2024年上海市虹口區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)高考一模數(shù)學(xué)試卷含答案

虹口區(qū)2023學(xué)年度第一學(xué)期期終學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試

高三數(shù)學(xué)試卷2023.12

考生注意：

1.本試卷共4頁，21道試卷，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.本考試分設(shè)試卷和答題紙.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上的

相應(yīng)位置，在試卷上作答一律不得分.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第L6題每題4分，第7-12題每題5分）

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1,已知集合人={0,1,2,3,4,5},3={即％-2歸1},則Ac3=.

2.函數(shù)y=lg（尤-2）+/L=的定義域?yàn)?

3.設(shè)等比數(shù)列{%}的前力項(xiàng)和為5“，若電=1，5=4,則limS“=.

2〃一＞00

4.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面積為15兀，則該圓錐的體積為.

5.在（尤丫的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為.

6.已知cosx=-±且x為第三象限的角，則tan2x=.?'

7.雙曲線/一3=1的兩條漸近線夾角的余弦值為.

8.已知函數(shù)/3=33+9）（0＞0,|夕|＜今）的部分圖像如0p

右圖所示，則/（x）=.（第8題圖）

9.已知y=/（x）是定義在（-1,1）上的函數(shù),若/（x）=3x+sinx,S.f（l-a2）+f（l-a）＜0,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

10.將甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排兩人，則甲、乙兩人安排在同一天的概

率為.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

11.設(shè)aeR,若關(guān)于尤的方程2彳國-（“-2）x+國-a+l=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為.

12.設(shè)q,%,%,4,偽，年是平面上兩兩不相等的向量，若-。2卜|〃2?-。3卜,3-。1|=2,且對(duì)

任意的i,jG{1,2,3},均有)-gW{1,百}，則|瓦_(dá)聞++2_&|+W_可=.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15-16題每題5分)

每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑.

2—i—

1

13.設(shè)i為虛數(shù)單位，若.二27,貝JZ=()

1+1"-1

(A)l-2i(2)l+2i(C)2-i(D)2+i

14.空氣質(zhì)量指數(shù)AQ/是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:

AQ/指數(shù)值0-5051?100101?150151?200201?300>300

空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

為監(jiān)測某化工廠排放廢氣對(duì)周邊空氣質(zhì)量指數(shù)的影響，某科學(xué)興趣小組在工廠附近某處

測得10月1日—20日AQI的數(shù)據(jù)并繪成折線圖如下：

(A)這20天中AQ/的中位數(shù)略大于150

(8)10月4日到10月11日，空氣質(zhì)量越來越好

(C)這20天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占25%

(Q)10月上旬AQ/的極差大于中旬AQ/的極差

15.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全(第15題圖)

相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如右上圖所示，將正方體沿同一

頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去8個(gè)三棱錐，得到8個(gè)面為正三角形、

6個(gè)面為正方形的一種半正多面體.若AB=6,則此半正多面體外接球的表面積為()

(A)4屆(B)12兀(C)述兀(D)8兀

3

16.已知曲線r的對(duì)稱中心為。，若對(duì)于r上的任意一點(diǎn)A,都存在r上兩點(diǎn)3,c,使

得。為AABC的重心，則稱曲線r為“自穩(wěn)定曲線”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：

①任意橢圓都是“自穩(wěn)定曲線”；②存在雙曲線是“自穩(wěn)定曲線”.

則()

(A)①是假命題，②是真命題(8)①是真命題，②是假命題

(C)①②都是假命題(。)①②都是真命題

三、解答題(本大題共5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要步驟.

17.(本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分)

設(shè)△ABC的內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,c,若7〃=(sinA+sin8-sinC,sinA),

〃=(c,b+c-a)>且mIIn.

(1)求角8的大小;

(2)若△ABC為銳角三角形，求y=sinA+sinC的取值范圍.

18.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

如圖，在三棱柱ABC—A31cl中，側(cè)面A41GC為正

方形，AB=AC=4；設(shè)M是CG的中點(diǎn)，滿足,

N是BC的中點(diǎn)，尸是線段A5上的一點(diǎn).

(1)證明：AM_L平面4PN；

(2)若3c=4五，4尸=1，求直線A3與平面

(第18題圖)

所成角的大小.

19.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

2022年12月底，某廠的廢水池已儲(chǔ)存廢水800噸，以后每月新產(chǎn)生的2噸廢水也存入廢

水池.該廠2023年開始對(duì)廢水處理后進(jìn)行排放，1月底排放10噸處理后的廢水，計(jì)劃以后每

月月底排放一次，每月排放處理后的廢水比上月增加2噸.

(1)若按計(jì)劃排放，該廠在哪一年的幾月份排放后，第一次將廢水池中的廢水排放完畢？

(2)該廠加強(qiáng)科研攻關(guān)，提升廢水處理技術(shù)，經(jīng)過深度凈化的廢水可以再次利用.該廠從

2023年7月開始對(duì)該月計(jì)劃排放的廢水進(jìn)行深度凈化，首次凈化廢水5噸，以后每月比上月

提高20%的凈化能力.試問：哪一年的幾月份開始，當(dāng)月排放的廢水能被全部凈化?

