蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)??键c(diǎn)微專題提分精練專題05旋轉(zhuǎn)之線段問題(原卷版+解析)_第1頁
蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)常考點(diǎn)微專題提分精練專題05旋轉(zhuǎn)之線段問題(原卷版+解析)_第2頁
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文檔簡介

專題05旋轉(zhuǎn)之線段問題【模型講解】數(shù)學(xué)探究課上老師出了這樣一道題:“如圖,等邊中有一點(diǎn),且,,,試求的度數(shù).”小明和小軍探討時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種求度數(shù)的方法,下面是這種方法的一部分思路,請(qǐng)按照下列思路要求畫圖或判斷.(1)在圖中畫出繞點(diǎn)順時(shí)旋轉(zhuǎn)60°后的,并判斷的形狀是_______;(2)試判斷的形狀,并說明理由;(3)由(1)、(2)兩問可知:___________.【詳解】(1)如圖,△AP1B為所作;連接PP1,△AP1P為等邊三角形理由如下:∵△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得△AP1B,∴AP1=AP,∠PAP1=60°,∴△AP1P為等邊三角形;(2)∵△AP1P為等邊三角形;∴PP1=AP=3,又根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP1=PC=5,PP12+PB2=32+42=25,BP12=CP2=52=25,∴PP12+PB2=BP12∴△BP1P為直角三角形,∠BPP1=90°;(3)∵△APP1為等邊三角形,∴∠APP1=60°,而∠BPP1=90°;∴∠APB=90°+60°=150°,故答案為:150°.【模型演練】1.(1)如圖1,是銳角內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到,連接,這樣就可得出,請(qǐng)給出證明過程.(2)圖2所示的是一個(gè)銳角為30°的直角三角形公園(,),其中頂點(diǎn)、、為公園的出入口,,工人師傅準(zhǔn)備在公園內(nèi)修建一涼亭,使該涼亭到三個(gè)出入口的距離最小,求這個(gè)最小的距離.2.(1)如圖1,正方形ABCD,E、F分別為BC、CD上的點(diǎn),,求證:小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn),請(qǐng)你利用圖1證明上述結(jié)論.(2)如圖2,若點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長線上,,那么線段EF、DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.3.旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換,當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí),往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題.如圖①,在四邊形ABCD中,,,,,.【問題提出】(1)如圖②,在圖①的基礎(chǔ)上連接BD,由于,所以可將繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到,則的形狀是_______;【嘗試解決】(2)在(1)的條件下,求四邊形ABCD的面積;【類比應(yīng)用】(3)如圖③,等邊的邊長為2,是頂角的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角,角的兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,求的周長.4.問題:如圖(1),點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.(1)延長FD到點(diǎn)G使DG=BE,連接AG,得到至△ADG,從而可以證明EF=BE+FD,請(qǐng)你利用圖(1)證明上述結(jié)論.(2)如圖(2),四邊形ABCD中,,AB=AD,∠B+∠D=180°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足______數(shù)量關(guān)系時(shí),仍有EF=BE+FD,并說明理由.5.閱讀下列材料:問題:如圖(1),已知正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn),且∠EAF=45°.解決下列問題:(1)圖(1)中的線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是______.(2)圖(2),已知正方形ABCD的邊長為8,E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn),且∠EAF=45°,AG⊥EF于點(diǎn)G,求△EFC的周長.6.在等邊中,于點(diǎn)F,點(diǎn)A為直線DF上一動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心,把BA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至BE.(1)如圖1,點(diǎn)A在線段DF上,連接CE,求證:;(2)如圖2,點(diǎn)A在線段FD的延長線上,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出BE并連接CE,當(dāng)時(shí),連接AC,求出的度數(shù);(3)在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中,若,求EF的最小值7.(1)如圖1,O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接OA、OB、OC,且OA=3,OB=4,OC=5,將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,連接OD.求:①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);②線段OD的長;③求∠BDC的度數(shù).(2)如圖2所示,O是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)內(nèi)一點(diǎn),連接OA、OB、OC,將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,連接OD.當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時(shí),∠ODC=90°?請(qǐng)給出證明.8.如圖所示,正方形中,點(diǎn)、、分別是邊、、的中點(diǎn),連接,.(1)如圖1,直接寫出與的關(guān)系______;(2)如圖2,若點(diǎn)為延長線上一動(dòng)點(diǎn),連接,將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段,連接.①求證:≌;②直接寫出、、三者之間的關(guān)系;9.如圖1,若△ABC和△ADE為等邊三角形,M,N分別為EB,CD的中點(diǎn),易證:CD=BE,△AMN是等邊三角形:

(1)當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),CD=BE嗎?若相等請(qǐng)證明,若不等于請(qǐng)說明理由;

(2)當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),△AMN還是等邊三角形嗎?若是請(qǐng)證明,若不是,請(qǐng)說明理由(可用第一問結(jié)論).

