高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019選擇性必修三）專題7.3離散型隨機(jī)變量及其分布列（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專題7.3離散型隨機(jī)變量及其分布列（重難點(diǎn)題型精講）1．隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量(1)隨機(jī)變量

①定義：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn)，都有唯一的實(shí)數(shù)X()與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.

②表示：通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值.

③隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系

聯(lián)系：隨機(jī)變量與函數(shù)都是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，樣本點(diǎn)相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，樣本空間相當(dāng)于函數(shù)的定義域.

區(qū)別：樣本空間不一定是數(shù)集，隨機(jī)變量的取值X()隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化，而函數(shù)是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的一一對(duì)應(yīng).

(2)離散型隨機(jī)變量

可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.2．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)定義

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為，，，，我們稱X取每一個(gè)值的概率P(X=)=，i=1，2，，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.(2)分布列的表格表示分布列也可以用等式形式表示為P(X=)=，i=1，2，，n，還可以用圖形表示.

(3)離散型隨機(jī)變量分布列具有的兩個(gè)性質(zhì)

①0，i=1，2，，n；

②+++=1.3．兩點(diǎn)分布(1)兩點(diǎn)分布的定義

對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，表示“失敗”，定義X=

如果P(A)=p，則P()=1p，那么X的分布列如下表所示.我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0—1分布.(2)兩點(diǎn)分布理解

兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能值，且其概率之和為1.可設(shè)任意一個(gè)為0，另一個(gè)相應(yīng)為1.

【題型1離散型隨機(jī)變量】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義來(lái)判斷所給的隨機(jī)變量是不是離散型隨機(jī)變量.【例1】（2022春·北京·高二期末）下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（

）①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)X1②一個(gè)沿直線y=2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離X2③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)X3④某電子元件的壽命X4A．①② B．③④ C．①③ D．②④【變式11】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二期中）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)ξ；②一個(gè)沿直線y＝2x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置η；③某指揮臺(tái)5分鐘內(nèi)接到的雷達(dá)次數(shù)X；④某同學(xué)離開哈爾濱市第三中學(xué)的距離Y；其中是離散型隨機(jī)變量的為（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【變式12】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）①某座大橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)為X；②某通信公司官方客服一天內(nèi)接聽的總次數(shù)為X；③一天之內(nèi)的溫度為X；④一射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射擊中的得分.上述問(wèn)題中的X是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式13】（2022春·山東·高二階段練習(xí)）下列X是離散型隨機(jī)變量的是（

）①某座大橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)X；②在一段時(shí)間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)放出的α粒子數(shù)η；③一天之內(nèi)的溫度X；④一射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分.A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④【題型2離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例2】（2022春·山西呂梁·高二期中）設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X?101P11?2qq則q等于（

）A．1 B．12 C．1?22【變式21】（2022春·黑龍江哈爾濱·高二期末）隨機(jī)變量ξ的分布列如表：則a+b=（

）ξ123Pab1A．14 B．12 C．13【變式22】（2022春·西藏林芝·高二期末）已知隨機(jī)變量X的分布列如表：（其中a為常數(shù)）X123456P0.10.1a0.30.20.1則P1≤X≤3等于（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 【變式23】（2022春·河北唐山·高二期末）若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則a的值為（

）X123P0.2a3aA．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【題型3求離散型隨機(jī)變量的分布列】【方法點(diǎn)撥】第一步，確定隨機(jī)變量X的可能取值；第二步，求出相應(yīng)的概率P(X=)=；第三步，寫分布列.【例3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設(shè)兩人命中總次數(shù)為X，則X的分布列為（

）A．X012P0.080.140.78B．X012P0.060.240.70C．X012P0.060.560.38D．X012P0.060.380.56【變式31】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列表中，可以作為某離散型隨機(jī)變量的分布列的是（其中0<p<1）（

）A．X123Ppp?12?2pB．X123PpppC．X123Ppp?1?2p+D．X123Pp11?p?【變式32】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列表格中，不是某個(gè)隨機(jī)變量的分布列的是（

