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高中數(shù)學(xué)拓展卡西尼卵形線在高考中的應(yīng)用卡西尼卵形線是法國數(shù)學(xué)家卡西尼在研究土星的運行軌道時提出的,但是近年來在高考試題和??贾薪?jīng)常出現(xiàn),考察學(xué)生通過方程來研究曲線的性質(zhì)的能力,體現(xiàn)了創(chuàng)新思維.定義:到兩個定點(焦點)的距離之積為常數(shù)的點的軌跡,是卡西尼卵形線.當(dāng)a<c時,軌跡是兩支封閉曲線,有點像兩個雞蛋,這也是卵形線名字的由來;當(dāng)a=c時,軌跡是伯努利雙紐線.當(dāng)時,軌跡是中部凹進的封閉曲線;

當(dāng)時,軌跡是中部扁平的封閉曲線;

當(dāng)時,軌跡是中部凸出的封閉曲線.

證明:取為x軸,中點為原點,建立直角坐標(biāo)系.則整理得:當(dāng)時,退化為雙紐線方程。卵形線的形狀由決定。若,軌跡是一個封閉的圈若,軌跡是二個封閉的圈,若,軌跡是伯努利雙紐線。例1(2011年北京高考數(shù)學(xué)卷第14題改編)曲線C是平面內(nèi)與兩個定點的距離的積為常數(shù)的點的軌跡。給出下列三個結(jié)論:(1)曲線C過坐標(biāo)原點(2)曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱(3)曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱(4)若點P在曲線C上,則的面積為大于詳解:不妨設(shè)曲線上任意點由曲線線C的定義可知:將代入可得即與矛盾,故選項A錯誤對于B,將代入曲線C的方程可得化簡可得,方程不變,故曲線關(guān)于原點對稱,故選項B正確對于C;將代入曲線C的方程,方程不變,說明曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱,故C正確對于D;當(dāng)且僅當(dāng)時取=例2(2023-2024蘇州三校聯(lián)考)小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后,提出了新的疑問:平面上到兩個定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡是什么呢?又具備哪些性質(zhì)呢?老師特別贊賞他的探究精神,并告訴他這正是歷史上法國天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的,這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”.在老師的鼓勵下,小明決定先從特殊情況開始研究,假設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個定點,滿足的動點P的軌跡為曲線C,從而得到以下4個結(jié)論:①曲線C既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形;②動點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是;③的取值范圍是;④的面積的最大值為1.其中正確結(jié)論的個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4【詳解】令,則,所以,則,將、、代入上述方程后,均有,所以曲線C既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,①正確;令,則,對于,對稱軸為,所以在上遞增,要使在上有解,只需,所以,即,可得,②正確;由,由中,,所以,其中負(fù)值舍去,綜上,,又,即,所以,則,③正確;由,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,的面積,而,所以,所以的面積的最大值為1,④正確.綜上,正確結(jié)論的個數(shù)為4個.故選:D例3(2023屆廣州一模)平面上到兩個定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線。他是1675年研究土星及其軌道時提出的。已知在平面直角坐標(biāo)系中,動點P滿足則下列結(jié)論正確的是()A動點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是;B的取值范圍是;C的面積的最大值為.D的取值范圍為詳解:設(shè)P點坐標(biāo)為,則.對于A,A錯誤對于B則因此,B正確;對于C,的面積為。當(dāng)且僅當(dāng)時取=.C正確對于D,因為點在動點P的軌跡上,當(dāng)點P在此點上,,D錯誤,故選:BC例4(2021湖北高二月考)2022卡塔爾世界杯會徽如圖正視圖近似伯努利雙紐線把到兩個定點(焦點)的距離之積為常數(shù)的點的軌跡,是雙紐線C上的一點,下列說法正確的有().A雙紐線C關(guān)于原點O對稱BC雙紐線C上滿足的點P有2個D的最大值為詳解:對于A,根據(jù)雙紐線的定義可得用替換方程中的方程不變,所以雙紐線C關(guān)于原點O對稱,所以A正確;對于B,根據(jù)三角形的面積法可知即,所以所以B正確對于C,若雙紐線C上的點P滿足則點P在y軸上,即所以則,所以這樣的點P只有一個,故C錯誤對于D,因為所以由余弦定理得所以所以的最大值為,故D正確,故答案為:ABD例5(2021貴陽高三))Cassni卵形線是由法國天文學(xué)家卡西尼引入的,定義是:曲線C到兩個固定點(焦點)的距離之積為常數(shù)的點的軌跡,設(shè)的距離為2a,若就得到?jīng)]有自交點的卵形線,若就得到一個雙紐線,若就得到兩個卵形線.若動點P滿足,則動點P的軌跡方程為若是軌跡C與軸交點中距離最遠(yuǎn)的點,則面積的最大值為詳解:設(shè)P的

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