10.[方法探索]如圖1,在等邊中,點(diǎn)在內(nèi),且,,,求的長.小敏在解決這個(gè)問題時(shí),想到了以下思路:如圖1,把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,分別證明和是特殊三角形,從而得解.請(qǐng)?jiān)诖怂悸诽崾鞠拢蟪龅拈L.解:把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接.接著寫下去:11.[方法應(yīng)用]請(qǐng)借鑒上述利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的方法,解決下面問題:①如圖2,點(diǎn)在等邊外,且,,若,求度數(shù).②如圖3,在中,,,是外一點(diǎn),連接、、.已知,.求的長.12.婆羅摩笈多(Brahmagupta)約公元598年生,約660年卒,在數(shù)學(xué)、天文學(xué)方面有所成就.婆羅摩笈多是印度印多爾北部烏賈因地方人,原籍可能為巴基斯坦的信德.婆羅摩笈多的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位.例如下列模型就被稱為“婆羅摩笈多模型”:如圖1,2,3,△ABC中,分別以AB,AC為邊作Rt△ABE和Rt△ACD,AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠CAD=90°,則有下列結(jié)論:①圖1中S△ABC=S△ADE;②如圖2中,若AM是邊BC上的中線,則ED=2AM;

③如圖3中,若AM⊥BC,則MA的延長線平分ED于點(diǎn)N.(1)上述三個(gè)結(jié)論中請(qǐng)你選擇一個(gè)感興趣的結(jié)論進(jìn)行證明,寫出證明過程;(2)能力拓展:將上述圖形中的某一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)到如圖4所示的位置:△ABC與△ADE均為等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,連接BD,CE,若F為BD的中點(diǎn),連接AF,求證:2AF=CE.13.?dāng)?shù)學(xué)探究課上老師出了這樣一道題:“如圖,等邊中有一點(diǎn),且,,,試求的度數(shù).”小明和小軍探討時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種求度數(shù)的方法,下面是這種方法的一部分思路,請(qǐng)按照下列思路要求畫圖或判斷.(1)在圖中畫出繞點(diǎn)順時(shí)旋轉(zhuǎn)60°后的,并判斷的形狀是___________;(2)試判斷的形狀,并說明理由;(3)由(1)、(2)兩問可知:___________.專題05旋轉(zhuǎn)之線段問題【模型講解】數(shù)學(xué)探究課上老師出了這樣一道題:“如圖,等邊中有一點(diǎn),且,,,試求的度數(shù).”小明和小軍探討時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種求度數(shù)的方法,下面是這種方法的一部分思路,請(qǐng)按照下列思路要求畫圖或判斷.(1)在圖中畫出繞點(diǎn)順時(shí)旋轉(zhuǎn)60°后的,并判斷的形狀是_______;(2)試判斷的形狀,并說明理由;(3)由(1)、(2)兩問可知:___________.【詳解】(1)如圖,△AP1B為所作;連接PP1,△AP1P為等邊三角形理由如下:∵△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得△AP1B,∴AP1=AP,∠PAP1=60°,∴△AP1P為等邊三角形;(2)∵△AP1P為等邊三角形;∴PP1=AP=3,又根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP1=PC=5,PP12+PB2=32+42=25,BP12=CP2=52=25,∴PP12+PB2=BP12∴△BP1P為直角三角形,∠BPP1=90°;(3)∵△APP1為等邊三角形,∴∠APP1=60°,而∠BPP1=90°;∴∠APB=90°+60°=150°,故答案為:150°.【模型演練】1.(1)如圖1,是銳角內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到,連接,這樣就可得出,請(qǐng)給出證明過程.(2)圖2所示的是一個(gè)銳角為30°的直角三角形公園(,),其中頂點(diǎn)、、為公園的出入口,,工人師傅準(zhǔn)備在公園內(nèi)修建一涼亭,使該涼亭到三個(gè)出入口的距離最小,求這個(gè)最小的距離.【答案】(1)見解析;(2)【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△APP'是等邊三角形,即可得出結(jié)論;(2)如圖,將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△BP′C′,連接PP′,構(gòu)建直角△ABC',利用勾股定理求AC'的長,即是點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值.