新教材高中數(shù)學(xué)人教B版學(xué)案3-1-1第2課時(shí)函數(shù)的表示方法

第2課時(shí)函數(shù)的表示方法[課程目標(biāo)]1.掌握函數(shù)的三種表示方法——解析法、圖像法、列表法；2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)方法表示函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的表示方法[填一填](1)列表法：用列表的形式給出了函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為列表法．(2)圖像法：用函數(shù)的圖像表示函數(shù)的方法稱為圖像法．(3)解析法：如果在函數(shù)y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代數(shù)式(或解析式)來表示的，這種表示函數(shù)的方法稱為解析法．[答一答]某同學(xué)計(jì)劃買x(x∈{1,2,3,4,5})支2B鉛筆．每支鉛筆的價(jià)格為0.5元，共需y元．于是y與x間建立起了一個(gè)函數(shù)關(guān)系．(1)該函數(shù)的定義域是什么？(2)y與x滿足的關(guān)系式是什么？(3)試用表格表示鉛筆數(shù)x與錢數(shù)y之間的關(guān)系．(4)試用圖像表示x與y之間的關(guān)系．提示：(1)定義域?yàn)閤∈{1,2,3,4,5}．(2)y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．(3)表格如下.鉛筆數(shù)x/支12345錢數(shù)y/元0.511.522.5(4)如圖．類型一函數(shù)的表示方法[例1]某種筆記本的單價(jià)是5元，買x(x∈{1,2,3,4,5})個(gè)筆記本需要y元，試用三種表示法表示函數(shù)y＝f(x)．[解]這個(gè)函數(shù)的定義域是{1,2,3,4,5}．用解析法可將函數(shù)y＝f(x)表示為y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可將函數(shù)y＝f(x)表示為：筆記本數(shù)x/個(gè)12345錢數(shù)y/元510152025用圖像法可將函數(shù)y＝f(x)表示為如下圖所示：函數(shù)三種表示方法的適用范圍1列表法適用于定義域是有限集的情形.2圖像法適用于任何函數(shù)，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)不間斷的曲線，也可以是間斷的不連續(xù)的曲線或相應(yīng)的點(diǎn).3解析法適用于對應(yīng)法則可以用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的情形.4對于一個(gè)給定的函數(shù)其可以有幾種不同的表示，比如fx＝1x∈R，也可以用圖像來表示，此時(shí)圖像是一條直線.[變式訓(xùn)練1]某商場新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試分別用列表法、圖像法、解析法表示售出臺(tái)數(shù)x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})與收款總額y(元)之間的函數(shù)關(guān)系．解：(1)該函數(shù)關(guān)系用列表法表示為：x/臺(tái)12345y/元3000600090001200015000x/臺(tái)678910y/元1800021000240002700030000(2)該函數(shù)關(guān)系用圖像法表示，如圖所示．(3)該函數(shù)關(guān)系用解析法表示為y＝3000x，x∈{1,2，3，…，10}．類型二作函數(shù)的圖像[例2]作出下列函數(shù)的圖像，并求出其值域：(1)y＝eq\f(x,2)＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3.[解](1)用列表法可將函數(shù)y＝eq\f(x,2)＋1，x∈[1,5]，x∈Z表示為：x12345yeq\f(3,2)2eq\f(5,2)3eq\f(7,2)圖像如圖．值域?yàn)閧eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，3，eq\f(7,2)}．(2)∵0≤x<3，∴這個(gè)函數(shù)的圖像是拋物線y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之間的一段弧(如圖所示)．值域?yàn)閇－5,3)．1.作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線.作圖像時(shí)一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，再列表畫出圖像.2.函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點(diǎn)，畫圖時(shí)要注意關(guān)鍵點(diǎn)，如圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)、二次函數(shù)的頂點(diǎn)等等，特別要分清區(qū)間端點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn).[變式訓(xùn)練2]作出下列函數(shù)的圖像：(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝x2－2x－3(x∈R)；(3)y＝eq\f(x2－x,x－1).解：(1)函數(shù)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)的定義域?yàn)閧－2，－1,0,1,2}，圖像為五個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)在直線y＝1－x上．列表：x－2－1012y3210－1所畫函數(shù)圖像如圖1.(2)函數(shù)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4且當(dāng)x＝－1,3時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－4；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－3.所畫函數(shù)圖像如圖2.(3)函數(shù)y＝eq\f(x2－x,x－1)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(1，＋∞)．則y＝eq\f(x2－x,x－1)＝x，函數(shù)圖像如圖3.類型三函數(shù)表示法在實(shí)際問題中的應(yīng)用[例3]下列圖像中，哪幾個(gè)圖像與下述三事件分別吻合得最好？請你為剩下的那個(gè)圖像寫出一件事．(1)我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，停車思考一番，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué)；(2)我騎著車一路勻速行駛，只是途中遇到了一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時(shí)間開始加速．