第04講 空間直線、平面的垂直 高頻考點-精練（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數學一輪復習精講精練（藝考生基礎版）

第第頁第04講空間直線、平面的垂直(精練）A夯實基礎一、單選題1．（2022·全國·高一課時練習）下列做法可以使旗桿與水平地面垂直的是（

）①過旗桿底部在地面上畫一條直線，使旗桿與該直線垂直；②過旗桿底部在地面上畫兩條直線，使這兩條直線垂直；③在旗桿頂部拴一條長大于旗桿高度的無彈性的細繩，拉緊在地面上找三點，使這三點到旗桿底部的距離相等．A．①② B．②③ C．只有③ D．只有②【答案】C【詳解】過旗桿底部在地面上畫一條直線，則旗桿與該直線不一定垂直，所以旗桿與水平地面不一定垂直，故①錯誤；過旗桿底部在地面上畫兩條直線，只有當這兩條直線相交，且旗桿與這兩條直線都垂直時，才能使旗桿與水平地面垂直，故②錯誤；在旗桿頂部拴一條長大于旗桿高度的無彈性的細繩，拉緊在地面上找三點，使這三點到旗桿底部的距離相等．當旗桿與水平地面垂直時，斜線相等時射影相等；能在地面上找三點，使這三點到旗桿底部的距離相等，則旗桿與水平地面垂直，因為過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，故③正確．故選：C．2．（2022·全國·高一課時練習）已知直線平面，有以下幾個判斷：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；上述判斷中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】B【詳解】對于①，當平面也可以有，但m不平行于平面，故①錯；對于②，根據線面垂直的性質定理可知②正確；對于③，根據線面平行的性質定理可得存在且．而直線平面，故可根據線面垂直的性質得出，故正確；對于④，根據直線平面，可在平面內找到兩條相交直線p，n，且，，又，所以，，故根據線面垂直的判定定理可知，正確．即②③④正確．故選：B．3．（2022·福建福州·高一期末）已知兩個平面，兩條直線，滿足，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】A選項，若，則或與異面，A錯誤；B選項，若，則或與斜交，或，B錯誤；C選項，如圖，滿足，但，C錯誤；D選項，根據面面垂直的判定，可知若，則故選：D4．（2022·四川樂山·高二期末（文））在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，取的中點，連接，三棱柱為直三棱柱，則平面，又平面，所以，又由題意可知為等腰直角三角形，且為斜邊的中點，從而，而平面，平面，且，所以平面，則為與平面所成的角.在直角中，.故選：C5．（2022·全國·高一課時練習）如圖，在正方體中，與平面所成角的余弦值是（

）.A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，連接交于，則，又正方體中平面，平面，∴，而，∴平面，∴是直線與平面所成角，此角大小為45°，余弦值為．故選：A.6．（2022·吉林長春·高一期末）在正方體中，E是的中點，若，則點B到平面ACE的距離等于（

）A． B． C． D．3【答案】B【詳解】如圖，在正方體中，，是的中點，則，，．．設點到平面的距離為，由，得，解得．故選：．7．（2022·黑龍江·大慶實驗中學高一期末）如圖，在直棱柱中，，，E為BC的中點，F(xiàn)為的中點，則異面直線AF與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在直棱柱中，連接BF，如圖，因E為BC的中點，F(xiàn)為的中點，則，則四邊形為平行四邊形，即有，因此是異面直線AF與所成角或其補角，因平面，平面，則，又，，平面，即有平面，平面，即，令，則，所以異面直線AF與所成角的正弦值為.故選：B8．（2022·江蘇·高一課時練習）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯30°，則晷針與點A處的水平面所成角為（

）A．15° B．30° C．60° D．90°【答案】B【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線，是點處的水平面的截線，是晷針所在直線，是晷面的截線.依題意可知，，，且晷針與點A處的水平面所成角為.由于，所以.由于，所以，也即晷針與點處的水平面所成角為.故選：B二、多選題9．（2022·安徽·淮南第一中學高一階段練習）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結論中正確的有（

）A． B．平面C．與平面所成角是 D．與所成的角等于與所成的角【答案】AB【詳解】A選項，為正方形，，又平面，，又，平面，，A選項正確；B選項，為正方形，，又平面，且平面，平面，B選項正確；C選項，底面，與平面所成角是，C選項錯誤；D選項，為正方形，則與所成的角，又底面，則，所以與所成的角，D選項錯誤；故選：AB.10．（2022·安徽·淮南第一中學高一階段練習）如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題中正確的是（

）A．直線與平面所成的角等于B．點到面的距離為C．兩條異面直線和所成的角為D．三棱柱的體積是【答案】AB【詳解】正方體的棱長為1，對于選項直線與平面所成的角為，故選項A正確.對于選項如圖由平面，平面，所以又,，面所以面，所以點到面的距離為長度的一半，即，故選項B正確.對于選項如圖由//，所以異面直線和所成的角為連接，所以為等邊三角形則兩條異面直線和所成的角為，故選項C錯誤.對于選項如圖三棱柱的體積是，故選項D錯誤.故選：AB三、填空題11．（2022·江蘇·高一課時練習）如圖，在直四棱柱中，當底面ABCD滿足條件___________時，有.（只需填寫一種正確條件即可）【答案】(答案不唯一)【詳解】根據直四棱柱可得：∥，且，所以四邊形是矩形，所以∥，同理可證：∥，當時，可得：，且底面，而底面，所以，而，從而平面，因為平面，所以，所以當滿足題意.故答案為：.12．（2022·全國·高二單元測試）在正方體中，二面角的大小是________.【答案】【詳解】在正方體中，平面.所以所以是二面角的平面角.在直角中，，所以故答案為：四、解答題13．（2022·全國·高一課前預習）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°，側面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(1)連接,∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴△為等邊三角形，又∵G為AD的中點，∴BG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如圖，∵△PAD為正三角形，G為AD的中點，∴PG⊥AD.由（1）知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.14．（2022·廣東韶關實驗中學高一期中）如圖，在三棱柱中，點D是AB的中點．(1)求證：∥平面．(2)若平面ABC，，求證：平面．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.(1)連接，交于點，連接∵是三棱柱，∴四邊形為平行四邊形，∴是的中點.∵點是的中點，∴是的中位線，∴，又平面，平面，∴∥平面.(2)∵平面，平面，∴，∵，，∴，∵，平面，∴平面.B能力提升15．（2022·全國·高二開學考試）如圖，在三棱錐中，，，O，M分別為，的中點.(1)證明：平面；(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)（1）因為分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由題知是等邊三角形，O為的中點，所以，且.由題可知為等腰直角三角形，.又因為，所以，所以.又因為平面，所以平面，所以三棱錐的高為，其體積為.16．（2022·廣西南寧·高二開學考試）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，E為的中點．(1)證明：平面；(2)設，三棱錐的體積為，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)（1）如圖，連結，設與的交點為O，連接．因為四邊形為矩形，所以點O為的中點．又點E為的中點，所以．因為平面平面，所以平面．（2）作于點H．∵平面，平面，∴又∵為矩形，，∴由，可得．因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，故平面，即的長就是點A到平面的距離．因為，所以，因此為與平面所成角，則．17．（2022·福建福州·高三期末）如圖，在三棱錐中，底面ABC，，，是的中點，點在上，且.(1