第05講 空間向量及其應(yīng)用 高頻考點-精講（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練（藝考生基礎(chǔ)版）

第第頁第05講空間向量及其應(yīng)用(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析題型一：空間向量的線性運算題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用題型三：空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用角度1：求空間向量的數(shù)量積角度2：利用數(shù)量積求長度角度3：利用數(shù)量積求夾角角度4：利用向量解決平行和垂直問題角度5：向量的投影和投影向量題型四：利用空間向量證明平行與垂直第一部分：知第一部分：知識點精準記憶知識點一：空間向量的有關(guān)概念1、概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．2、幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量知識點二：空間向量的有關(guān)定理1、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．（1）共線向量定理推論：如果為經(jīng)過點平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點,點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使①，若在上取，則①可以化作：（2）拓展(高頻考點）：對于直線外任意點，空間中三點共線的充要條件是，其中2、共面向量定理如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使（1）空間共面向量的表示如圖空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使．或者等價于：對空間任意一點，空間一點位于平面內(nèi)（四點共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．（2）拓展對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．3、空間向量基本定理如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序?qū)崝?shù)組使得知識點三：空間向量的數(shù)量積1、空間兩個向量的夾角（1）定義：如圖已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則么叫做向量的夾角，記.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）（2）范圍：．特別地，（1）如果，那么向量互相垂直，記作．(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為，故(或)(為非零向量)．(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定與任何向量都是共線的，即．兩非零向量的夾角是唯一確定的．（3）拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）若兩個向量所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為，(1)向量夾角的范圍是0<<><，異面直線的夾角的范圍是0<<，(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時，；當(dāng)兩向量的夾角為時，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時，.2、空間向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.3、向量的投影3.1．如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))．3.2．如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量，的數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積或等于的長度與在方向上的投影的乘積.5、數(shù)量積的運算：（1），.（2）(交換律)．（3）(分配律).知識點四：空間向量的坐標表示及其應(yīng)用設(shè)，，空間向量的坐標運算法則如下表所示：數(shù)量積共線（平行）垂直（均非零向量）模，即夾角知識點五：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設(shè)是直線上的任意一點,則點在直線上的充要條件是存在實數(shù),使得，即2、平面法向量的概念如圖，若直線，取直線的方向向量，我們稱為平面的法向量；過點且以為法向量的平面完全確定，可以表示為集合．3、平面的法向量的求法求一個平面的法向量時，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為選向量：選取兩不共線向量列方程組：由列出方程組解方程組：解方程組賦非零值：取其中一個為非零值（常取)得結(jié)論：得到平面的一個法向量.知識點六：空間位置關(guān)系的向量表示1、空間中直線、平面的平行設(shè)直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則線線平行??()線面平行??面面平行??2、空間中直線、平面的垂直設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則線線垂直??線面垂直???面面垂直???第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：空間向量的線性運算典型例題例題1．（2022·天津市第二南開中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點.若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）.A． B．C． D．【答案】A【詳解】，故選：A例題2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，所以，故選：D例題3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知為正方體且，，，則______．【答案】【詳解】正方體中，則故答案為：例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，、分別是、BC的中點．設(shè)，，．(1)已知是的中點，用、、表示、、；(2)已知P在線段上，且，用、、表示．【答案】(1)，，(2)(1)因為M、N、P分別是、BC、的中點所以，；；；(2)因為，所以所以．題型歸類練1．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1C1的中點，若=++，則（

）．A．x＝1，， B．x＝1，，C．，y＝1， D．，y＝1，【答案】B【詳解】由題意得：，所以故選：B2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，故選：D.3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在四面體OABC中，點M，N分別為OA、BC的中點，若，且G、M、N三點共線，則______．【答案】【詳解】若G、M、N三點共線，則存在實數(shù)，使得，又點M，N分別為OA、BC的中點，則，，則，則，解得，則.故答案為：.4．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）如圖，正方體中，點E，F(xiàn)分別是上底面和側(cè)面的中心，分別求滿足下列各式的x，y，z的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)(1)解：由向量加法的三角形法則得，，由平行四邊形法則和向量相等得，；所以，所以；(2)解：由向量加法的三角形法則得，，由四邊形法則和向量相等得，；所以，所以．(3)解：由（1），（2）可知，，所以.題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·河南·宜陽縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）若空間向量不共線，且，則(

