；(2)與雙曲線有相同漸近線，且焦距為的雙曲線標準方程.【答案】(1)(2)或（1）設(shè)所求橢圓的標準方程為兩焦點分別為，，又橢圓過點，，又，，所以橢圓的標準方程為.（2）方法一：(i),若焦點在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為，因為與雙曲線有相同漸近線，所以，設(shè)該雙曲線的焦距為，又因為焦距所以，所以，聯(lián)立解得則雙曲線方程為，(ii),若焦點在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為，因為與雙曲線有相同漸近線，所以，設(shè)該雙曲線的焦距為，又因為焦距所以，所以，聯(lián)立解得則雙曲線方程為，雙曲線的標準方程為：或方法二：設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為：（）焦距為，，雙曲線的標準方程為：或18．（2022·黑龍江·哈爾濱德強高級中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)）（1）已知橢圓的長軸長為6，一個焦點為，求該橢圓的標準方程．（2）已知雙曲線過點，漸近線方程為，求該雙曲線的標準方程．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題設(shè)，長軸長為6即，焦點為即，∴，∴橢圓的標準方程為.（2）由題意，漸近線方程為，令，又在雙曲線上，∴，即，B能力提升19．（2022·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過的直線與雙曲線的一支交于、兩點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由離心率又,所以，又右頂點為，所以，所以，故雙曲線的標準方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，則由得，因為直線與雙曲線一支交于、兩點，所以，解得，因此，因為，所以，所以，所以，故.20．（2022·浙江·高二期中）已知圓和定點為圓上的動點，線段的中垂線與直線交于點，設(shè)動點的軌跡為曲線.