平面與平面垂直判定86623

2.3.2平面與平面垂直的判定二面角知識(shí)回顧1.在平面幾何中"角"是怎樣定義的？從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角?；?一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角。2.在立體幾何中,"異面直線所成的角"是怎樣定義的？

直線a、b是異面直線,經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別引直線a'//a,b'//b,我們把相交直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角。

3.在立體幾何中,"直線和平面所成的角"是怎樣定義的？平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。

思考：異面直線所成的角、直線和平面所成的角與有什么共同的特征？

它們的共同特征都是將三維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角,即平面角。攔洪壩水平面

一個(gè)平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中的每一部分都叫做半平面。

一條直線上的一個(gè)點(diǎn)把這條直線分成兩個(gè)部分，其中的每一部分都叫做射線。

定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱。這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

平面角由射線--點(diǎn)--射線構(gòu)成。二面角由半平面--線--半平面構(gòu)成。

oABlαβ

lABPQ二面角的表示

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCD二面角的畫(huà)法CEFDAB角BAO邊邊頂點(diǎn)從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。定義構(gòu)成邊—點(diǎn)—邊（頂點(diǎn)）表示法∠AOB二面角AB面面棱a

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。面—直線—面（棱）二面角—l—

或二面角—AB—

圖形

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的度量

l二面角的平面角的三個(gè)特征:1.點(diǎn)在棱上2.線在面內(nèi)3.與棱垂直二面角的大小的范圍:平面角是直角的二面角叫做直二面角.A’AB’C’CD’DB例1:在正方體ABCD-A1B1C1D1中求:二面角D’-AB-D的大小求:二面角A’-AB-D的大小

AOD例2:已知銳二面角

－l－

，A為面

內(nèi)一點(diǎn)，A到

的距離為

2，到

l的距離為

4，求二面角

－l－

的大小。l

AOD解：過(guò)A作AO⊥

于O，過(guò)O作OD⊥l于D，連AD得

AD⊥l∴AO=2，AD=4∵AO為

A到

的距離，AD為

A到l的距離∴∠ADO就是二面角

－l－

的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角

－l－

的大小為60°在Rt△ADO中，AOADlAO⊥

AO⊥l,OD⊥ll⊥平面AOD小結(jié):二面角一、二面角的定義：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的計(jì)算：二面角

－AB－

二面角C－AB－D二面角

－l－

1、根據(jù)定義作出來(lái)2、利用直線和平面垂直作出來(lái)1、找到或作出二面角的平面角2、證明1中的角就是所求的角3、計(jì)算所求的角一“作”二“證”三“計(jì)算”從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱。這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。1、二面角的平面角必須滿足三個(gè)條件2、二面角的平面角的大小與其頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)3、二面角的大小用它的平面角的大小來(lái)度量練習(xí)

如圖，已知A、B是120

的二面角

—l—

棱l上的兩點(diǎn)，線段AC，BD分別在面

，

內(nèi)，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求線段CD的長(zhǎng)。ADBC

l練習(xí)如圖，已知A、B是120

的二面角

—l—

棱l上的兩點(diǎn)，線段AC，BD分別在面

，

內(nèi)，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求線段CD的長(zhǎng)。ADBC

lO分析：∠OAC

＝120AO=BD=1,AC=2四邊形ABDO為矩形,DO=AB=3在Rt△COD中，練習(xí)如圖，已知A、B是120

的二面角

—l—

棱l上的兩點(diǎn)，線段AC，BD分別在面

，

內(nèi)，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求線段CD的長(zhǎng)。ADBC

l

∵BD⊥l∴AO∥BD，∴四邊形ABDO為矩形,∴DO∥l

，

AO=BD∵

AC⊥l，AO⊥l，∴l(xiāng)⊥平面CAO

∴AO⊥l∴CO⊥DO

O在Rt△COD中，DO=AB=3E解：在平面

內(nèi)，過(guò)A作AO⊥l，使AO=BD,

連結(jié)CO、DO,則∠OAC就是二面角

—l—

的平面角，即∠OAC

＝120，∵BD=1∴AO=1，在△OAC中，AC=2，∴面面垂直的判定一、二面角的定義：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的計(jì)算：二面角

－AB－

二面角C－AB－D二面角

－l－

1、根據(jù)定義作出來(lái)——定義法2、利用直線和平面垂直作出來(lái)

——垂線垂面法1、找到或作出二面角的平面角2、證明1中的角就是所求的角3、計(jì)算所求的角一“作”二“證”三“算”從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱。這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。221、二面角的平面角必須滿足三個(gè)條件2、二面角的平面角的大小與其頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)3、二面角的大小用它的平面角的大小來(lái)度量復(fù)習(xí)回顧：觀察下面兩個(gè)圖形,它們之間有什么關(guān)系?

如果兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角，那么我們稱(chēng)這兩個(gè)平面相互垂直.畫(huà)法：記作：一、兩個(gè)平面垂直的定義二、兩個(gè)平面垂直的判定定理

如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．

已知：AB⊥β，AB?α.求證：α⊥β。[證明]：設(shè)α∩β=CD，

∵AB⊥β，CD?β，∴AB⊥CD．在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β。兩個(gè)平面垂直的判定定理：線線垂直線面垂直面面垂直

如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.ACDA1C1D1ＢB1

例1：在正方體ABCD—A1B1C1D1中,求證：平面AA1C1C⊥平面BB1D1D例題講解：例2．如右圖：A是ΔBCD所在平面外一點(diǎn)，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中點(diǎn)，求證：平面AEC⊥平面ABDDACBE證明：∵∠ABC=∠ADC=90°AB=AD，AC=AC.∴△ABC≌△ADC.∴CB=CD又∵AB=AD，E是BD的中點(diǎn)，∴AE⊥BD，CE⊥BD,AE∩EC=E，∴BD⊥平面AEC.又BD在平面BCD內(nèi)，∴平面AEC⊥平面ABD若將此條件改為∠BAC=∠DAC=90°，則結(jié)論成立嗎？例3．在空間四邊形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E為對(duì)角線AC的中點(diǎn).求證:平面ABC⊥平面BDECADBE

2.如果平面α內(nèi)有一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條直線，則α⊥β.（）課堂練習(xí)1.如果平面α內(nèi)有一條直線垂直于平面β內(nèi)的一條直線，則α⊥β.（）3.如果平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線,則α⊥β.（）一、判斷：××4.若m⊥α，m//β，則α⊥β.()√√1.過(guò)平面α的一條垂線可作_____個(gè)平面與平面α垂直.2.過(guò)一點(diǎn)可作_____個(gè)平面與已知平面垂直.二、填空題：3.過(guò)平面α的一條斜線，可作____個(gè)平面與平面α垂直.4.過(guò)平面α的一條平行線可作____個(gè)平面與α垂直.一無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)一在空間四邊形ABCD，AB=BC，AD=CD，E、F、G分別是AD、CD、AC的中點(diǎn).