)A．6 B．12 C．18 D．24【答案】C【詳解】∵空間向量不共線，∴要使，則．故選：C．例題2．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知向量，，且，則的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】因為，所以，所以，所以，解得或.故選：C.例題3．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在平行六面體中，點在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，所以有，因此，故選：C例題4．（2022·重慶市萬州第二高級中學(xué)高二開學(xué)考試）已知，，，若向量共面，則實數(shù)等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】向量共面，則，（）.則有，所以解得：x=1，y=1，=1.故選：A例題5．（2022·吉林·東北師大附中高二階段練習(xí)），為空間直角坐標系中的兩個點，，若，則______．【答案】【詳解】由，的點坐標可得，因為，則，所以．故答案為：.例題6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若三個向量，，共面，則實數(shù)的值為______．【答案】21【詳解】，，共面，則存在實數(shù)，使得，即，故答案為：21題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若點，，在同一條直線上，則（

）A．21 B．4 C．4 D．10【答案】C【詳解】，∵點，，在同一條直線上∴∥則解得∴故選：C．2．（2022·福建·古田縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知向量與共線，則實數(shù)（

）A．0 B．1 C．或2 D．或1【答案】D【詳解】因為共線，所以，解得或1.故選：D3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知A，，三點不共線，點是平面外一點，則在下列各條件中，能得到點與A，，一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：對于A，因為，所以此條件不能保證點與A，，共面；對于B，因為，所以此條件能保證點與A，，共面；對于C，因為，所以此條件不能保證點與A，，共面；對于D，因為，所以此條件不能保證點與A，，共面.故選：B．4．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，，若四點共面，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】若四點共面，則存在實數(shù)使得成立，則解得故選：D．5．（2022·上海市七寶中學(xué)高二開學(xué)考試），，，若，，三向量共面，則實數(shù)_________.【答案】【詳解】，，，若，，三向量共面，設(shè)，即，所以，解得:，所以.故答案為：56．（2022·湖南師大附中高二開學(xué)考試）已知，，，且點D在平面ABC內(nèi)，則___________.【答案】11【詳解】因為點在平面內(nèi)，所以存在唯一一對實數(shù)，使得成立，所以，因此，解得.故答案為：11題型三：空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用角度1：求空間向量的數(shù)量積典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，，則等于（

）A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23【答案】C【詳解】∵，，∴，∴.故選：C.例題2．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）如圖，邊長為1的正方體中，則?的值為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】解：建立如圖所示坐標系,則A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），故（1，0，0），（1，1，1），則?1，故選：B．例題3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）空間向量的數(shù)量積運算符合向量加法的分配律，即_______．【答案】【詳解】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算符合向量加法的分配律，可得.故答案為：.例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知是長方體，，且為側(cè)面的中心，為的中點，分別求.【答案】16，0，2.【詳解】如圖，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，即有，0，，，0，，，4，，，0，，，0，，，4，，，4，，，0，，，2，，（1），4，，4，；（2），2，，0，；（3），2，，2，．題型歸類練1．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）在正方體中，棱長為，點為棱上一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，設(shè)，所以，則，當(dāng)時，的最小值為.故選：D.2．（2022·湖南·長沙市平高高級中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)，則的值為（

）A．1 B．0 C．-1 D．-2【答案】B【詳解】由題意可得,所以，所以，所以，故選：B3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若向量，，則的值是_______.【答案】0【詳解】因為，所以，故答案為：0.4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直三棱柱中，，求.【答案】0.【詳解】∵直三棱柱中，，∴，∴.角度2：利用數(shù)量積求長度典型例題例題1．（2022·湖北·高二期末）若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（

