《三角形內(nèi)角和定理》典型例題

例析三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，這是三角形內(nèi)角和定理．三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用廣泛，下面以例說(shuō)明．一、求三角形的內(nèi)角例1在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，則∠A的度數(shù)為（）A．30°B．40°C．50°D．60°解：由三角形內(nèi)角和定理，得∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，答案選D．例2如圖，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=______．解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°，∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°．說(shuō)明：在求出∠4=80°后，也可根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．例3△ABC中，若∠A－2∠B＋∠C=0°，則∠B的度數(shù)是（）A.30°B.45°C.60°D.75°解析：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°，可適當(dāng)變形為∠A+∠C=180°－∠B，而條件∠A－2∠B＋∠C=0°，也可變形為∠A+∠C=2∠B，所以可知180°－∠B=2∠B，解此方程即可得到∠B=60°，答案選C．二、判斷三角形的形狀例4一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為2:3:7，這個(gè)三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形解：設(shè)三個(gè)內(nèi)角分別為2k，3k，5k，由三角形內(nèi)角和定理，得2k+3k+5k=180°．解得k=15°，所以2k=30°，3k=45°，7k=105°，所以這個(gè)三角形是鈍角三角形，答案選D．三、求角平分線(xiàn)的夾角例5已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，則∠BOC的度數(shù)為_(kāi)_____．解：如圖，由BO平分∠ABC，得∠1=∠ABC；由CO平分∠ACB，得∠2=∠ACB．∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=(180°-60°)=60°．所以∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-60°=120°例6已知，如圖，在△ABC中，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線(xiàn)，（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度數(shù)．（2）若∠C＞∠B，試寫(xiě)出∠DAE與（∠C－∠B）的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）解析：(1)有三角形內(nèi)角和180°，可知△ABC中∠BAC=100°，已知AE是∠BAC的角平分線(xiàn)，所以∠EAC=50°，在△ADC中，∠C=50°,∠ADC=90°,由三角形內(nèi)角和知∠DAC=180°－∠C－∠ADC=40°,∠DAE=∠EAC－∠DAC=50°－40°=10°(2)由（1）的求解過(guò)程可知，要求