高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修二）專題4.5 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專題4.5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型精講）1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和==+(-)n，令=A，-=B，則=+Bn.

(1)當(dāng)A=0，B=0(即d=0，=0)時(shí)，=0是常數(shù)函數(shù)，{}是各項(xiàng)為0的常數(shù)列.

(2)當(dāng)A=0，B≠0(即d=0，≠0)時(shí),=Bn是關(guān)于n的一次函數(shù)，{}是各項(xiàng)為非零的常數(shù)列.

(3)當(dāng)A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)時(shí)，=+Bn是關(guān)于n的二次函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0).3．等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【題型1求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給條件，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，求解等差數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若a2=18，S5=80，則數(shù)列A．2n+22 B．22?2nC．20?2n D．n【變式1-1】（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an為（A．a(chǎn)n=6n+2 B．a(chǎn)n=4n+2 C．【變式1-2】（2021·廣西·模擬預(yù)測(cè)（文））記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a3=2,S4=7A．n?1 B．n+12 C．2n?4 D．【變式1-3】（2020·四川·高三期中（文））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a12+a3A．a(chǎn)n=3n?5 B．a(chǎn)n=12【題型2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，即可得解.【例2】（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（文））設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若SnA．2528 B．3539 C．5558【變式2-1】（2021·全國(guó)·高二）設(shè)等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，并且SnTnA．37 B．715 C．13【變式2-2】（2021·陜西·高二期中（理））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S9S3A．717 B．310 C．314【變式2-3】（2022·江蘇省高二階段練習(xí)）已知Sn,Tn分別是等差數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和，且A．1120 B．4178 C．4382【題型3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題意，分析所給的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a1>0，公差d<0，Sn為其前n項(xiàng)和，則點(diǎn)A． B．C． D．【變式3-1】（2021·福建省高二開學(xué)考試）等差數(shù)列an中，a1<0，公差d>0，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)任意自然數(shù)n，若點(diǎn)A． B．C． D．【變式3-2】（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知an是各項(xiàng)不全為零的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和是Sn，且S20=S24，若A．20 B．19 C．18 D．17【變式3-3】（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）在各項(xiàng)不全為零的等差數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，且S2011=S2014，A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【題型4求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)條件，求出等差數(shù)列的基本量，得到首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，進(jìn)行求解即可.【例4】（2022·江蘇·高二期中）已知等差數(shù)列an，且3a3+aA．14 B．28 C．35 D．70【變式4-1】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an+2+an?2A．116 B．232 C．58 D．87【變式4-2】（2022·江蘇揚(yáng)州·高二期中）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝6，S4＝12，則S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【變式4-3】（2022·山東·高三期中）已知數(shù)列an成等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1=5,SA．7 B．6 C．5 D．4【題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值】【方法點(diǎn)撥】1.通項(xiàng)法若>0，d<0，則Sn必有最大值，其n可用不等式組來(lái)確定；若<0，d>0，則Sn必有最小值，其n可用不等式組來(lái)確定.2.二次函數(shù)法對(duì)于公差為非零的等差數(shù)列{an}，由于==+(-)n，所以可用求函數(shù)最值的方法來(lái)求前n項(xiàng)和Sn的最值.這里應(yīng)由n及二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的位置來(lái)確定n的值.【例5】（2022·內(nèi)蒙古·高一階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2=?27，a6A．?225 B．?224 C．?226 D．?223【變式5-1】（2022·甘肅·高二期中）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1=22,S7=A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【變式5-2】（2022·陜西·高二期中）設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5A．d<0 B．a(chǎn)7=0 C．S9>S5 D．【變式5-3】（2022·北京高三階段練習(xí)）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1+2a3=?1A．?4 B．?3 C．?2 D．?1【題型6等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化、實(shí)際問(wèn)題，讀懂其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立合適的等差數(shù)列，進(jìn)行求解.【例6】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））我國(guó)《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入3×3的方格內(nèi)，使得三行、三列、對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15，便得到一個(gè)3階幻方；一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，n2填入n×n個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等，這個(gè)正方形叫作n階幻方．記n階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為Sn，如S3A．555 B．101 C．505 D．1010【變式6-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中國(guó)古代詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言”．題意是把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個(gè)兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【變式6-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州，作為一種民間的數(shù)字符號(hào)曾經(jīng)流行一時(shí)，廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場(chǎng)合．“蘇州碼子”0~9的寫法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．為了防止混淆，有時(shí)要將“〡”“〢”“〣”橫過(guò)來(lái)寫．已知某鐵路的里程碑所刻數(shù)字代表距離始發(fā)車站的里程，每隔2公里擺放一個(gè)里程碑，若在A點(diǎn)處里程碑上刻著“〣〤”，在B點(diǎn)處里程碑上刻著“〩〢”，則從A點(diǎn)到B點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)字之和為（

）A．1560 B．1890 C．1925 D．1340【變式6-3】（2022·江西上饒·高二期末（文））廣豐永和塔的前身為南潭古塔，建于明萬(wàn)歷年間，清道光二十五年（1845）重修.磚石結(jié)構(gòu)，塔高九層，沿塔內(nèi)石階可層層攀登而上.塔身立于懸崖陡坡上，下臨豐溪河，氣勢(shì)峭拔.上個(gè)世界九十年代末，此塔重修，并更名為“永和塔”.每至夜色降臨，金燈齊明，塔身晶瑩剔透，遠(yuǎn)望猶如仙境.某游客