電路教案8教材

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第八章二階電路●二階電路：由一個(gè)二階微分方程或兩個(gè)聯(lián)立的一階微分方程描述的電路。●

電路中含有兩個(gè)儲(chǔ)能元件（一個(gè)L和一個(gè)C；或兩個(gè)獨(dú)立的L或兩個(gè)獨(dú)立的C）。所謂獨(dú)立，就是兩個(gè)L不能串聯(lián)或并聯(lián)，或在電路中與電流源構(gòu)成回路；兩個(gè)C不能串聯(lián)或并聯(lián)，或在電路中與電壓源構(gòu)成回路。否則，仍屬一階電路?！穸A電路的分析問(wèn)題是求解二階微分方程或一階聯(lián)立微分方程的問(wèn)題。與一階電路不同的是，這類電路的響應(yīng)可能出現(xiàn)振蕩的形式。為了突出這一重要特點(diǎn)，本章首先從物理概念上闡明LC電路的零輸入響應(yīng)具有正弦振蕩的形式，然后通過(guò)RLC串聯(lián)電路說(shuō)明二階電路的一般分析方法以及固有頻率（特征根）與固有響應(yīng)形式的關(guān)系。2基本要求：

理解二階電路固有頻率、振蕩和非振蕩的概念，重點(diǎn)掌握RLC串聯(lián)電路微分方程的建立及相應(yīng)初始條件、特征方程及其根，并根據(jù)特征根判定電路的狀態(tài)及零輸入響應(yīng)的形式，掌握直流RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng)及GCL并聯(lián)電路的分析。3設(shè)uC(0)=U0iL(0)=0,wL(0)=0CL+–U0(a)CLi(b)CL+–U0(c)CLi(d)CL+–U0(e)C放電,uC↓WC↓,WL↑L吸收能量L釋放能量WL↓,WC↑C反向充電C反向放電WC↓,WL↑L吸收能量L釋放能量WL↓,WC↑C重新充電

由此可見(jiàn)，在由電容和電感兩種不同的儲(chǔ)能元件構(gòu)成的電路中，隨著儲(chǔ)能在電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的往返轉(zhuǎn)移，電路中的電流和電壓將不斷地改變大小和方向（極性），形成周而復(fù)始的振蕩。WCWL注：1）若R=0，則為無(wú)阻尼等幅振蕩；2）若R≠0，則為阻尼衰減（減幅）振蕩；3）若R很大，則不產(chǎn)生振蕩?！?—1LC電路中的正弦振蕩4

例：圖示為L(zhǎng)C振蕩回路，設(shè)uC(0)=1V，iL(0)=0。CL+–uC1F1HiL則由元件的VAR可得：此即為二階電路的兩個(gè)聯(lián)立的一階微分方程

此式表明：電流的存在要求有電壓的變化；電壓的存在要求有電流的變化。故電壓、電流都必須處于不斷的變化狀態(tài)之中。結(jié)合初始條件uC(0)=1V，

iL(0)=0，不難猜想：uC(t)=costViL(t)=sintA

既滿足方程又滿足初始條件。因此，LC回路中的等幅振蕩是按正弦方式隨時(shí)間變化的。

能量特性：∴W(t)=W(0)(t≥0)5

設(shè)含L和C的二階電路如圖(a)所示，運(yùn)用戴維南定理后可得圖(b)所示RLC串聯(lián)電路。含源電阻網(wǎng)絡(luò)iLC(a)iLC(b)++++––––uOCuRuLuCR由圖(b)：根據(jù)KVL：要求出微分方程uC(t)的解答，必須有uC(0)和u'C(0)兩個(gè)初始條件。uC(0)——電容電壓初始值t=0t=0§8—2RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)——過(guò)阻尼情況6此處只研究圖示電路的零輸入響應(yīng)——即uOC(t)=0特征方程：特征方程的根：

S由電路本身參數(shù)R、L、C值確定，與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。故也稱之為固有頻率。根據(jù)R、L、C值的不同，固有頻率可能出現(xiàn)如下三種情況：

