5.2+平行線及其判定+++講義++2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級下冊

第五章相交線與平行線5.2平行線及其判定題型歸納題型歸納新知梳理新知梳理1．平行線的定義和畫法（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，記作a∥b，讀作a平行于b．（2）平行線沒有公共點(diǎn)；在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行，應(yīng)特別注意“在同一平面內(nèi)”這一條件，重合的直線視為一條直線．（3）平行線定義滿足三個條件：一是在同一平面內(nèi)，二是兩條直線，三是不相交，三者缺一不可．（4）平行線的畫法一落：把三角尺一邊落在已知直線上；二靠：用直尺緊靠三角尺的另一邊；三推：沿直尺推動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點(diǎn)；四畫：沿三角尺過已知點(diǎn)的邊畫直線．（5）平行線的表示記作：a∥b；讀作：直線a平行于直線b．2．平行線的基本事實(shí)及其推論（1）平行線的基本事實(shí)（平行公理）：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．（2）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．如圖，如果b∥a，c∥a，那么b∥c．3．平行線的判定（1）判定方法1兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）判定方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．（3）判定方法3兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．舉一反三舉一反三【題型1】平行公理及其推論方法點(diǎn)撥強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過直線外一點(diǎn)”，而非直線上的點(diǎn)；“有且只有”強(qiáng)調(diào)直線的存在性和唯一性．例1（2022春?環(huán)江縣期中）如圖，，，，，求，和的度數(shù)．例1【分析】由平行線的性質(zhì)可判斷，與互補(bǔ)，，則可求得結(jié)果．【解答】解：，，，，，又，，，．答：，和的度數(shù)分別是、、．【變式1-1】（2023春?利川市期中）若直線，，，有下列關(guān)系，則推理正確的是A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】【分析】根據(jù)平行公理及推論，逐一判斷即可解答．【解答】解：、，，，故不符合題意；、，，與不一定平行，故不符合題意；、，，，故符合題意；、，，與不一定平行，故不符合題意；故選：．【變式1-2】（2022秋?太康縣期末）如圖，若，，那么等于A． B． C． D．【分析】直接利用平行線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出答案．【解答】解：，，，，．故選：．【變式1-3】（2022春?澠池縣期中）已知：如圖，，平分，平分，求的度數(shù)；請補(bǔ)全下列解法中的空缺部分．解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)．，，，，且（平行于同一直線的兩直線也互相平行），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），平分，平分．，．，，．總結(jié)：兩直線平行時，同旁內(nèi)角的角平分線．【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，即可得到的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（已知），（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），且（平行于同一直線的兩直線也互相平行），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），平分，平分，，（角平分線定義），（等量代換），．總結(jié)：兩直線平行時，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直．故答案為：已知；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；；；；；角平分線定義；等量代換；互相垂直．【題型2】平行線的判定方法點(diǎn)撥1．判定平行線的思路：（1）定：確定已知條件是位置關(guān)系還是數(shù)量關(guān)系；（2）選：若已知條件是位置關(guān)系，則用平行公理的推論證明；若已知條件是數(shù)量關(guān)系，則選用平行線的3個判定方法證明．2．應(yīng)用平行線的3種判定方法判定兩直線平行的步驟（1）分離“三線八角”．（2）識別兩角的位置關(guān)系．（3）根據(jù)平行線判定方法進(jìn)行判斷．例2（2023春?管城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)、分別在、上，于點(diǎn)，，，求證：．請?zhí)羁眨?證明：（已知）又又（平角的定義）又（已知）（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【答案】垂直的定義；已知；；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；；90；同角的余角相等；．【分析】先證得，由得，利用平角定義得出，結(jié)合可以得出，從而得證．【解答】證明：（已知），（垂直的定義）．又（已知），（同位角相等，兩直線平行），（兩直線平行，同位角相等），（等量代換）．又（平角的定義），．又（已知），（同角的余角相等），（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：垂直的定義；已知；；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；；90；同角的余角相等；．