應用隨機過程課件第04章平穩(wěn)隨機過程

CH3平穩(wěn)隨機過程

3/29/20241平穩(wěn)隨機過程各態(tài)歷經過程復隨機過程高斯隨機過程提綱3/29/20242平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程定義：一個隨機過程X(t)，如果它的n維概率密度〔或n維分布函數〕不隨時間起點選擇的不同而改變，即對任何的n和，X(t)的n維概率密度滿足嚴平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性與所選取的時間起點無關，整個過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化3/29/20243平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程性質1：假設X(t)為平穩(wěn)過程，那么它的一維概率密度與時間無關

令，有3/29/20244平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程性質1：X(t)的均值，均方值和方差也都是常數，不再是時間的函數3/29/20245平穩(wěn)隨機過程兩個平穩(wěn)過程的典型例子〔相同的均值與方差〕3/29/20246平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程性質2：平穩(wěn)過程X(t)的二維概率密度只與t1,t2的時間間隔有關，而與時間起點t1無關 令，且，那么3/29/20247平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程性質2：X(t)的自相關函數和自協方差函數都僅是時間間隔的函數

當時，3/29/20248平穩(wěn)隨機過程寬平穩(wěn)隨機過程/廣義平穩(wěn)過程〔只在相關理論范圍內考慮的平穩(wěn)隨機過程〕定義：假設隨機過程滿足X(t)和Y(t)聯合寬平穩(wěn)3/29/20249平穩(wěn)隨機過程寬平穩(wěn)隨機過程一個嚴平穩(wěn)過程只要均方值有界，就是廣義平穩(wěn)的，反之那么不一定一個廣義平穩(wěn)的高斯過程必定是嚴平穩(wěn)的本書以后的內容中，但凡提到平穩(wěn)過程時，除特別指明外，通常都指寬平穩(wěn)過程3/29/202410平穩(wěn)隨機過程例：設有兩個隨機過程 式中Y是隨機變量，試分別討論兩個隨機過程的平穩(wěn)性解：對于隨機過程 常數常數3/29/202411平穩(wěn)隨機過程為寬平穩(wěn)過程對于隨機過程的均值與時間有關，自相關函數與時間t1,t2均有關，所以不是平穩(wěn)過程3/29/202412平穩(wěn)隨機過程例：設有狀態(tài)連續(xù)，時間離散的隨機過程 式中t只能取整數值，即t=1,2,…,式中A是在(0,1)上均勻分布的隨機變量，試討論X(t)的平穩(wěn)性解：(1)可以證明X(t)是寬平穩(wěn)的3/29/202413平穩(wěn)隨機過程 所以，X(t)是寬平穩(wěn)的(2)討論X(t)是否是嚴平穩(wěn)的 令過程的狀態(tài)為3/29/202414平穩(wěn)隨機過程 這說明，過程的一維變量x與a是雙值關系，于是求得過程的一維概率密度為 可見，X(t)的一維概率密度與時間t有關，因此X(t)只是寬平穩(wěn)的，不是嚴平穩(wěn)過程3/29/202415平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)過程的自相關函數性質1.平穩(wěn)過程的均方值就是自相關函數在時的非負值2.自相關函數是偶函數 證：3/29/202416平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)過程的自相關函數性質3.自相關函數在具有最大值物理意義：同一時刻隨機過程自身的相關性最強注意：不排除時，也有可能出現同樣的最大值，如周期平穩(wěn)過程

證：任何正函數的數學期望恒為非負值，即3/29/202417平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)過程的自相關函數性質對于平穩(wěn)過程，有代入前式得所以3/29/202418平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)過程的自相關函數性質4.假設平穩(wěn)過程X(t)滿足條件X(t)=X(t+T)，那么稱它為周期平穩(wěn)過程周期平穩(wěn)過程的自相關函數必為周期函數，且它的周期與過程的周期相同證：3/29/202419平穩(wěn)隨機過程例：設隨機過程為 式中，為常數，Φ為上均勻分布的隨機變量，N(t)為一般平穩(wěn)過程，對于所有t而言，Φ與N(t)皆統(tǒng)計獨立，求得其相關函數為 結論：相關函數也含有與隨機過程X(t)的周期分量相同周期的周期分量3/29/202420平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)過程的自相關函數性質5.不包含任何周期分量的非周期平穩(wěn)過程滿足證：對于此類非周期平穩(wěn)過程，當τ增大時，隨機變量X(t)與X(t+τ)之間相關性會減弱，在的極限情況下，兩者相互獨立，故有3/29/202421平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)過程的自相關函數性質6.假設平穩(wěn)過程含有平均分量〔均值〕為，那么自相關函數將含有固定分量，即 而且，假設在滿足上一性質的條件下，那么有 證： 因此3/29/202422平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)過程的自相關函數性質對于非周期平穩(wěn)過程有當，有3/29/202423平穩(wěn)隨機過程例：平穩(wěn)過程X(t)的自相關函數為 求X(t)的均值，均方值和方差解： 式中，是X(t)的周期分量的自相關函數，此分量的均值為零，是X(t)的非周期分量的自相關函數，由性質5可得3/29/202424平穩(wěn)隨機過程