【詳解】(1)如圖1,由旋轉(zhuǎn)得:∠PAP'=60°,PA=P'A,∴△APP'是等邊三角形,∴PP'=PA,∵PC=P'C,∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′;(2)解:在Rt△ACB中,∵AB=20,∠ABC=30°,∴AC=10,BC=,如圖,將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△BP′C′,連接PP′,當(dāng)A、P、P'、C'在同一直線上時(shí),PA+PB+PC的值為最小,由旋轉(zhuǎn)得:BP=BP',∠PBP'=60°,PC=P'C',BC=BC',∴△BPP′是等邊三角形,∴PP'=PB,∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°,∴∠ABC'=90°,由勾股定理得:∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=,則點(diǎn)P到這個(gè)三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),將待求線段的和通過旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化為同一直線上的線段來求是解題的關(guān)鍵,學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)的方法添加輔助線,構(gòu)造特殊三角形解決問題.2.(1)如圖1,正方形ABCD,E、F分別為BC、CD上的點(diǎn),,求證:小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn),請(qǐng)你利用圖1證明上述結(jié)論.(2)如圖2,若點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、DC的延長線上,,那么線段EF、DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.【答案】(1)見解析;(2),理由見解析【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可;(2)把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,結(jié)合(1)中證明方法進(jìn)行證明即可.【詳解】證明:(1)∵,∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,∵,∴,即點(diǎn)F、D、G共線,∴,,,即.∵,∴∴.∴,即(2).理由:如圖2所示.∵,∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使AB與AD重合,∵∴點(diǎn)C、D、G在一條直線上.∴,,.∵∴.∵∴∴.∴∴∵∴.【點(diǎn)睛】題目主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì),正方形的性質(zhì)等,理解題意,熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3.旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換,當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí),往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題.如圖①,在四邊形ABCD中,,,,,.【問題提出】(1)如圖②,在圖①的基礎(chǔ)上連接BD,由于,所以可將繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到,則的形狀是_______;【嘗試解決】(2)在(1)的條件下,求四邊形ABCD的面積;【類比應(yīng)用】(3)如圖③,等邊的邊長為2,是頂角的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角,角的兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,求的周長.【答案】(1)等邊三角形(2)(3)【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BD=DB′,∠BDB′=60°,所以△BDB′是等邊三角形;(2)求出等邊三角形的邊長為3,求出三角形BDB′的面積即可;(3)將△BDM繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°,得到△DCP,則△BDM≌△CDP,得出MD=PD,∠MBD=∠DCP,∠MDB=∠PDC,證明△NMD≌△NPD,證得△AMN的周長=AB+AC=4.【詳解】(1)解:∵將△DCB繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△DAB′,∴BD=B′D,∠BDB′=60°,∴△BDB′是等邊三角形;故答案為:等邊三角形;(2)解:由(1)知,△BCD≌△B′AD,∴四邊形ABCD的面積=等邊三角形BDB′的面積,∵BC=AB′=1,∴BB′=AB+AB′=2+1=3,∴S四邊形ABCD=S△BDB′=;(3)解:將△BDM繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°,得到△DCP,∴△BDM≌△CDP,∴MD=PD,CP=BM,∠MBD=∠DCP,∠MDB=∠PDC,∵△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,∴BD=CD,∠DBC=∠DCB=30°,又∵△ABC等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°,同理可得∠NCD=90°,∴∠PCD=∠NCD=∠MBD=90°,∴∠DCN+∠DCP=180°,∴N,C,P三點(diǎn)共線,∵∠MDN=60°,∴∠MDB+∠NDC=∠PDC+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°,即∠MDN=∠PDN=60°,∴△NMD≌△NPD(SAS),∴MN=PN=NC+CP=NC+BM,∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2+2=4.