20.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)

己知點(diǎn)M(利4)在拋物線「：f=2py(p>o)上，點(diǎn)尸為「的焦點(diǎn)，

過點(diǎn)廠的直線/與「及圓/+(y-l)2=l依次相交于點(diǎn)如圖.

(1)求拋物線「的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)求證：|4。卜忸力為定值；

(3)過A8兩點(diǎn)分別作「的切線A，Z2,

且4與6相交于點(diǎn)尸，求與△3OP的

面積之和的最小值.

21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)

已知y=/(x)與y=g(x)都是定義在(o，+°o)上的函數(shù),若對(duì)任意為,%2e(o，+8),當(dāng)西〈尤2時(shí)，

都有g(shù)(X])w/C0)一“X2)vg(x2),則稱y=g(x)是y=/(x)的一個(gè)“控制函數(shù)”.

(1)判斷y=2%是否為函數(shù)〉=%2(%>0)的一個(gè)控制函數(shù)，并說明理由；

(2)設(shè)=的導(dǎo)數(shù)為〃⑴，Q<a<b,求證：關(guān)于％的方程以“一在

b-a

區(qū)間(a,b)上有實(shí)數(shù)解；

(3)設(shè)〃x)=_rlnx,函數(shù)y=是否存在控制函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出y=〃x)的所有

控制函數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2023年12月

一、填空題（本大題共12題，滿分54分；第1-6題每題4分;第7-12題每題5分）

1.{1,2,3}2.（2,5）3.14.12/5.5606.一半

7.28.cos（2x-^）9.[1,72）10.111.（9,+oo）12.3

二、選擇題（本大題共4題，滿分18分；第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

13.A14.C15.D16.B

三、解答題（本大題共5題，滿分78分）

17.（本題滿分14分，第1小題7分，第2小題7分）

解：（1）因?yàn)樗裕╯inA+sin6-sinC）?（b+c-a）=c-sinA,....2分

由正弦定理，可得(a+b-c)?。+c-a)=ac,即ac^a2+c2-b2....4分

于是，由余弦定理得cos丁=■1■，又5?0,?)，所以B=W.....7分

2ac2J

(2)由(1)可_知A+C告27所r以

y=sinA+sinC=sinA+sin(^^—A)=^sinA+^-cosA=A/3sin(A+^-)...H分

TV27r7171.7171.7T27r

由△ABC為銳角△，得0<A<3,且0<3--4<5，所以不<4<,,從而］<4+7<7一

所以？=5也4+5111。=否5111（74+工）的取值范圍為（巨，73....14分

6（2J

18.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)

證：(1)取AC中點(diǎn)。，連接AiD.

因A4i=AC,AD=CM,ZAiADZACM=90°,

故4AiAD^AACM....2分

從而又因/AAiZ)+/AiZM=90。,

故/CAM+ZAiDA=90。.所以AM±A1D.

由于AALLAiBi及AiBinA,￡>=A，因此

平面A/iD4分

因。，N分別為AC,8C的中點(diǎn)，故DN〃AB,從而。N〃AIi，

于是4，P,Bi，N,。在同一平面內(nèi)，故4朋_1面4/汽6分

解：（2）因?yàn)?B=AC=4,BC=4版,所以z

故AB_L4C.

因AM_LAiBi，AiBi//AB,故AM_LAB；

又因AMG4C=A,所以A8_^ACGAi,

從而A8_LA4i；因此AB,AC,A4i兩兩垂直.

以A為原點(diǎn)，以AB,AC,A4i分別為x,y,

X(第18題圖2)y

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.8分

則由條件，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為

M(0,4,2),NQ,2,0),P(1,0,4),S(4,0,4).

設(shè)平面MNP的一個(gè)法向量為n=（羽y,z）,則

"?MN=(x,y,z>(2「2,-2)=2x-2y-2z=0i/y=z，mz=i,得“=(2,1,1).......“分

n-MP=(x,y,z)■(1,—4,2)=x—4y+2z=0,1尤=2z,

因明=(4,0,4),設(shè)直線4月與平面PMN所成的角為仇則

?n=|(4,0,4).(2,l,l)|=12=叵

sin0=|cos<AB},n>|='

AB^-\n_|(4,0,4)|.|(2,1,l)|-472.V6~2

故直線AB】與平面PMN所成角的大小為工.……14分

3

19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

解：（1）設(shè)從2023年1月起第〃個(gè)月處理后的廢水排放量為a“噸，則由已知條件知：

數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為10,公差為2的等差數(shù)列，故4=2〃+8.……2分

當(dāng)之a(chǎn)“2800+2”時(shí)，即蟲2±生網(wǎng)z800+2”,……4分

i=i2

化簡得"+7〃—80020,解得〃N25,或〃<—32;由〃是正整數(shù)，則〃之25.

故該廠在2025年1月底第一次將廢水池中的廢水排放完畢.……6分

（2）設(shè)從2023年1月起第九個(gè)月深度凈化的廢水量為2噸.

由已知條件，4=,?=%=0,當(dāng)“27時(shí)，數(shù)列｛么｝是首項(xiàng)為5,公比為1.2的等

0,1<n<6,

比數(shù)列,故勿=<（"為正整數(shù)）.8分

5xl.2"-7,n>7,

顯然，當(dāng)1W〃W6時(shí)，an>bn.

當(dāng)〃之7時(shí)，由〃得2〃+8V5x1.2"".(*)……10分

設(shè)c,=2〃+8—5xl.2"-7,則孰―C“T=2—1.2"-8,所以當(dāng)7W〃W11時(shí)，數(shù)列｛c,J是嚴(yán)

格增數(shù)列，且c“〉0；當(dāng)〃之12時(shí)，數(shù)列｛c“｝是嚴(yán)格減數(shù)列.12分

由于q9aL42>0,。20合一5?50<0.所以不等式（*）的解為w220（”為正整數(shù)）.

故該廠在2024年8月開始計(jì)劃排放的廢水能被全部凈化.......14分

20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）

解：（1）易知拋物線r的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,5），準(zhǔn)線為y=-光，由拋物線的定義，得

4+|=|MF|=5,故p=2.所以，拋物線F的方程為V=4y............2

分

將M（m,4）代入F的方程，得彳=±4,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（4,4）,或（T,4）.

...........4分

（2）由（1）知尸（0,1）,又由條件知直線/的斜率

存在，設(shè)直線/的方程為丁=左％+1,并設(shè)A（3，M）,

B（x2,y2）,則

y=kx+l,

由^^x2-4fcc-4=0,

尤=4y,

2

故△=16(^+1)〉0,且石+々=4k,XjX2=-4.

......7分

由拋物線的定義，可知|4同=%+1,怛同=%+1.又因圓產(chǎn)+0—1）2=1的圓心為F（0,1）,

半徑為1，于是|AC|=|^|-1=^,\BD\=\FB\-l=y2.

所以|4。卜忸。=%%=，-］=^^=1.......10分

（3）由f=4y得＞=；,而y=fx.故過點(diǎn)A（x“!）的拋物線「的切線乙的方程為

y—￡=￡（x—%）,即xxx-2y-^-=0.①......12分

同理，過點(diǎn)的拋物線r的切線4的方程為x2x-2y-^-=0.②

由①，②可得：xp==2k,=；（尤］+/此,—%=：不/=—L

即P（2左1）.……15分

一依-2左一（一1）+1|「-

L

所以點(diǎn)尸到直線/：左無一y+1=0的距離為d=J——_=2AM2+1.

于是Ss+S^DP=^AC\-d+^\BD\-d=g（|AC|+忸必）.d

=；（%+%）-［=；［七^/=：［（玉+々）2_2平2”

="（16—+8）.2，1+/=2（2/+1）.，1+22

故當(dāng)％=0,即直線/為y=l時(shí)，S^ACP+S^BDP有最小值2.……18分

21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）

解：（1）由于對(duì)任意再,%e（0,+8）,當(dāng)為＜彳2時(shí)，都有2占W號(hào)+修42%；...2分

即有2巧＜立二且V2與，故由控制函數(shù)的定義，y=2x是函數(shù)y=/的控制函數(shù)....4分

國一x2

證：⑵關(guān)于X的方程竺”也=!在區(qū)間（a,b）上有實(shí)數(shù)解＜"紀(jì)吧＜工

b-axbb—aa

i7ib-al/，+l<0

\nb-\na<----

a-aa

oa(in〃—Ina)<b—a<Z?(lnZ?—Intz)o<7分

1i,a-b

Ina—In。<----ln---+l<0

bbb

記/(x)=ln)—%+1,則F'(A:)=—-1=-——，當(dāng)x￡(0,l)時(shí)Ff(x)>0,尸⑴在(0,1)上

嚴(yán)格增；當(dāng)%￡（1,+8）時(shí)尸⑺<0,網(wǎng)力在（1,+8）上嚴(yán)格減.

而0<4<1<2,故/4幺］〈尸（1）=0,尸（2］〈尸（1）=0,于是所要證的結(jié)論成立…….10分

ba\b）\a）

另證：關(guān)于X的方程InbTna=J.在區(qū)間向⑼上有實(shí)數(shù)解=<lnZ?"lna<1

b-axbb—aa

[a\nb-b+a-a\na<0

o々(inb-lna)vb-a<0(lnb-ln〃)7分

[bina-a+b-b\nb<0

記尸（x）=alnx-x+a-alna,則/⑺=@—1,當(dāng)句時(shí)尸（x）40,故尸⑺在［a,/?］

上嚴(yán)格減，F(xiàn)（b）<F（a）=0.

記G（x