）A．5 B． C． D．【答案】C【詳解】，故，故選：C例題2．（2022·廣東·潮州市湘橋區(qū)南春中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間向量，，則（

）A． B．19 C．17 D．【答案】D【詳解】因為，，所以，故，故選：D.例題3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量，，若與垂直，則___________.【答案】【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.例題4．（2022·福建南平·高二期末）在空間直角坐標系中，已知，，則_______．【答案】5【詳解】因為，，故可得，故.故答案為：.例題5．（2022·河南·高二階段練習(xí)）如圖，在四棱柱中，四邊形是正方形，，且，設(shè).(1)試用表示；(2)已知是的中點，求的長.【答案】(1)(2)（1）.（2）由題意知，.，題型歸類練1．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知空間向量兩兩夾角均為，其模均為1，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【詳解】.故選：B2．（2022·湖南·長郡中學(xué)高二期末）已知空間向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因為，，所以，所以故選：A3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，，則______．【答案】【詳解】由，，則.故答案為：.4．（2022·湖南·長沙市平高高級中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，，，，是的中點，設(shè)=，=，=．(1)用，，表示；(2)求的長．【答案】(1)；(2)．（1）由題可知，根據(jù)向量的三角形法則得到：.（2）因為，所以又，，，，，所以，所以，，即即AE的長為.5．（2022·福建·泉州師范學(xué)院附屬鵬峰中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，，，．求：(1)(2)的長．【答案】(1)(2)（1）.（2），，，即的長為.角度3：利用數(shù)量積求夾角典型例題例題1．（2022·河南·宜陽縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）若向量，，且與的夾角的余弦值為，則實數(shù)等于（

）A．1 B． C．1或 D．0或【答案】B【詳解】由題知，，解得．故選：B.例題2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：，又，.故選：C.例題3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知，，O是坐標原點，與的夾角為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，所以，又，，所以，所以解得λ故選：C.例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知空間三點，求．【答案】【詳解】，，，所以.題型歸類練1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知向量，，且與夾角的余弦值為，則的取值可以是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【詳解】由題可知：所以故選：A2．（2022·河南開封·高二階段練習(xí)）若，，且，的夾角的余弦值為，則等于（

）A．2 B． C．或 D．2或【答案】C【詳解】解：因為，，所以，解得：或.故選：C.3．（2022·全國·高二單元測試）若空間兩個單位向量、與的夾角都等于，則______．【答案】.【詳解】因為是單位向量，所以有，因為與的夾角都等于，所以，所以有，，故答案為：4．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）已知，，三點，求的值．【答案】【詳解】由已知，所以．角度4：利用向量解決平行和垂直問題典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線的方向向量，平面的法向量，則（

）A． B． C． D．或【答案】D【詳解】因為，所以，所以或.故選：D例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若，且為直線的一個方向向量，為平面的一個法向量，則的值為（

）．A． B． C． D．8【答案】C【詳解】由題知，，故，解得.故選：C例題3．（2022·全國·高二單元測試）如圖，正方體的棱長為，，分別為和上的點，，則與平面的位置關(guān)系是（

）A．相交但不垂直 B．平行 C．相交且垂直 D．不能確定【答案】B【詳解】因為正方體的棱長為，可得，所以，，所以．又因為是平面的一個法向量，且，所以，所以平面．故選：B．例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知在正四棱柱中，,，點E為的中點，點為的中點．(1)求證：且；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（1）在正四棱柱中，可以建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，．（1）由，，，得且，所以且．（2），由于，顯然，故．題型歸類練1．（2022·江蘇揚州·高二期中）已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，.故選：A.2．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)是平面α的法向量，是直線l的方向向量，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（

