人教A版高中數(shù)學(xué)必修2學(xué)案3-1-1傾斜角與斜率

3.1直線的傾斜角與斜率傾斜角與斜率學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解直線的斜率和傾斜角的概念．2．理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性．3．了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會(huì)應(yīng)用斜率公式求直線的斜率．1.通過傾斜角概念的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)建模和直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2.通過斜率的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．1．傾斜角的相關(guān)概念(1)兩個(gè)前提：①直線l與x軸相交；②一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角；③范圍：0°≤α＜180°，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.(2)作用：①表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度；②確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可．思考：下圖中標(biāo)的傾斜角α對(duì)不對(duì)？[提示]都不對(duì)．2．斜率的概念及斜率公式(1)定義：傾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)記法：k＝tanα．(3)斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系．圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范圍)0(0，＋∞)不存在(－∞，0)(4)經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．思考：所有直線都有斜率嗎？若直線沒有斜率，那么這條直線的傾斜角為多少？[提示]不是．若直線沒斜率，則其傾斜角為90°.1．如圖所示，直線l與y軸的夾角為45°，則l的傾斜角為()A．45°B．135°C．0°D．無法計(jì)算B[根據(jù)傾斜角的定義知，l的傾斜角為135°.]2．已知一條直線過點(diǎn)(3，－2)與點(diǎn)(－1，－2)，則這條直線的傾斜角是()A.0°B．45°C．60°D．90°A[∵k＝eq\f(0,4)＝0，∴θ＝0°.]3．已知經(jīng)過兩點(diǎn)(5，m)和(m，8)的直線的斜率等于1，則m的值是()A.5B．8C．eq\f(13,2)D．7C[由斜率公式可得eq\f(8－m,m－5)＝1，解之得m＝eq\f(13,2).]4．已知直線l的傾斜角為30°，則直線l的斜率為()A.eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C.1 D．eq\f(\r(2),2)A[由題意可知，k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).]直線的傾斜角【例1】設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為()A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.當(dāng)0°≤α<135°時(shí)，傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，傾角為α－135°D[根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：因?yàn)?°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過畫圖(如圖所示)可知：當(dāng)0°≤α<135°，l1的傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.故選D.]求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．一條直線l與x軸相交，其向上的方向與y軸正方向所成的角為α(0°<α<90°)，則其傾斜角為()A.α B．180°－αC.180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－αD[如圖，當(dāng)l向上方向的部分在y軸左側(cè)時(shí)，傾斜角為90°＋α；當(dāng)l向上方向的部分在y軸右側(cè)時(shí)，傾斜角為90°－α.故選D.]直線的斜率【例2】(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，4)，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)B，若kAB＝4，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8)C.(2，0) D．(0，－8)(2)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，且不經(jīng)過第四象限，則直線l的斜率k的取值范圍是()A.(－1，0] B．[0，1]C.[1，2] D．[0，2](1)B(2)D[(1)設(shè)B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝eq\f(4,3－x)或kAB＝eq\f(4－y,3)，∴eq\f(4,3－x)＝4或eq\f(4－y,3)＝4，∴x＝2，y＝－8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)或(0，－8).(2)由圖可知當(dāng)直線位于如圖陰影部分所示的區(qū)域內(nèi)時(shí)，滿足題意，所以直線l的斜率滿足0≤k≤2.故選D.]解決斜率問題的方法(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決．(2)由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．(3)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常利用數(shù)形結(jié)合列公式求解．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)已知過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為135°，則y＝________．(2)過原點(diǎn)且斜率為eq\f(\r(3),3)的直線l繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°到達(dá)l′位置，則直線l′的斜率為________．(1)－5(2)eq\r(3)[(1)直線AB的斜率k＝tan135°＝－1，又k＝eq\f(－3－y,2－4)，由eq\f(－3－y,2－4)＝－1，得y＝－5.(2)k＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，即tanα＝eq\f(\r(3),3)，α＝30°，繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到eq\a\vs4\al(l′位置時(shí)，xl′＝60°.)這時(shí)kl′＝tan60°＝eq\r(3).]直線傾斜角與斜率的綜合[探究問題]1．斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)中，分子與分母的順序是否可以互換？y1與y2，x1與x2的順序呢？[提示]斜率公式中分子與分母的順序不可以互換，但y1與y2和x1與x2可以同時(shí)互換順序，即斜率公式也可寫為k＝eq\f(y1－y2,x1－x2).2．斜率的正負(fù)與傾斜角范圍有什么聯(lián)系？[提示]當(dāng)k＝tanα＜0時(shí)，傾斜角α是鈍角；當(dāng)k＝tanα＞0時(shí)，傾斜角α是銳角；當(dāng)k＝tanα＝0時(shí)，傾斜角α是0°.【例3】已知兩點(diǎn)A(－3，4)，B(3，2)，過點(diǎn)P(1，0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)．(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．思路探究：eq\x(作圖)eq\o(→,\s\up9(直線與線段有公共點(diǎn)))eq\x(傾斜角介于直線PB)eq\x(與PA的傾斜角之間)eq\o(→,\s\up9(求斜率))eq\x(求斜率范圍及傾斜角范圍)[解]如圖所示，由題意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1.(1)要使直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是k≤－1或k≥1.(2)由題意可知，直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.將本例變?yōu)椋阂阎狝(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).若點(diǎn)D在線段BC上(包括端點(diǎn))移動(dòng)，求直線AD的斜率的變化范圍．[解]如圖所示．當(dāng)點(diǎn)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，又kAB＝eq\f(3－2,3－（－4）)＝eq\f(1,7)，kAC＝eq\f(3－（－2）,3－0)＝eq\f(5,3)，所以直線AD的斜率的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).1．求直線斜率的取值范圍時(shí)，通常先結(jié)合圖形找出傾斜角的范圍，再得到斜率的范圍．2．利用斜率可解決點(diǎn)共線問題，點(diǎn)A，B，C共線?kAB＝kAC或kAB與kAC都不存在．3.eq\f(y2－y1,x2－x1)的幾何意義是直線的斜率，用之可通過幾何方法解決函數(shù)的值域問題．直線的斜率和傾斜角反映了直線的傾斜程度，二者緊密相連，如下表：直線情況平行于x軸垂直于x軸α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范圍0k＞0不存在k＜0k的增減情況k隨α的增大而增大k隨α的增大而增大1．對(duì)于下列命題：①若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°；②若k是直線的斜率，則k∈R；③任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4C[由傾斜角和斜率概念可知①②③正確．]2．若經(jīng)過A(2，1)，B(1，m)的直線l的傾斜角為銳角，則m的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)A[由題意知kAB＞0，即eq\f(m－1,1－2)＞0，解得m＜1，故應(yīng)選A.]3．已知直線AB與直線AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，則實(shí)數(shù)a的值是________．eq\f(1±\r(5),2)[依題意：kAB＝kAC，即