[解](1)分析可知離開家的距離先逐漸增大；后來發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘家里了，返回家的過程中離開家的距離又逐漸減小；找到作業(yè)本后離開家的距離又逐漸增大，故(1)對應(yīng)D.(2)分析可知離開家的距離先逐漸增大；后因?yàn)榻煌ǘ氯?，在一段時(shí)間內(nèi)沒有前進(jìn)，因此離開家的距離未變化；交通通暢后繼續(xù)前進(jìn)，離開家的距離又逐漸增大，故(2)對應(yīng)A.(3)剛開始緩緩前進(jìn)，所以離開家的距離緩緩增加；加速后離開家的距離急劇增加，故(3)對應(yīng)B.剩下的圖像C為：我出發(fā)后越走越累，所以速度越來越慢．函數(shù)表示在實(shí)際問題中的解題策略1提取信息：仔細(xì)閱讀題目條件、認(rèn)真觀察分析圖像或數(shù)表中的信息，不輕易放棄對提供的條件、圖像、圖形和數(shù)據(jù)的利用，在解答過程中要盡可能地利用題目所提供的數(shù)據(jù)和信息.2合理選擇：根據(jù)實(shí)際問題的特征選擇合適的方法表示函數(shù)，比如自變量有限函數(shù)值確定則可以選擇列表法也可以用圖像法，如果自變量的取值為區(qū)間的形式則一般選擇解析法.[變式訓(xùn)練3]某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品時(shí)的能耗y與產(chǎn)品件數(shù)x之間適合關(guān)系式：y＝ax＋eq\f(b,x).且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝100；當(dāng)x＝7時(shí)，y＝35.且此產(chǎn)品生產(chǎn)件數(shù)不超過20件．(1)寫出函數(shù)y關(guān)于x的解析式．(2)用列表法表示此函數(shù)．解：(1)把x＝2，y＝100；x＝7，y＝35分別代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(b,2)＝100，,7a＋\f(b,7)＝35，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝196，))∴函數(shù)解析式為y＝x＋eq\f(196,x)(x∈N*,0<x≤20)．(2)當(dāng)x∈{1,2,3,4,5，…，20}時(shí)，列表：x12345678910y19710068.35344.238.73532.530.829.6x11121314151617181920y28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8類型四待定系數(shù)法求函數(shù)解析式[例4]求滿足下列條件的二次函數(shù)的解析式．(1)已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A(3,0)，B(0，－3)，C(－2，5)三點(diǎn)；(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)，點(diǎn)(2,0)在函數(shù)圖像上；(3)已知y＝x2－4x＋h的頂點(diǎn)A在直線y＝－4x－1上．[解](1)設(shè)所求函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c待定．根據(jù)已知條件得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a＋3b＋c＝0，,c＝－3，,4a－2b＋c＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝－3，))因此所求函數(shù)為y＝x2－2x－3.(2)設(shè)所求函數(shù)為y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中a待定．根據(jù)已知條件得：a(2－4)2＋2＝0，解得a＝－eq\f(1,2)，因此所求函數(shù)為y＝－eq\f(1,2)(x－4)2＋2＝－eq\f(1,2)x2＋4x－6.(3)y＝x2－4x＋h＝(x－2)2＋h－4，∴頂點(diǎn)A(2，h－4)，由已知得：(－4)×2－1＝h－4，h＝－5，因此所求函數(shù)為y＝x2－4x－5.用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的具體做法是先根據(jù)題目中給出的函數(shù)類型設(shè)出解析式的一般形式，再由已知條件列方程或方程組，然后解出待定系數(shù)即可.注意設(shè)待定系數(shù)本著“寧少勿多”的原則進(jìn)行，要根據(jù)條件選取適當(dāng)?shù)男问?[變式訓(xùn)練4]二次函數(shù)f(x)與g(x)的圖像開口大小相同，開口方向也相同．已知函數(shù)g(x)的解析式和f(x)圖像的頂點(diǎn)，寫出函數(shù)f(x)的解析式．(1)函數(shù)g(x)＝x2，f(x)圖像的頂點(diǎn)是(4，－7)；(2)函數(shù)g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)圖像的頂點(diǎn)是(－3,2)．解：如果二次函數(shù)的圖像與y＝ax2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，可知二次項(xiàng)系數(shù)相同，若頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)，則其解析式為y＝a(x－h(huán))2＋k.(1)因?yàn)閒(x)與g(x)＝x2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，f(x)的圖像的頂點(diǎn)是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9.(2)因?yàn)閒(x)與g(x)＝－2(x＋1)2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，且g(x)＝－2(x＋1)2與y＝－2x2的圖像開口大小相同，開口方向也相同，又因?yàn)閒(x)圖像的頂點(diǎn)是(－3,2)，所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.1．已知函數(shù)f(x)的定義域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，在下面的圖形中，能表示f(x)的圖像的只可能是(D)解析：作一條垂直于x軸的直線，此直線與圖像有唯一交點(diǎn)的圖像可能為函數(shù)f(x)圖像，從而選項(xiàng)A、C不正確，再結(jié)合定義域、值域可得只有選項(xiàng)D正確．故選D.2．購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元，若每聽2元，用解析法將y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函數(shù)為(D)A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})解析：題中已給出自變量的取值范圍，x∈{1,2,3,4}，故選D.3．已知某二次函數(shù)的圖像與函數(shù)y＝2x2的圖像形狀一樣，