）．A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．平行或在平面內(nèi)【答案】D【詳解】由，則，由向量的自由性，直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)，故選：D.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，且，，且，且，平面ABCD，.若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：平面CDE；【答案】證明見解析【詳解】因為，，平面ABCD，而AD?平面ABCD，所以，，因此以D為坐標原點，分別以??的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系.因為且，且，，所以，，，，，，，，.設(shè)為平面CDE的法向量，，，則，不妨令，可得；又，所以.又∵直線平面CDE，∴平面CDE；4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖在邊長是2的正方體中，，分別為，的中點．證明：平面平面；【答案】證明見解析【詳解】證明：建立如圖所示空間直角坐標系．則，，，，，∴，，，因為，∴，即，又，∴，即，又∵，平面且，∴平面，又∵平面，∴平面平面．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，如圖E、F分別是，CD的中點，求證：平面ADE；【答案】證明見解析【詳解】以D為原點，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F(xiàn)（0，，0），則＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），則＝0，＝0，，，即，，又，平面ADE．故平面ADE．角度5：向量的投影和投影向量典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在正三棱柱中，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】過作，分別以為x，y，z軸正方向建系，如圖所示，設(shè)正三棱柱的棱長為2，則，所以，所以在上的投影向量為.故選：B例題2．（2022·湖北·沙市中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），則在方向上的投影向量為__________________．【答案】【詳解】空間向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），則,,所以在上的投影向量為,其坐標為.故答案為：.例題3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，求在上正投影的數(shù)量．【答案】【詳解】，，則在上正投影為，故在上正投影為例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在長方體中，已知，，，分別求向量在、、方向上的投影數(shù)量．【答案】向量在、、方向上的投影數(shù)量分別為、、.【詳解】解：非零向量在非零向量方向上的投影數(shù)量為，由空間向量的平行六面體法則可得，在長方體中，，因此，向量在方向上的投影數(shù)量為，向量在方向上的投影數(shù)量為，向量在方向上的投影數(shù)量為.題型歸類練1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量，則在方向上的投影為___________.【答案】##【詳解】在方向上的投影為.故答案為：2．（2022·遼寧營口·高二開學(xué)考試）已知，，.(1)求；(2)求在上投影的數(shù)量.【答案】(1)(2)（1）因為，，，所以，.因為，，，所以，故.（2）因為，，所以.因為，所以在上投影的數(shù)量為.3．（2022·全國·高一）已知在標準正交基下，向量，，，求向量在上的投影．【答案】【詳解】解：非零向量在非零向量方向上的投影為，由已知可得，且，，所以，向量在上的投影為.4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在標準正交基下，已知向量，，則向量在上的投影為______，在上的投影之積為______．【答案】

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56【詳解】解：易得，所以在，，上的投影分別為-12，8，7，其在，上的投影之積為．故答案為：-12；56.題型四：利用空間向量證明平行與垂直典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知長方體中，，，，點、在棱、上，且，，點、分別為、的中點．求證：直線直線．【答案】證明見解析.【詳解】以點D為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴.例題2．（2022·江蘇·泗陽縣實驗高級中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，已知矩形所在平面外一點P，平面，、分別是、的中點．求證：（1）共面；（2）求證：．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【詳解】證明：如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，，，則0，，0，，2b，，2b，，0，，為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），．例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，且，，分別為的中點．求證：∥平面；【答案】證明見解析【詳解】因為三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，所以平面，因為平面，所以，因為,所以AB?AC?兩兩垂直，所以以點A為坐標原點，AB?AC?所在直線分別為x?y?z軸建立空間直角坐標系，則，，，，．取向量為平面的一個法向量，，∴，∴．又∵平面，∴平面．例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在正方體中，點，分別是正方形和正方形的中心．求證：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析(1)設(shè)正方體的邊長為，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，所以，由于，所以平面.(2)設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，，平面，所以平面.(3)，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，顯然，平面與平面不重合，所以平面平面.例題5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐中中，底面，，，，，點為棱的中點.（1）證明：；（2）若為棱上一點，滿足，求線段的長.【答案】（1）略；（2）【詳解】（1）底面ABCD，，∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，由題意，，，，，，，，.（2），，由點F在棱PC上，設(shè)，，，，，解得，即線段的長為。題型歸類練1．（2022·山西·運城市景勝中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點，利用向量法證明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1