故△AMN的周長為4.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換,等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),類比思想等.熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.4.問題:如圖(1),點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.(1)延長FD到點(diǎn)G使DG=BE,連接AG,得到至△ADG,從而可以證明EF=BE+FD,請(qǐng)你利用圖(1)證明上述結(jié)論.(2)如圖(2),四邊形ABCD中,,AB=AD,∠B+∠D=180°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足______數(shù)量關(guān)系時(shí),仍有EF=BE+FD,并說明理由.【答案】(1)見解析(2),理由見解析【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到△ADG≌△ABE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,∠ADG=∠ABE=90°,證明∠AFE≌△AFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;(2)延長CB至M,使BM=DF,連接AM,證明△EAF≌△EAM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;(1)延長FD到點(diǎn)G使DG=BE,連接AG.如圖(1),在正方形ABCD中,AB=AD,在和中,≌(SAS)

在和中,≌(2)理由如下:如圖,延長CB至M,使BM=DF,連接AM,在和中,≌在和中,≌【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì),掌握正方形的性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.5.閱讀下列材料:問題:如圖(1),已知正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn),且∠EAF=45°.解決下列問題:(1)圖(1)中的線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是______.(2)圖(2),已知正方形ABCD的邊長為8,E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn),且∠EAF=45°,AG⊥EF于點(diǎn)G,求△EFC的周長.【答案】(1)EF=BE+DF(2)過程見解析【分析】對(duì)于(1),先將△DAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BAH,可得△ADF≌△ABH,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AF=AH,∠EAF=∠EAH,然后根據(jù)“SAS”證明△FAE≌△HAE,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出答案;對(duì)于(2),先根據(jù)(1),得△FAE≌△HAE,可得AG=AB=AD,再根據(jù)“HL”證明Rt△AEG≌Rt△ABE,得EG=BE,同理GF=DF,可得答案.(1)EF=BE+DF.理由如下:如圖,將△DAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BAH,∴△ADF≌△ABH,∴∠DAF=∠BAH,AF=AH,∴∠EAF=∠EAH=45°.∵AE=AE,∴△FAE≌△HAE,∴EF=HE=BE+HB,∴EF=BE+DF;(2)由(1),得△FAE≌△HAE,AG,AB分別是△FAE和△HAE的高,∴AG=AB=AD=8.在Rt△AEG和Rt△ABE中,,∴Rt△AEG≌Rt△ABE(HL),∴EG=BE,同理GF=DF,∴△EFG的周長=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=16.【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于正方形和旋轉(zhuǎn)的綜合題目,考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)等.6.在等邊中,于點(diǎn)F,點(diǎn)A為直線DF上一動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心,把BA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至BE.(1)如圖1,點(diǎn)A在線段DF上,連接CE,求證:;(2)如圖2,點(diǎn)A在線段FD的延長線上,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出BE并連接CE,當(dāng)時(shí),連接AC,求出的度數(shù);(3)在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中,若,求EF的最小值【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)找到條件,證明,即可得到結(jié)論;(2)由(1)可知,,得到,,又是等邊三角形,得到,,由,,,,得,∠CDA=150°,,,,∠DEC=∠EDC,,,,,即可求得的度數(shù);(3)由圖1可知,當(dāng)點(diǎn)A在線段DF上時(shí),;由圖3可知,當(dāng)點(diǎn)A在線段FD的延長線上時(shí),;由圖4可知,當(dāng)點(diǎn)A在線段DF的延長線上時(shí),;綜上所述,當(dāng)點(diǎn)A在直線DF上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線CE與直線BC的夾角始終為30°,即點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條直線,過點(diǎn)F作于點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),此時(shí)EF的長度最短,進(jìn)一步求得的值.