【變式2-1】（2022秋?揭東區(qū)期末）如圖，能推斷的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)平行線的判定定理①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）判斷即可．【解答】解：、，，不能推出，故本選項(xiàng)錯誤；、，，故本選項(xiàng)正確；、，，，不能推出，故本選項(xiàng)錯誤；、，，不能推出，故本選項(xiàng)錯誤；故選：．【變式2-2】（2022秋?碑林區(qū)校級期末）已知：如圖，與相交于點(diǎn)，，．求證：．【答案】見解析．【分析】根據(jù)可得，則，再由可得，以此即可證明．【解答】解：，，，，，．【變式2-3】（2023秋?德城區(qū)校級月考）如圖，四邊形中，，平分交于，平分交于．求證：．【答案】證明見解答過程．【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理及角平分線定義求出，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)推出，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可得解．【解答】證明：，，平分，平分，，，，，，，．【題型3】平行線判定的綜合應(yīng)用方法點(diǎn)撥解題方法：（1）找到要判斷的兩條直線．（2）尋找合適的截線．（3）結(jié)合已知條件推同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系（4）得出結(jié)論．例3（2023秋?南崗區(qū)校級期中）如圖，直線、被所截，于，，，求證：．例3【答案】證明見解析．【分析】由垂直的定義得到，求出，得到，即可證明．【解答】證明：于，，，，，，．【變式3-1】（2023春?鎮(zhèn)安縣期末）已知，如圖，于，于，，，求證：．【分析】由于，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，而，則，根據(jù)平行線的判定得到，所以，又，于是，然后根據(jù)平行線的判定即可得到．【解答】證明：，，，，，，，，，，．【變式3-2】（2023春?桓臺縣期末）如圖，，分別是，上一點(diǎn)，，與互余，，垂足是．（1）求的度數(shù)；（2）說明：．【答案】（1）；（2）理由見解析．【分析】（1）由，得到，由，推出，得到；（2）由，得到，推出．【解答】解：（1），，，，，，（2）證明：，，，，．【變式3-3】（2023春?樺甸市期末）如圖，點(diǎn)在上，已知，平分，平分，請說明的理由．證明：因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠椒郑?，因?yàn)槠椒郑?，得（等量代換）．所以．【答案】已知；平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【分析】由題意可求得，再由角平分線的定義得，，從而得，即可判定．【解答】解：（已知），（平角的定義），（同角的補(bǔ)角相等）．平分，（角平分線的定義）．平分，，（等量代換），（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：已知；平角的定義；同角的補(bǔ)角相等；角平分線的定義；；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【題型4】平行線的判定在實(shí)際生活中的應(yīng)用方法點(diǎn)撥解題方法：先明確要判定平行的直線及截線，再找到相關(guān)的“三線八角”，利用“同位角相等，兩直線平行”或“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”判定兩直線平行．例4（2023春?莆田月考）如圖，為了說明示意圖中的平安大道與長安街是互相平行的，在地圖上量得，你能通過度量圖中已標(biāo)出的其他的角來驗(yàn)證這個結(jié)論嗎？說出你的理由．例4【分析】通過測量、、、、的度數(shù)，然后運(yùn)用平行線的判定定理進(jìn)行判斷．【解答】解：①通過度量的度數(shù)，若滿足，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，就可以驗(yàn)證這個結(jié)論；②通過度量的度數(shù)，若滿足，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，就可以驗(yàn)證這個結(jié)論；③通過度量的度數(shù)，若滿足，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，就可以驗(yàn)證這個結(jié)論；④通過度量的度數(shù)，若滿足，可得，先根據(jù)對頂角相等，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，就可以驗(yàn)證這個結(jié)論．【變式4-1】（2022春?韓城市期中）如圖，一條街道的兩個拐角，，這時街道與平行嗎？為什么？【答案】．理由見解析部分．【分析】由，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可知街道與的關(guān)系是平行．【解答】解：．理由如下：，，，（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．【變式4-2】（2022春?濮陽期末）“村村通”是國家的一個系統(tǒng)工程，其中包含公路、電力、生活和飲用水、電話網(wǎng)、有線電視網(wǎng)、互聯(lián)網(wǎng)等等，現(xiàn)計(jì)劃在，，周邊修公路，公路從村沿北偏東方向到村，從村沿北偏西方向到村，那么要想從村修路，沿什么方向修，可以保證與平行？【答案】應(yīng)沿北偏東方向修．【分析】利用平行線的性質(zhì)得出，可得，即可得出答案．【解答】解：使沿北偏東方向（或使與垂直），即可保證與平行．理由如下：如圖，由題意得，，，，要使，則，，則應(yīng)沿北偏東方向