1）當(dāng)時(shí)，S1、S2

為不相等的負(fù)實(shí)根——過(guò)阻尼非振蕩；

2）當(dāng)時(shí)，S1、S2

為相等的負(fù)實(shí)根——臨界阻尼非振蕩；

3）當(dāng)時(shí)，S1、S2

為一對(duì)負(fù)實(shí)部共軛復(fù)根——欠阻尼振蕩。注：本節(jié)只討論第一種情況。即7

對(duì)應(yīng)齊次微分方程的解答形式為：

式中：待定系數(shù)（積分常數(shù)）K1、K2由uC(0)和u'C(0)確定。即∴●當(dāng)，即時(shí)的過(guò)阻尼非振蕩情況此時(shí)即衰減慢衰減快8不難看出，uC(t)和iL(t)都是由隨時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)項(xiàng)表示的，表明電路的響應(yīng)是非振蕩性的。例：設(shè)uC(0)=U0，iL(0)=i(0)=0相當(dāng)于圖示電路，換路前處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)換路.

1、uC(t)、i(t)、uL(t)及uR(t)

的變化特性t=012++++––––U0RLCuR(t)uL(t)uC(t)●i(t)由以上分析知（t≥0）：uC(0)0uC(t)tuC(t)①uC(t)由兩個(gè)單調(diào)下降的指數(shù)函數(shù)構(gòu)成，C一直處于放電狀態(tài)（非振蕩）。9②

i(t)始終為負(fù)（實(shí)際方向與參考方向相反）。tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)–uC(0)0tuC、i、uL、uRt=0,i=0；t→∞,i→0；t=tm：i=–imax

。③uR(t)和i(t)變化類似。④

uL(t)的變化情況：1）t=0時(shí)，uL(0)=–uC(0)；2）0<t<tm

：uL

為負(fù)并減??；3）t=tm：uL

=0（與i=–imax

發(fā)生在同一時(shí)刻）4）tm<t<2tm：uL

為正并增大；5）t=2tm：uL

=uLmax

；6）t>2tm：uL

→0。

▲關(guān)于tm的確定（tm即為uL

=0和i=–imax

的時(shí)間）由t=tm：即10

證明：為什么t=2tm時(shí)，uL(t)=uLmax

？證：由令則即（證畢）tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)–uC(0)0tuC、i、uL、uR11

2、過(guò)阻尼非振蕩放電過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系1）0＜t＜tm：i恒為“–”，uC“+”，pC

“–”，C放電；uL

“–”，pL

“+”，L吸收能量；uR

“–”，pR

“+”，R吸收能量。uL+++–––uRuCRLCWCWLWR↗↘2）t＞tm：i恒為“–”，uC“+”，pC

“–”，C

繼續(xù)放電；uL

“+”，pL

“–”，L釋放能量；uR

“–”，pR

“+”，R吸收能量。+++–––uRuCRLCuLWCWLWR↗↘tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)–uC(0)0tuC、i、uL、uR12當(dāng)即時(shí)的臨界阻尼非振蕩情況此時(shí)，固有頻率S為一對(duì)相等的負(fù)實(shí)數(shù)，即S1=S2=–=－α從高數(shù)知：這時(shí)齊次微分方程的解答形式為：式中，待定系數(shù)（積分常數(shù)）K1、K2

仍由uC(0)和u'C(0)來(lái)確定。由上式得：于是可得：§8—3

RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)——臨界阻尼情況13t≥0：

由上式可看出：各量的變化與前述過(guò)阻尼情況相似，屬于非振蕩性質(zhì)。

在臨界電阻條件下，電路的放電電壓和電流仍為非振蕩性質(zhì)，故稱之為臨界阻尼非振蕩放電過(guò)程。

當(dāng)uC(0)=U0，iL(0)=i(0)=0時(shí)，得

若R稍小于，則變?yōu)檎袷幮再|(zhì)。故R=時(shí)的電阻，稱為臨界電阻。14

如果，即

時(shí)，電路的固有頻率S為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)。即S1、2=

式中：為正實(shí)數(shù)，稱為衰減系數(shù)（決定振幅衰減快慢）。

阻尼（衰減）振蕩角頻率：

固有振蕩（諧振）角頻率：三者關(guān)系：ω0、ωd、α構(gòu)成一直角三角形ωdαω0θ§8—4RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)——欠阻尼情況15