所以，有3/29/202425平穩(wěn)隨機過程例：平穩(wěn)過程X(t)的相關函數為

求X(t)的均值解：利用性質5得利用性質6得3/29/202426平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)過程的自相關函數性質7.自相關函數必須滿足 并對所有的w都成立平穩(wěn)過程的自相關函數不含有階躍函數因子，也即自相關函數曲線圖形不會出現平頂，垂直邊或在幅度上的任何不連續(xù)3/29/202427平穩(wěn)隨機過程X(t)和Y(t)聯合寬平穩(wěn)考慮兩個寬平穩(wěn)隨機過程X(t)和Y(t)，如果它們的互相關函數僅是單變量τ的函數，即 稱X(t)和Y(t)為聯合寬平穩(wěn)或寬平穩(wěn)相依3/29/202428平穩(wěn)隨機過程聯合平穩(wěn)隨機過程的互相關函數的性質1. 注：一般而言，互相關函數不是偶函數，也不是奇函數 證：3/29/202429平穩(wěn)隨機過程聯合平穩(wěn)隨機過程的互相關函數的性質2.

證：由上式成立，必須滿足判別式即得證3/29/202430平穩(wěn)隨機過程聯合平穩(wěn)隨機過程的互相關函數的性質3. 證：由性質2得 因任意正數的幾何平均值小于等于它的算術平均值，故3/29/202431各態(tài)歷經過程各態(tài)歷經過程的提出研究隨機過程的統(tǒng)計特性，需要對一個過程進行大量重復的實驗或觀察，能否以一個時間范圍內觀察到的一個樣本函數作為提取整個過程數字特征的充分依據？辛欽證明：有一種〔在具備一定的補充條件下〕平穩(wěn)隨機過程，對其任一個樣本函數所作的各種時間平均，從概率意義上趨近于此過程的各種統(tǒng)計平均，稱之為各態(tài)歷經過程3/29/202432各態(tài)歷經過程各態(tài)歷經過程的提出對各態(tài)歷經過程的理解：這類過程的各個樣本函數都同樣地經歷了整個過程的所有可能狀態(tài)，因此，從這類隨機過程的任何一個樣本函數中就能得到隨機過程的全部統(tǒng)計信息，即可以用任何一個樣本函數的時間平均來替代對過程的大量樣本的統(tǒng)計平均3/29/202433各態(tài)歷經過程例：在較長時間T內觀測一個已工作在穩(wěn)定狀態(tài)下的一個噪聲二極管的輸出電壓。對其進行采樣，對在T時間內采得的k個電壓值進行算術平均，求得其時間平均為3/29/202434各態(tài)歷經過程對一個工作在穩(wěn)定狀態(tài)下的噪聲二極管，在工作條件不變的情況下，對它進行k次獨立重復的試驗，取出它的k個條件樣本函數，并對任一時刻的狀態(tài)的所有取值進行統(tǒng)計平均當時，從概率意義上看噪聲電壓在時間上的平均值與它的統(tǒng)計平均值相等3/29/202435各態(tài)歷經過程3/29/202436各態(tài)歷經過程各態(tài)歷經過程的定義嚴各態(tài)歷經過程的定義 如果一個隨機過程X(t)，它的各種時間平均〔時間足夠長〕以概率1收斂于相應的統(tǒng)計平均，即工程上只在相關理論的范圍內考慮各態(tài)歷經過程，故引入寬各態(tài)歷經過程

3/29/202437各態(tài)歷經過程各態(tài)歷經過程的定義時間平均 1.隨機過程的時間均值 對每個樣本函數都有一個確定的時間均值，所以隨機過程的時間均值是個隨機變量3/29/202438各態(tài)歷經過程各態(tài)歷經過程的定義時間平均 2.隨機過程的時間相關 對每個樣本函數都有一個確定的時間函數，所以隨機過程的時間自相關函數是個隨機過程3/29/202439各態(tài)歷經過程各態(tài)歷經過程的定義寬各態(tài)歷經過程的定義 設X(t)是一個平穩(wěn)隨機過程 1.如果 以概率1成立，那么稱過程X(t)的均值具有各態(tài)歷經性 2.如果 以概率1成立，那么稱過程X(t)的自相關函數具有各態(tài)歷經性

3/29/202440各態(tài)歷經過程各態(tài)歷經過程的定義寬各態(tài)歷經過程的定義 3.如果過程X(t)的均值和自相關函數具有各態(tài)歷經性，那么稱X(t)為寬各態(tài)歷經過程 注：“以概率1成立”是對過程X(t)的所有樣本函數來說的3/29/202441各態(tài)歷經過程各態(tài)歷經性的實際意義對一般隨機過程，其時間平均是個隨機變量各態(tài)歷經過程各樣本函數的時間平均趨于一個非隨機確實定量對各態(tài)歷經過程可以直接用它的任一個樣本函數的時間平均來代替對整個過程統(tǒng)計平均的研究3/29/202442各態(tài)歷經過程例：討論隨機過程X(t)=Y的各態(tài)歷經性，式中Y是方差不為零的隨機變量3/29/202443各態(tài)歷經過程解：常數常數 故隨機過程X(t)為寬平穩(wěn)的 但 可見，是個隨機變量，時間均值隨Y的取值不同而變化，于是3/29/202444各態(tài)歷經過程

所以X(t)不是寬各態(tài)歷經過程 此例說明：平穩(wěn)過程不一定具有各態(tài)歷經性3/29/202445復隨機過程復隨機變量定義 其中X和Y均為實隨機變量復隨機變量Z是實隨機變量X,Y組成的二維隨機變量，Z的統(tǒng)計特性可以用X和Y的聯合概率分布完整的描述3/29/202446復隨機過程復隨機變量Z的數學期望復隨機變量Z的方差其中Dz與Dx,Dy的關系3/29/202447復隨機過程兩個復隨機變量的相關矩定義 其中 表示復共軛，即當時，3/29/202448復隨機過程兩個復隨機變量的關系假設兩個復隨機變量滿足 那么稱Z1,Z2統(tǒng)計獨立假設兩個復隨機變量滿足

或 那么稱Z1,Z2不相關3/29/202449復隨機過程兩個復隨機變量的關系假設兩個復隨機變量滿足 那么稱Z1,Z2正交3/29/202450復隨機過程復隨機過程定義 其中X(t),Y(t)均為實隨機過程復隨機過程Z(t)的統(tǒng)計特性可以由X(t),Y(t)得2n維聯合概率密度函數完整的描述，其概率密度為3/29/202451復隨機過程復隨機過程的數學期望復隨機過程的方差其中與Dx(t),Dy(t)的關系3/29/202452復隨機過程復隨機過程的自相關函數復隨機過程的自協方差函數當時，自協方差函數就是方差，即3/29/202453復隨機過程假設Z(t)是平穩(wěn)隨機過程3/29/202454復隨機過程兩個復隨機過程的互相關函數兩個復隨機過程的互協方差函數假設兩個復隨機過程聯合平穩(wěn)，那么3/29/202455復隨機過程兩個復隨機過程的關系如果對任意有 那么稱兩個復隨機過程互不相關如果對任意有 那么稱兩個復隨機過程正交3/29/202456復隨機過程例：隨機過程X(t)由N個復數信號之和構成，即 式中，為角頻率〔常數〕，為第k個信號的幅度，是隨機變量，是在上均勻分布的隨機相位，現假設對所有變量 都是統(tǒng)計獨立的，求X(t)的自相關函數3/29/202457復隨機過程解： 因為統(tǒng)計獨立，所以3/29/202458復隨機過程

由于 于是有3/29/202459高斯隨機過程高斯隨機過程的概念如果隨機過程X(t)的任意n維概率分布都是高斯分布，那么稱它為高斯隨機過程高斯隨機過程X(t)的n維概率密度函數 其中是n維矢量，是協方差矩陣3/29/202460高斯隨機過程高斯隨機過程的概念其中3/29/202461高斯隨機過程高斯隨機過程的概念高斯隨機過程的n維概率分布完全由均值矢量和協方差矩陣確定，且有關時間的因素，全部包含在均值矢量和協方差矩陣中3/29/202462高斯隨機過程高斯隨機過程的性質1.高斯過程嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)是等價的 分析：寬平穩(wěn)高斯隨機過程的所有均值及方差為常數，而協方差函數僅與時間差有關，因此寬平穩(wěn)高斯隨機過程的n維概率密度可表示成時間差的函數 當所有點沿時間軸移動一個時間常量，由于時間差