）A．X012P0.70.150.15B．X－2024P0.50.20.30C．X123P－112D．X123Plg1lg2lg5【變式33】（2022春·高二課時(shí)練習(xí)）一袋中裝5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為()A． B．C． D．【題型4兩點(diǎn)分布】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于兩點(diǎn)分布的分布列問(wèn)題，根據(jù)兩點(diǎn)分布的定義及對(duì)兩點(diǎn)分布的理解，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且P(X=1)=p,4?5P(X=0)=p，則p=（

）A．23 B．12 C．13【變式41】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且P(X=0)=3?4P(X=1)=a，則a=（

）A．23 B．12 C．13【變式42】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若PX=1?PX=0=0.2，則成功概率A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【變式43】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)XB．某射手射擊一次，擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分，射手的得分XC．從裝有5個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋子中取1個(gè)球，定義：{X=1}=“取出白球”，{X=0}=“取出紅球”D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)X【題型5兩個(gè)相關(guān)的隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】已知隨機(jī)變量X的分布列，求隨機(jī)變量Y=f(X)的分布列，其關(guān)鍵是弄清X取每一個(gè)值時(shí)相對(duì)應(yīng)的Y的值，若f(X)的取值出現(xiàn)重復(fù)，則需要把它們的相應(yīng)概率相加，所求即為Y的取值概率.【例5】（2022春·河北唐山·高二期末）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機(jī)變量Y=X2，則P(Y=2)等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【變式51】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知X，Y均為離散型隨機(jī)變量.且X＝2Y，若X的所有可能取值為0，2，4，則Y的所有可能取值為.【變式52】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列PX=k=k15，k=1,2,3,4,5.令Y=2X?2，則P【變式53】（2022·高二單元測(cè)試）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X12345P0.10.20.40.20.1若Y=2X?3，則P(Y=5)的值為.【題型6離散型隨機(jī)變量的分布列及其綜合應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】離散型隨機(jī)變量的分布列是計(jì)數(shù)原理、排列組合、概率與其他知識(shí)的綜合.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：(1)理清隨機(jī)變量的可能取值；(2)理清隨機(jī)變量取某些值時(shí)對(duì)應(yīng)的事件是什么；(3)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及排列、組合的知識(shí)求出試驗(yàn)的樣本空間與所求事件所包含的樣本點(diǎn)數(shù).【例6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多．某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩個(gè)小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．有甲、乙兩人獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)車租騎游（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為14,1(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列．【變式61】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）為了解某校學(xué)生上個(gè)月A、B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A、B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下表：支付方式支付金額（元）(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A、B兩種支付方式都使用的概率；(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列；(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？并說(shuō)明理由.【變式62】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）首屆以進(jìn)口為主題的國(guó)家級(jí)博覽會(huì)在中國(guó)拉開大幕，本次博覽會(huì)包括企業(yè)產(chǎn)品展、國(guó)家貿(mào)易投資展．其中企業(yè)產(chǎn)品展分為7個(gè)展區(qū)，每個(gè)展區(qū)統(tǒng)計(jì)了備受關(guān)注百分比，如下表：展區(qū)類型智能及高端裝備消費(fèi)電子及家電汽車服裝服飾及日用消費(fèi)品食品及農(nóng)產(chǎn)品醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健服務(wù)貿(mào)易展區(qū)的企業(yè)數(shù)（家）40060706501670300450備受關(guān)注百分比25％20％10％23％18％8％24％備受關(guān)注百分比指：一個(gè)展區(qū)中受到所有相關(guān)人士關(guān)注（簡(jiǎn)稱備受關(guān)注）的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的企業(yè)數(shù)的比值．(1)從企業(yè)產(chǎn)品展7個(gè)展區(qū)的企業(yè)中隨機(jī)選取1家，求這家企業(yè)是選自“智能及高端裝備”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率；(2)從“消費(fèi)電子及家電”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中，任選2家接受記者采訪．記X為這2家企業(yè)中來(lái)自于“消費(fèi)電子及家電”展區(qū)的企業(yè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列．【變式63】（2022秋·北京·高三階段練習(xí)）流行性感冒多由病毒引起，據(jù)調(diào)查，空氣月平均相對(duì)濕度過(guò)大或過(guò)小時(shí)，都有利于一些病毒繁殖和傳播．科學(xué)測(cè)定，當(dāng)空氣月平均相對(duì)濕度大于65%或小于40第一季度第二季度第三季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11