第五節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法(要點(diǎn)歸納+夯實(shí)基礎(chǔ)練)

第五節(jié)數(shù)學(xué)歸納法

【要點(diǎn)歸納】

數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵點(diǎn)

1.驗(yàn)證是基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個步驟是要找一個數(shù)“0,這個"0,就是

我們要證明的命題對象對應(yīng)的最小自然數(shù)，這個自然數(shù)并不一定都是“1”,因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)，

奠基要穩(wěn)''是第一個關(guān)鍵點(diǎn).

2.遞推是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從到的過程中，要正確分

析式子項(xiàng)數(shù)的變化.關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由〃=發(fā)到，7=k+1時，等式的

兩邊會增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng).

3.利用假設(shè)是核心：在第二步證明〃=4+1成立時，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把

歸納假設(shè)，=&時命題成立“作為條件來導(dǎo)出，=k+1”，在書寫向上H)時，一定要把包含人&)

的式子寫出來，尤其是H&)中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心.不用歸納假設(shè)的證明就

不是數(shù)學(xué)歸納法.

【夯實(shí)基礎(chǔ)練】

1.(2022-西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三九模)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

1+,+'+…+」一＜”("N2,a∈N*)的過程中，由〃=%到〃=Z+1時-，左邊增加了

232,,-l

()

A.1項(xiàng)B.A項(xiàng)C.2"-1項(xiàng)D.2*項(xiàng)

【解析】當(dāng)〃=上時，不等式左邊的最后一項(xiàng)為一一，而當(dāng)〃=k+1時，最后一項(xiàng)

2*-1

為一J—=丁'~r,并且不等式左邊分式每一項(xiàng)分母的變化規(guī)律是每一項(xiàng)比前一項(xiàng)加

2i+l-l2λ-l+2λ

1,所以增加了2?項(xiàng).故選：D

【答案】D

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3++(2“+1)=(〃+1)(2〃+1)時，從〃=女到

〃=左+1等式左邊需增添的項(xiàng)是()

A.2k+2

B.[2(?+l)+l]

C.[(2攵+2)+(2k+3)]

D.[(?+l)+l][2(Zr+l)+l]

【解析】當(dāng)〃=左時，左邊=1+2+3++(2Z+1),共2Z+1個連續(xù)自然數(shù)相加，

當(dāng)〃=4+1時，左邊=1+2+3++(2k+1)+(2%+2)+(2女+3),

所以從〃=上到〃=Z+1,等式左邊需增添的項(xiàng)是[(2左+2)+(2%+3)].故選：C.

【答案】C

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式J+1+,++_]>烏一1(〃∈N*,〃≥2)時，以下說法

2342,,^l2

正確的是()

A.第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)〃=1時不等式成立

B.從“〃=左到〃=Z+1”左邊需要增加的代數(shù)式是?

C.從“〃=后到〃=4+1”左邊需要增加24項(xiàng)

D.從“〃=%到〃=4+1”左邊需要增加的代數(shù)式是一rJ-+-πi—++?

2A^'+12λ^'+22k

【解析】第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)〃=2時不等式成立，所以A不正確；

m.lIlj1zll?l1、111

2342k2342k-i2^1+l2A'I+22k

所以從F=Z到〃=Z+1''左邊需要增加的代數(shù)式是一一+/—++1,所以

2k-'+↑2k-'+22k

8不正確；

所以從“〃=k到n=Z+1”左邊需要增加2*τ項(xiàng)，所以C不正確.故選:D.

【答案】D

4.己知/(〃)=l+g+；++J("∈N+),證明不等式/(2")>T時，/(2"T)比

/(2")多的項(xiàng)數(shù)是()

A.21項(xiàng)B.2"|項(xiàng)C.24項(xiàng)D.以上都不對

【解析】因?yàn)椤?2"")=l+5+3++?^γ>/(2A)=1+-+?++—,

1

所以/(2"∣)-/(2，=^—+πr~++—?-,

2λ+l2k+22k+2k

所以/(2E)比/(2")多的項(xiàng)數(shù)是2人.故選：C.

【答案】C

5.利用數(shù)學(xué)歸納法證明"1一』+!一」?+H---L=—!—I—!—F+‘一”時

2342n-l2n〃+1n+22n

從“〃=攵”變到“〃=k+1”時，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)是.

解析當(dāng)n=k時等式為

ι-il-l÷+-，+±當(dāng)n=k+?時，等式為

2+342k—1IkZ+lk+2+Ik

111

1-—+-----+H-----------=----1-----F+----因此，從""=k''變到

2342Z+12k+2k+2k+32k+2

n=k+?”時，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)是

11111

1--+------++---1-

2342k+]2k+22k-?2k)2k+l2k+2

11

.故答案為:

2k+Γ2k+2

1______1

【答案】

2k+?~2k+2

1_n+2

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：l+α+α?+…+/+1=丁(α±l∕∈N*),驗(yàn)證〃=1

時，等式左邊=.

【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明：l+α+∕+...+α"+∣=一“(4±l∕eN*)時,

1-av7

在驗(yàn)證〃=1時，把當(dāng)〃=1代入，左端=l+α+/.故答案為：l+a+/

【答案】l+a+a^.

設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足

7.?1=3,an+l=3all-An.

⑴計(jì)算如俏，猜想｛斯｝的通項(xiàng)公式并加以證明;

(2)求數(shù)列｛2"斯｝的前n項(xiàng)和S,,.

【解析】(1)由題意可得%=3q—4=9-4=5,q=34—8=15—8=7,

由數(shù)列｛α,,｝的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列｛4｝是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即

an=2n+l,

證明如下：

當(dāng)〃=1時，q=3成立;

假設(shè)〃=女時，％=2&+1成立.

那么“=女+時，也成立.

1ak+l=3ak—4k-3(2k+1)—4k=2k+3=2(Zc+l)+l

則對任意的〃都有成立；

eN*,an=2〃+1

(2)由(1)可知，α,,?2"=(2n+l)?2"

23,,lz,

Sn=3×2+5×2+7×2++(2n-l)?2^+(2n+l)?2,①

234,n+,

2Sll=3×2+5X2+7×2++(2∕ι-l)?2'+(2n+l)?2,②

由①—②得：-S,,=6+2X(22+23++2n)-(2n+l)?2,,+,

22×(l-2n-1)

=6+2×—―^-(2π+l)?2n+l=(l-2n)?2n+1-2,

βpS,,=(2∕ι-l)?2n+l+2.

【答案】(1)出=5，%=7，an=2n+?,證明見解析；(2)S,,=(2〃-1>2田+2.

8.數(shù)列｛%｝滿足S,,=2"-α,,("∈N*).

(1)計(jì)算4、/、%，并猜想句的通項(xiàng)公式：

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.

【解析】(1)當(dāng)〃=1時，4=S[=2-4,，4=1；

、，.

=3;

當(dāng)〃=2時，ay+a2=S2=2×2-a2,.?Ci2~^

φ7

"i〃=3時，ax+a2+a3=S3=2×3-a3,..tz3=—；

由此猜想/=F-("WN'