卡西尼卵形線在高考中應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)拓展卡西尼卵形線在高考中的應(yīng)用卡西尼卵形線是法國數(shù)學(xué)家卡西尼在研究土星的運(yùn)行軌道時提出的，但是近年來在高考試題和?？贾薪?jīng)常出現(xiàn)，考察學(xué)生通過方程來研究曲線的性質(zhì)的能力，體現(xiàn)了創(chuàng)新思維.定義：到兩個定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，是卡西尼卵形線.當(dāng)a<c時，軌跡是兩支封閉曲線，有點(diǎn)像兩個雞蛋，這也是卵形線名字的由來；當(dāng)a=c時，軌跡是伯努利雙紐線.當(dāng)時，軌跡是中部凹進(jìn)的封閉曲線；

當(dāng)時，軌跡是中部扁平的封閉曲線；

當(dāng)時，軌跡是中部凸出的封閉曲線.

證明：取為x軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.則整理得：當(dāng)時，退化為雙紐線方程。卵形線的形狀由決定。若，軌跡是一個封閉的圈若，軌跡是二個封閉的圈，若，軌跡是伯努利雙紐線。例1（2011年北京高考數(shù)學(xué)卷第14題改編）曲線C是平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離的積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。給出下列三個結(jié)論：（1）曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)（2）曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱（3）曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱（4）若點(diǎn)P在曲線C上，則的面積為大于詳解：不妨設(shè)曲線上任意點(diǎn)由曲線線C的定義可知：將代入可得即與矛盾，故選項(xiàng)A錯誤對于B，將代入曲線C的方程可得化簡可得，方程不變，故曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)B正確對于C；將代入曲線C的方程，方程不變，說明曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，故C正確對于D；當(dāng)且僅當(dāng)時取=例2（2023-2024蘇州三校聯(lián)考）小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，提出了新的疑問：平面上到兩個定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上法國天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”.在老師的鼓勵下，小明決定先從特殊情況開始研究，假設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個定點(diǎn)，滿足的動點(diǎn)P的軌跡為曲線C，從而得到以下4個結(jié)論：①曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；②動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是；③的取值范圍是；④的面積的最大值為1.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】令，則，所以，則，將、、代入上述方程后，均有，所以曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，①正確；令，則，對于，對稱軸為，所以在上遞增，要使在上有解，只需，所以，即，可得，②正確；由，由中，，所以，其中負(fù)值舍去，綜上，，又，即，所以，則，③正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，的面積，而，所以，所以的面積的最大值為1，④正確.綜上，正確結(jié)論的個數(shù)為4個.故選：D例3（2023屆廣州一模）平面上到兩個定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線。他是1675年研究土星及其軌道時提出的。已知在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)P滿足則下列結(jié)論正確的是（）A動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是；B的取值范圍是；C的面積的最大值為.D的取值范圍為詳解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則.對于A，A錯誤對于B則因此，B正確；對于C,的面積為。當(dāng)且僅當(dāng)時取=.C正確對于D，因?yàn)辄c(diǎn)在動點(diǎn)P的軌跡上，當(dāng)點(diǎn)P在此點(diǎn)上，，D錯誤，故選：BC例4（2021湖北高二月考）2022卡塔爾世界杯會徽如圖正視圖近似伯努利雙紐線把到兩個定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，是雙紐線C上的一點(diǎn)，下列說法正確的有（）.A雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)O對稱BC雙紐線C上滿足的點(diǎn)P有2個D的最大值為詳解：對于A，根據(jù)雙紐線的定義可得用替換方程中的方程不變，所以雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以A正確；對于B，根據(jù)三角形的面積法可知即，所以所以B正確對于C，若雙紐線C上的點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P在y軸上，即所以則，所以這樣的點(diǎn)P只有一個，故C錯誤對于D,因?yàn)樗杂捎嘞叶ɡ淼盟运缘淖畲笾禐?，故D正確，故答案為：ABD例5（2021貴陽高三)）Cassni卵形線是由法國天文學(xué)家卡西尼引入的，定義是：曲線C到兩個固定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，設(shè)的距離為2a，若就得到?jīng)]有自交點(diǎn)的卵形線，若就得到一個雙紐線，若就得到兩個卵形線.若動點(diǎn)P滿足，則動點(diǎn)P的軌跡方程為若是軌跡C與軸交點(diǎn)中距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，則面積的最大值為詳解：設(shè)P的