(1)解:由旋轉(zhuǎn)得,,,∵是等邊三角形,∴,,∴,∴,∴,在與中,,∴(SAS),∴.(2)解:如圖3,由(1)可知,,∴,,又∵是等邊三角形,∴,,∵,∴△BCD是等腰三角形,∵,∴,∴,∴,,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴,,∴.(3)解:∵由圖1可知,當(dāng)點(diǎn)A在線段DF上時(shí),;由圖3可知,當(dāng)點(diǎn)A在線段FD的延長線上時(shí),;由圖4可知,當(dāng)點(diǎn)A在線段DF的延長線上時(shí),;∴綜上所述,當(dāng)點(diǎn)A在直線DF上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線CE與直線BC的夾角始終為30°,即點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條直線,過點(diǎn)F作于點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),此時(shí)EF的長度最短,∵,,∴,又∵,,∴,∴的最小值為.【點(diǎn)睛】此考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),分類討論是解決問題的關(guān)鍵.7.(1)如圖1,O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接OA、OB、OC,且OA=3,OB=4,OC=5,將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,連接OD.求:①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);②線段OD的長;③求∠BDC的度數(shù).(2)如圖2所示,O是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)內(nèi)一點(diǎn),連接OA、OB、OC,將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,連接OD.當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時(shí),∠ODC=90°?請(qǐng)給出證明.【答案】(1)①60°;②4;③150°;(2)當(dāng)OA、OB、OC滿足OA2+2OB2=OC2時(shí),∠ODC=90°,見解析【分析】(1)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BA=BC,∠ABC=60°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD=∠ABC=60°,于是可確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°;②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BD,加上∠OBD=60°,則可判斷△OBD為等邊三角形,所以O(shè)D=OB=4;③由△BOD為等邊三角形得到∠BDO=60°,再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=AO=3,然后根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△OCD為直角三角形,∠ODC=90°,所以∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°;(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠OBD=∠ABC=90°,BO=BD,CD=AO,則可判斷△OBD為等腰直角三角形,則OD=OB,然后根據(jù)勾股定理的逆定理,當(dāng)時(shí),△OCD為直角三角形,∠ODC=90°.【詳解】解:(1)①∵△ABC為等邊三角形,∴BA=BC,∠ABC=60°,∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,∴∠OBD=∠ABC=60°,∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°;②∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,∴BO=BD,而∠OBD=60°,∴△OBD為等邊三角形;∴OD=OB=4;③∵△BOD為等邊三角形,∴∠BDO=60°,∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,∴CD=AO=3,在△OCD中,CD=3,OD=4,OC=5,∵32+42=52,∴CD2+OD2=OC2,∴△OCD為直角三角形,∠ODC=90°,∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°;(2)OA2+2OB2=OC2時(shí),∠ODC=90°.理由如下:∵△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD,∴∠OBD=∠ABC=90°,BO=BD,CD=AO,∴△OBD為等腰直角三角形,∴OD=OB,∵當(dāng)CD2+OD2=OC2時(shí),△OCD為直角三角形,∠ODC=90°,∴OA2+2OB2=OC2,∴當(dāng)OA、OB、OC滿足OA2+2OB2=OC2時(shí),∠ODC=90°.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判斷與性質(zhì)和勾股定理的逆定理.8.如圖所示,正方形中,點(diǎn)、、分別是邊、、的中點(diǎn),連接,.(1)如圖1,直接寫出與的關(guān)系______;(2)如圖2,若點(diǎn)為延長線上一動(dòng)點(diǎn),連接,將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段,連接.①求證:≌;②直接寫出、、三者之間的關(guān)系;【答案】(1),;(2)①見解析;②【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可得AD=AB=BC,∠A=∠B=90°,由“SAS”可證△AEF≌△BFG,可得EF=FG,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠AFE=∠BFG=45°,可證EF⊥FG;(2)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PF=FH,∠PFH=∠EFG=90°,由“SAS”可證△HFE≌△PFG;②由全等三角形的性質(zhì)可得EH=PG,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得BG=EF,可得結(jié)論.【詳解】解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=AB=BC,∠A=∠B=90°,∵點(diǎn)E、F、G分別是邊AD、AB、BC的中點(diǎn),∴AE=AF=BF=BG,∴△AEF≌△BFG(SAS),∴EF=FG,∵AE=AF=BF=BG,∠A=∠B=90°,∴∠AFE=∠BFG=45°,∴∠EFG=90°,∴EF⊥FG,故填:,;(2)①證明:由(1)得:,,∵將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段,∴,,∵,,∴,又∵,∴≌(SAS);②解:,理由如下:∵≌,∴,∵,,∴,∴,∵,∴【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),證明△HFE≌△PFG是解題的關(guān)鍵.9.如圖1,若△ABC和△ADE為等邊三角形,M,N分別為EB,CD的中點(diǎn),易證:CD=BE,△AMN是等邊三角形:

(1)當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),CD=BE嗎?若相等請(qǐng)證明,若不等于請(qǐng)說明理由;

(2)當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),△AMN還是等邊三角形嗎?若是請(qǐng)證明,若不是,請(qǐng)說明理由(可用第一問結(jié)論).

【答案】(1)CD=BE.理由見解析;(2)△AMN是等邊三角形.理由見解析.【分析】(1)CD=BE.利用“等邊三角形的三條邊相等、三個(gè)內(nèi)角都是60°”的性質(zhì)證得△ABE≌△ACD;然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可求得結(jié)論CD=BE;(2)△AMN是等邊三角形.首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的對(duì)應(yīng)角相等、已知條件“M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)”、等邊△ABC的性質(zhì)證得△ABM≌△ACN;然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等求得AM=AN、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°,所以有一個(gè)角是60°的等腰三角形的正三角形.【詳解】(1)CD=BE.理由如下:∵△ABC和△ADE為等邊三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=60°,∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC,∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC,∴∠BAE=∠DAC,在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD(SAS)∴CD=BE;(2)△AMN是等邊三角形.理由如下:∵△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD.∵M(jìn)、N分別是BE、CD的中點(diǎn),∴BM=CN,∵AB=AC,∠ABE=∠ACD,在△ABM和△ACN中,,∴△ABM≌△ACN(SAS).∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°.∴△AMN是等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).等邊三角形的判定:有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.10.[方法探索]如圖1,在等邊中,點(diǎn)在內(nèi),且,,,求的長.小敏在解決這個(gè)問題時(shí),想到了以下思路:如圖1,把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,分別證明和是特殊三角形,從而得解.請(qǐng)?jiān)诖怂悸诽崾鞠拢蟪龅拈L.解:把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接.接著寫下去:11.[方法應(yīng)用]請(qǐng)借鑒上述利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的方法,解決下面問題:①如圖2,點(diǎn)在等邊外,且,,若,求度數(shù).②如圖3,在中,,,是外一點(diǎn),連接、、.已知,.求的長.【答案】10.PB=

11.=90°;=【分析】(1)把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,易證明是等邊三角形,是直角三角形,根據(jù)勾股定理即可求出BP.(2)①把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,易證明是等邊三角形,是等邊,△BPC是直角三角形,則可得到=90°.②將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△,連接,過B點(diǎn)做BM垂直于AP于M點(diǎn),易證明△PBM是等腰直角三角形,△是直角三角形,用勾股定理即可求出PC.10.由△APC旋轉(zhuǎn)60°得到AP==2,PC==4,∠=60°△為等邊三角形AP===2,=60°=90°在Rt△中,由勾股定理可得:BP===11.把繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接由△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AP==3,PB==3,∠=60°,△為等邊三角形,∴=PB=3=120°,∠=60°∠=180°,即三點(diǎn)共線.PC=+=6在△PBC中,PC=6,PB=3,BC=△PBC是直角三角形,故=90°.將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△,連接,過B點(diǎn)做BM垂直于AP于M點(diǎn),BM⊥AP,PB=2PM=BM=AB=在Rt△AMB中,AM=AP=PM+AM=△由△APC旋轉(zhuǎn)90°所得AP==,∠=90°,∠=45°在Rt△中,=∠=45°,=90°在Rt△中,PC==【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)和直角三角形相關(guān)內(nèi)容,注意旋轉(zhuǎn)后的圖形要能夠和原圖構(gòu)造出特殊的三角形才有利于解題,正確的做出旋轉(zhuǎn)后的圖形和輔助線是解題的關(guān)鍵.12.婆羅摩笈多(Brahmagupta)約公元598年生,約660年卒,在數(shù)學(xué)、天文學(xué)方面有所成就.婆羅摩笈多是印度印多爾北部烏賈因地方人,原籍可能為巴基斯坦的信德.婆羅摩笈多的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位.例如下列模型就被稱為“婆羅摩笈多模型”:如圖1,2,3,△ABC中,分別以AB,AC為邊作Rt△ABE和Rt△ACD,AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠CAD=90°,則有下列結(jié)論:①圖1中S△ABC=S△ADE;②如圖2中,若AM是邊BC上的中線,則ED=2AM;

③如圖3中,若AM⊥BC,則MA的延長線平分ED于點(diǎn)N.(1)上述三個(gè)結(jié)論中請(qǐng)你選擇一個(gè)感興趣的結(jié)論進(jìn)行證明,寫出證明過程;(2)能力拓展:將上述圖形中的某一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)到如圖4所示的位置:△ABC與△ADE均為等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,連接BD,CE,若F為BD的中點(diǎn),連接AF,求證:2AF=CE.【答案】(1)①證明見詳解;②證明見詳解;③證明見詳解;(2)證明見詳解.【分析】(1)①取DE中點(diǎn)F,過E作EG∥AD,交射線AF于G,先證△GEF≌△ADF(AAS),得出S△EAD=S△GEA,再證△GEA≌△CAB(SAS)即可;②取DE中點(diǎn)F,過E作EG∥AD,交射線AF于G,先證△GEF≌△ADF(AAS),得出∠BAC=∠GEA,再證△GEA≌△CAB(SAS),得出∠EAG=∠ABC,AC=AG,由AM是邊BC上的中線,得出BM=CM=,三證△EAF≌△ABM(SAS)即可;③過E作EP⊥MN交MN延長線于O,過D作DO⊥MN于O,先證∠ABM=∠EAP,∠MCA=∠OAD,證明△EAP≌△ABM(AAS),再證△CAM≌△ADO(AAS),三證△EPN≌△DON(AAS)即可.(2)延長AF,使FQ=AF,連接DQ,將△ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△ARD,由點(diǎn)F為BD中點(diǎn),可得DF=BF,先證△DQF≌△BAF(SAS),DQ=BA=AC,∠FDQ=∠FBA,可證DQ∥BA,根據(jù)△ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ARD,可得AR=AC=AB=QD,RD=CE,證明R、A、B三點(diǎn)共線,再證△DQA≌△ARD(SAS),即可.【詳解】(1)①圖1中S△ABC=S△ADE;證明:取DE中點(diǎn)F,過E作EG∥AD,交射線AF于G,

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