由高數(shù)知：此時(shí)齊次微分方程的解答形式為

式中，積分常數(shù)K1、K2由初始條件uC(0)和u'C(0)來(lái)確定。若給定uC(0)和iL(0)，則可求出K1、K2，進(jìn)而求出uC(t)。

為了便于反映響應(yīng)的特點(diǎn)，上式還可進(jìn)一步寫作uC(t)式中：θk1k2k(ωd)(ω0)(α)把K1、K2之值代入上式可得：uC(0)=K116其中：

由上兩式表明，uC(t)、iL(t)都是一個(gè)振幅逐漸減小的衰減振蕩。t0t0等幅振蕩

★綜上所述，電路的零輸入響應(yīng)的性質(zhì)取決于電路的固有頻率S（亦即取決于電路中的參數(shù)R、L、C之值）。顯而易見(jiàn)，電路參數(shù)的變化，可以引起過(guò)渡過(guò)程性質(zhì)的變化。

當(dāng)R=0時(shí)，此時(shí)17iLC++++––––uOC=USuRuLuCR

即RLC串聯(lián)電路在非零初始條件下，外加直流（US）激勵(lì)時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)。

電路如圖示，此時(shí)以u(píng)C(t)

為變量的微分方程為：

非齊次方程的特解：uCp(t)=US

對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解，視固有頻率（特征方程的根）的不同，仍有三種不同的形式，從而得出uC(t)有三種不同的情況。特征方程的根：S1、2

1、過(guò)阻尼非振蕩情況：此時(shí)S1、S2為兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)§8—5直流RLC串聯(lián)電路的完全響應(yīng)18

2、臨界阻尼非振蕩情況：此時(shí)S1、S2為兩相等的負(fù)實(shí)數(shù)即S1=S2=–=－α

3、欠阻尼振蕩情況：此時(shí)S1、S2為一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)即S1、2=∴uC(t)19

然后根據(jù)初始狀態(tài)uC(0)和i(0)得出的初始條件uC(0)和u'C(0)，便可確定積分常數(shù)K1、K2，從而求出uC(t)，進(jìn)而求出i(t)、uL(t)及uR(t)。以S1、S2

為兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)為例，計(jì)算K1和K2。此時(shí)uC(t)由解得：20

例：零狀態(tài)電路如圖示，已知R=4Ω，L=1H，C=1/3F，uS(t)=16V（t≥0

）。（1）求t≥0時(shí)uC(t)和i(t)；（2）若R=2Ω，求i(t)。uC(t)i(t)LC++––uS(t)R

解：依題意：uC(0)=0,iL(0)=i(0)=0t≥0：（1）代入?yún)?shù)得：特解：uCp(t)=16v特征方程：即解得：S1=–1，S2=–3通解：uCh(t)∴uC(t)由uC(0)=k1+k2+16=0u'C(0)=－k1－3k2=i(0)/c=0K1+k2=－16－k1－3k2=0即解得：k1=－24,k2=821∴uC(t)i(t)(t≥0)(t≥0)

（2）若R=2Ω則解得：S1、2=由22

設(shè)含L和C的二階電路如圖(a)所示，運(yùn)用諾頓定理可得圖(b)所示GCL

并聯(lián)電路。含源電阻網(wǎng)絡(luò)LC(a)●●iG(t)iL(t)iC(t)GLC+–u(t)iSC(t)●●●●(b)由圖(b)：KCL:iC(t)+iG(t)+iL(t)=iSC(t)由于即iLC++++––––uOCuRuLuCR(c)

注：圖(b)與圖(c)所示電路具有對(duì)偶性?！?—6GCL并聯(lián)電路的分析23

特解：若iSC(t)=0，則iLp(t)=0；若iSC(t)=IS，則iLp(t)=IS

2、臨界阻尼非振蕩情況：此時(shí)S1、S2為兩個(gè)相等的負(fù) 實(shí)數(shù)

通解：視固有頻率（特征方程的根）的不同也有三種不同的解答形式。特征根：S1、2=

1、過(guò)阻尼非振蕩情況：此時(shí)S1、S2為兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù)