清單09 玩轉(zhuǎn)圓錐曲線經(jīng)典題型（12個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（解析版）

清單09玩轉(zhuǎn)圓錐曲線經(jīng)典題型（12個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識(shí)清單】1、過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過(guò)定點(diǎn)．2、過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過(guò)定點(diǎn)．3、過(guò)橢圓的短軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過(guò)定點(diǎn)．4、過(guò)橢圓內(nèi)的任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過(guò)定點(diǎn)．5、以為直角定點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)6、以上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．7、以右頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．8、以為直角定點(diǎn)的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)，9、以為直角定點(diǎn)的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)10、已知是橢圓上的定點(diǎn)，直線（不過(guò)點(diǎn)）與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則直線斜率為定值．11、已知是雙曲線上的定點(diǎn)，直線（不過(guò)點(diǎn)）與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，直線斜率為定值．12、已知是拋物線上的定點(diǎn)，直線（不過(guò)點(diǎn)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線斜率為定值．13、為橢圓上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)．（1）若，則直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若，則直線過(guò)定點(diǎn)．14、設(shè)是直角坐標(biāo)平面內(nèi)不同于原點(diǎn)的一定點(diǎn)，過(guò)作兩條直線，交橢圓于、、、，直線，的斜率分別為，，弦，的中點(diǎn)記為，．（1）若，則直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若，則直線過(guò)定點(diǎn)．15、過(guò)拋物線上任一點(diǎn)引兩條弦，，直線，斜率存在，分別記為，即，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．16、定值問(wèn)題解析幾何中定值問(wèn)題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來(lái)解決．證明過(guò)程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值----化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．17、求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過(guò)程中消去變量，從而得到定值．18、求最值問(wèn)題常用的兩種方法（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來(lái)解決，這是幾何法．（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見(jiàn)的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．19、求定值、最值等圓錐曲線綜合問(wèn)題的“三重視”（1）重視定義在解題中的作用（把定義作為解題的著眼點(diǎn)）．（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質(zhì)與方程的代數(shù)特征在解題中的作用．（3）重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用（涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)要用根與系數(shù)的關(guān)系）．20、求參數(shù)的取值范圍據(jù)已知條件及題目要求等量或不等量關(guān)系，再求參數(shù)的范圍．21、在面對(duì)有關(guān)等角、倍角、共線、垂直等幾何特征時(shí)，可設(shè)法將條件翻譯成關(guān)于斜率的關(guān)系式，然后將斜率公式代入其中，得出參數(shù)間的關(guān)系式，再根據(jù)要求做進(jìn)一步的推導(dǎo)判斷．22、通過(guò)合理的方式，將所需要的坐標(biāo)、斜率、角度、向量數(shù)量積等問(wèn)題利用參數(shù)進(jìn)行表達(dá)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)值域解決．涉及向量的數(shù)量積，多與坐標(biāo)有關(guān)，最終利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解決．23、求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．24、求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明．24、證明共線的方法：（1）斜率法：若過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過(guò)計(jì)算證明過(guò)任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等證明三點(diǎn)共線；（2）距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；（4）直線方程法：求出過(guò)其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第3點(diǎn)也在該直線上；（5）點(diǎn)到直線的距離法：求出過(guò)其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線．（6）面積法：通過(guò)計(jì)算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問(wèn)題，離不開(kāi)解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”．26、證明四點(diǎn)共圓的方法：方法一：從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，則可肯定這四點(diǎn)共圓．方法二：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對(duì)的圓周角相等證）．方法三：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其中一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角時(shí)，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角）．方法四：證明被證共圓的四點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，或證明被證四點(diǎn)連成的四邊形其中三邊中垂線有交點(diǎn)），則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為圓）．27、（1）若點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為．（2）若點(diǎn)是圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．（3）若點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為．（4）若點(diǎn)是橢圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)P向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：斜率和問(wèn)題例1．（2023·浙江·高二溫州中學(xué)校聯(lián)考期中）已知雙曲線，斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)M.(1)若，且直線l與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，求k的值；(2)已知點(diǎn)，直線l與雙曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，直線的斜率分別為，若為定值，求實(shí)數(shù)m的值.【解析】（1）由題設(shè)，設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線，得，所以，當(dāng)，即時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，交點(diǎn)為；當(dāng)，交點(diǎn)為；當(dāng)，此時(shí)，則，當(dāng)，切點(diǎn)為；當(dāng)，切點(diǎn)為；綜上，或.（2）由題設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，得，則，故，所以①，設(shè)，則，，由又，，為定值，所以，此時(shí)為定值.例2．（2023·廣東廣州·高二廣州市育才中學(xué)校考期中）已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得直線和關(guān)于軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）橢圓的焦距為，故，過(guò)點(diǎn)，，且，聯(lián)立解得：所以橢圓的方程為：.（2）橢圓右焦點(diǎn)為，故過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線為：，和橢圓聯(lián)立得：，，設(shè)，則，設(shè)存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，直線和關(guān)于軸對(duì)稱，故，即化簡(jiǎn)得：，即則.故存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得直線和關(guān)于軸對(duì)稱.例3．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的右焦點(diǎn)，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【解析】（1）由題意得，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由題意得直線AB的斜率存在且不為0.設(shè)直線方程為，，.聯(lián)立，消去得，所以.，又，.考點(diǎn)2：斜率積問(wèn)題例4．（2023·廣東深圳·高二深圳市高級(jí)中學(xué)校考期中）已知圓M：，點(diǎn)，S是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，若線段SN的垂直平分線與SM交于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程C；(2)對(duì)于曲線C上一動(dòng)點(diǎn)P，且P不在x軸上，設(shè)△PMN內(nèi)切圓圓心為E，證明：直線EM與EN的斜率之積為定值.【解析】（1）圓M：的圓心，半徑.設(shè)SN中點(diǎn)為K，則KQ為線段SN的垂直平分線，則，所以，所以點(diǎn)Q的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即，則，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為：；（2）證明：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，圓E的半徑為.，同理，所以，又，所以.對(duì)于，，又，所以，所以，，即直線EM與EN的斜率之積為定值.例5．（2023·四川成都·高二成都實(shí)外校考階段練習(xí)）已知，，動(dòng)圓與圓外切且與圓內(nèi)切．圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，使得點(diǎn)Q為中點(diǎn)時(shí)，直線的斜率與直線OQ的斜率乘積為定值？如果存在，求出這個(gè)定值，如果不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）依題意可得圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為7，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由動(dòng)圓與圓外切且與圓內(nèi)切，則，且，則由橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，4為半長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，所以，，，故曲線C的方程的方程為．（2）依題意可得過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在，則設(shè)直線為，聯(lián)立，消整理得，當(dāng)點(diǎn)Q為中點(diǎn)時(shí)，有，解得，又，所以(定值)，故直線的斜率與直線OQ的斜率乘積為定值．例6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線與的斜率均存在，分別記為，若，試問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸為雙曲線的實(shí)軸，所以，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，，得，所以橢圓方程為；（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由，得，

，所以，，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，化?jiǎn)得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則直線過(guò)定點(diǎn)（舍去），當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線為（），由，得，所以，所以，解得（舍去），或，所以直線也過(guò)定點(diǎn)，綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn).考點(diǎn)3：夾角問(wèn)題例7．（2023·天津北辰·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，是否存在常數(shù)，使恒成立，并說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意知，又因?yàn)榻獾茫詸E圓方程為．．（2）存在常數(shù)，使恒成立．證明如下：由得，且．設(shè)，，則

，

．又因?yàn)椋?，?/p>

所以.又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，所．所以存在常數(shù)，使恒成立.例8．（2023·上海浦東新·高二華師大二附中?？计谥校┤鐖D，D為圓O：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)W，使得，點(diǎn)W的軌跡記為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別交曲線C于M，N兩點(diǎn)，且，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)；(3)若曲線C交y軸正半軸于點(diǎn)S，直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)骄浚簓軸上是否存在點(diǎn)R，使得？若存在，求出點(diǎn)R坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)，，則，由題意知，所以，得(，所以，因?yàn)椋?，故曲線C的方程為．（2）由題意可知，直線不平行坐標(biāo)軸，則可設(shè)的方程為：，此時(shí)直線的方程為．由，消去得：，解得：或(舍去)，所以，所以，同理可得：．當(dāng)時(shí)，直線的斜率存在，，則直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線方程為：，也過(guò)定點(diǎn)，綜上所述：直線過(guò)定點(diǎn)．（3）假設(shè)存在點(diǎn)R使得，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G、H，易知G、H關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，易知點(diǎn)，直線方程是，令得點(diǎn)P橫坐標(biāo)，直線方程是，令得點(diǎn)Q橫坐標(biāo)，由，得，又在橢圓上，所以，所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得成立．例9．（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求的方程．(2)若，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于0，，，且．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）依題意可得則，故的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，則，且，．設(shè)直線，的傾斜角分別為，因?yàn)?，且，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于0，所以，所以則，則即，所以所以，化簡(jiǎn)可得則直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)考點(diǎn)4：數(shù)量積問(wèn)題例10．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的直線l與雙曲線的一支交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）由漸近線方程為，所以，右頂點(diǎn)為，所以，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）如下圖所示：根據(jù)題意易知，直線斜率存在，并設(shè)直線l的方程為，設(shè)，則聯(lián)立直線和雙曲線消去可得．因?yàn)橹本€與雙曲線一支交于兩點(diǎn)，所以，解得，因此．因?yàn)?，所以，所以，所以，故．?1．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中一條漸近線為.(1)求雙曲線的方程；(2)一條過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且縱截距為的直線，交雙曲線于，兩點(diǎn)，求的值.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以①，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以②，①②聯(lián)立解得，，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）可知雙曲線中，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即直線的橫截距為，又因?yàn)橹本€的縱截距為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，所以.例12．（2023·海南·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右、上頂點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求的方程；(2)過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意解得故的方程為.（2）由（1）知：.當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，點(diǎn)為橢圓的左、右頂點(diǎn)，不妨取，此時(shí)，則.當(dāng)直線的斜率不為0或與軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為，代入橢圓并消去得，設(shè)，則.而，所以.因?yàn)?，所以，所?綜上，的取值范圍為.考點(diǎn)5：垂直問(wèn)題例13．（2023·浙江·高二溫州中學(xué)校聯(lián)考期中）平面上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到直線的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M.是否存在這樣的直線l，使得，若存在，求實(shí)數(shù)m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，故，所以曲線C的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，得，且，則，故，所以，所以，又，即，不滿足，所以不存在滿足要求的直線l.例14．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)M，N在C上，且，證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)橢圓C的方程為，由題意得解得∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)點(diǎn)，∵，∴整理可得①，當(dāng)直線MN的斜率k存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立得，由得，則．∴，，代入①式化簡(jiǎn)可得，即，∴或，則直線方程為或，∴直線過(guò)定點(diǎn)或，又和A點(diǎn)重合，故舍去．當(dāng)直線MN的斜率k不存在時(shí)，則，，此時(shí)，即，又，解得或2（舍去），此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)．綜上所述，直線MN過(guò)定點(diǎn)．例15．（2023·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)校考期中）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)和點(diǎn)，求證：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得.所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.（2）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為.由，得.設(shè)，則.直線的方程為，令，得，同理.由拋物線的對(duì)稱性可得若以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在軸上.設(shè)，則，所以.令，即，得或.綜上，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)和.考點(diǎn)6：定點(diǎn)問(wèn)題例16．（2023·浙江臺(tái)州·高二校聯(lián)考期中）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切.(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡的方程.(2)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且為定值，證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，設(shè)C到直線的距離為d，則，∴點(diǎn)C的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)拋物線方程為：，由，得，∴點(diǎn)C的軌跡方程為：.（2）設(shè)，，，∵，顯然直線AB斜率存在，∴設(shè)直線AB的方程為：，消x得：，設(shè)OA的斜率為，OB的斜率為，∵則，，∴，∴，∴，∴，∴直線AB的方程為：，即，恒過(guò)定點(diǎn)例17．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才學(xué)校階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、是拋物線上異于的兩點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過(guò)軸上一定點(diǎn)．【解析】（1）根據(jù)題意，，則，故拋物線方程為：.（2）顯然直線的斜率不為零，且不過(guò)原點(diǎn)，故設(shè)其方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，時(shí)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，，由題可知，，即，解得，此時(shí)滿足，故直線恒過(guò)軸上的定點(diǎn).例18．（2023·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為為上任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與直線相切.(1)求的值；(2)若點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使恒成立，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，顯然是拋物線Ω的準(zhǔn)線，則，解得.（2）根據(jù)（1）中所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為，假設(shè)存在符合題意，則，設(shè)直線l方程為：，由可得，設(shè)，則，故，即，又，故，故，所以，綜上所述：在x軸上存在定點(diǎn)，使恒成立.例19．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點(diǎn)分別為M，N，證明直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0直線，分別為，，聯(lián)立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設(shè)，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡(jiǎn)整理得因此直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．考點(diǎn)7：定值問(wèn)題例20．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：（，），離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上的任意一點(diǎn)（除短軸的端點(diǎn)外）與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，的連線分別與軸交于，兩點(diǎn)，求證為定值．【解析】（1）由題設(shè)，，可得，故橢圓方程為.（2）由題意，若，，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，∴直線的方程為；直線的方程為，令，得，．∴為定值，得證．例21．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓E：（）的焦點(diǎn)為，，且點(diǎn)在E上．（1）求E的方程；（2）已知過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線l交E于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N，若為定值，試求m的值．【解析】（1）由題意可知，∴，而，∴，∴橢圓E的方程為．（2）①若直線l的斜率不存在，易得，②若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，，，則，聯(lián)立得，且，，要使上式為常數(shù)，必須且只需，即，此時(shí)易知恒成立，且，符合題意．綜上所述，．例22．（2023·河北秦皇島·高二秦皇島一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)在軸上，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若點(diǎn)是橢圓上異于的點(diǎn)，判斷直線與直線的斜率之積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓方程為：，，，.橢圓的方程：（2）設(shè)，則，，，.例23．（2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)），過(guò)原點(diǎn)O作直線PB的垂線，垂足為H，直線OH與直線AP相交于點(diǎn)M，證明：點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（2）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)锳，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，所以，則，因?yàn)橹本€OH垂直直線PB，所以，則，又，則，解得，因?yàn)?，則，解得，所以直線OH與直線AP的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值．考點(diǎn)8：向量與共線問(wèn)題例24．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？家荒＃E圓的離心率為，過(guò)橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)樵摍E圓的離心率為，所以有，在方程中，令，解得，因?yàn)檫^(guò)橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1，所以有，由可得：，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，由題意可知直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，與縱軸也有兩個(gè)交點(diǎn)不符合題意；當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)為，所以直線的方程設(shè)為，于是有，因?yàn)樵撝本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以一定有，化簡(jiǎn)，得，設(shè)，于是有，因?yàn)?，所以，代入中，得，于是有，化?jiǎn)，得，代入中，得.例25．（2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)中點(diǎn)為，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，求證為定值；(3)在（2）的條件下，設(shè)，且，求直線在軸上的截距的變化范圍．【解析】（1）設(shè)，由題意知：，化簡(jiǎn)得：得軌跡方程為；（2）法1：設(shè)的方程為：，設(shè)，聯(lián)立曲線方程得：，恒成立則①，②，所以，則中點(diǎn)為，所以；法2：設(shè)的方程為：，設(shè)，則，相減整理得：，又，因?yàn)?；?）由得，代入①②得：③，④，③式平方除以④式得：，而根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，，則，又在軸上的截距為，．例26．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為P，Q，直線PA與直線交于點(diǎn)F，試證明B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線.【解析】（1）依題意有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在，易知，，或，，當(dāng)，時(shí)，直線PA的方程為：，所以點(diǎn)，此時(shí)，，，顯然B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線，同理，時(shí)，B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線；（ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，顯然斜率，設(shè)直線的方程：，設(shè)，，由整理可得：，，，由（1）可得左右頂點(diǎn)分別為，，直線PA的方程為，又因?yàn)橹本€與交于F，所以，所以，，因?yàn)?，又，所以，所以，所以B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線；考點(diǎn)9：設(shè)點(diǎn)設(shè)線問(wèn)題例27．（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，設(shè)直線分別交軸、軸于C、D兩點(diǎn)，且與橢圓交于M、N兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)若，求值，并求出弦長(zhǎng)|MN|；(3)若線段MN的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意可得：，①因?yàn)樵跈E圓上，所以，②又因?yàn)棰郏散佗冖劢獾?，．所以橢圓的方程為．（2）直線與軸交點(diǎn)，軸交點(diǎn)，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，所以④，，因?yàn)?，，由得，⑤，由④⑤得，解得，又因?yàn)?，所以．所以，．所以．?）線段MN的垂直平分線斜率為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，．所以線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則中垂線的方程為．令，所以．因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立，則，又因?yàn)?，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為．例28．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)的直線和曲線交于不同兩點(diǎn)、滿足，求線段的長(zhǎng)．【解析】（1）因?yàn)槊鎯?nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，則，整理可得，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.（2）若直線與軸重合，則、為橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，若點(diǎn)、，則，，此時(shí)，不合乎題意，若點(diǎn)、，同理可得，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，因?yàn)椋?，所以，，即，由韋達(dá)定理可得，所以，，，解得，因此，.例29．（2023·江蘇連云港·高二?？计谥校╇p曲線：，已知是雙曲線上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，直線，的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線的焦距為，直線過(guò)點(diǎn)且與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【解析】（1）因?yàn)槭请p曲線E上一點(diǎn)，可得，即為，由題意可得，，可得，即有.（2）由題意可得，，則雙曲線的方程為，易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得，設(shè)，則，，①又，可得，②由①②可得，，代入①可得，解得，則直線l的方程為.考點(diǎn)10：四點(diǎn)共圓問(wèn)題例30．（2023·吉林通化·高二梅河口市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線與點(diǎn).(1)求過(guò)點(diǎn)的弦，使得的中點(diǎn)為；(2)在（1）的前提下，如果線段的垂直平分線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，證明：、、、四點(diǎn)共圓.【解析】（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，，設(shè)存在過(guò)點(diǎn)的弦，使得的中點(diǎn)為，設(shè)，，，，兩式相減得，即，得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，存在這樣的弦，方程為；（2）設(shè)直線方程為，則點(diǎn)在直線上，則，所以直線的方程為，設(shè)，，的中點(diǎn)為，，，兩式相減得，則，則，又因?yàn)樵谥本€上有，解得，，解得，，整理得，則，則，由距離公式得，所以、、、四點(diǎn)共圓.例31．（2023·河北唐山·唐山一中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，不過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與曲線交于,D兩點(diǎn)，證明：，，，四點(diǎn)共圓.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是，所以，整理化簡(jiǎn)得.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)直線的方程為，，，由方程組得，①方程①的判別式為，由，即，解得.由①得，.所以點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程為，由方程組得，.所以.又.所以.所以，，，四點(diǎn)共圓.例32．（2023·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，不與x軸平行的直線l過(guò)C的右焦點(diǎn)F且與C交于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，.(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線，分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，求證：A，P，F(xiàn)，Q四點(diǎn)共圓.【解析】（1）由題意，解得，所以雙曲線C的方程為；（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由，得，,整理得，設(shè)，，所以，，所以，直線，所以，同理可得，記直線交x軸于點(diǎn)G，所以，又，所以，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，則，，所以，所以A，P，F(xiàn)，Q四點(diǎn)共圓.考點(diǎn)11：極點(diǎn)極線問(wèn)題例33．（2021?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）已知，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，已知，是橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．若弦過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求直線的方程．【解答】解：（1）點(diǎn)在橢圓上，，又直線與直線的斜率之積為，，解得，，橢圓的方程為：．（2）設(shè)，，，，，聯(lián)立，得，，，直線的直線方程為，的直線方程為，聯(lián)立，解得，同理，，直線的方程為．例34．（2021?常熟市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與軸交點(diǎn)除外），直線交橢圓于另一點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)直線過(guò)橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，求的面積．【解答】解：（1）由題意，因?yàn)?，得，，．所以橢圓的方程為．（2）直線的方程為，得．所以直線的方程，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，解得，，得點(diǎn)．又點(diǎn)到直線的距離，，所以．例35．（2021?邗江區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，過(guò)且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，在軸上方．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記，的面積分別為，，若，求的值；（3）設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，求的值．【解答】解：（1）設(shè)橢圓的焦距為．依題意可得，，解得，．故．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，，．若，則，即有，①設(shè)直線的方程為，與橢圓方程，可得，可得，，②將①代入②可得，解得，則；（3）由（2）得，，所以直線的方程為，令，得，即．所以．所以．考點(diǎn)12：切線問(wèn)題例36．（2023·江西南昌·高二南昌縣蓮塘第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，記其中的一個(gè)切點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)．【解析】（1）由題，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，整理得，所以所求曲線的軌跡方程為；（2）由（1）知，圓心，半徑，點(diǎn)，則，則切線．例37．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線在第一象限的點(diǎn)，的內(nèi)切圓與x軸交于點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)Q處的切線l，若l與雙曲線C左、右兩支分別交于點(diǎn)M、N，問(wèn)：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說(shuō)明理由．【解析】（1）如圖，設(shè)，與的內(nèi)切圓分別交于G，H兩點(diǎn)，則，所以，則，則雙曲線C的方程為．（2）由題意得，切線l的斜率存在．設(shè)切線l的方程為，，．因?yàn)閘與圓相切，所以，即．聯(lián)立消去y并整理得，所以，．又．又，將代入上式得．綜上所述，為定值，且．例38．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是曲線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)直線l1，l2為曲線C的兩條互相垂直切線，切點(diǎn)為A，B，交點(diǎn)為點(diǎn)M．（?。┣簏c(diǎn)M的軌跡方程；（ⅱ）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)化簡(jiǎn)得；當(dāng)時(shí)，由題意得，所以曲線的方程為：或.（2）（?。┰O(shè)，，當(dāng)時(shí)，則，則，即過(guò)的切線的斜率為，若時(shí)，則，則，即過(guò)的切線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的切線為，同理可得過(guò)點(diǎn)的切線為，根據(jù)，可得．所以聯(lián)立兩條切線方程，即，即，即，即，所以的軌跡為，（ⅱ）由題意可得的直線方程為，即，所以必過(guò)．【提升練習(xí)】1．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)校考期中）如圖，雙曲線，過(guò)原點(diǎn)O的直線與雙曲線分別交于A、C、B、D四點(diǎn)，且．

(1)若，P為雙曲線的右頂點(diǎn)，記直線、、、的斜率分別為、、、，求的值；(2)求四邊形面積的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)，的斜率都存在且不為0，令，則，所以，即，聯(lián)立與雙曲線，得，不妨令，同理，由，則、、、，所以.（2）由題設(shè)且同（1）得，聯(lián)立，則，所以，聯(lián)立，同理可得，所以四邊形面積，則，令，所以，而且，故，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于0，即趨向于正無(wú)窮，所以四邊形面積的取值范圍是.2．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知拋物線，直線交拋物線于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記拋物線上一點(diǎn)，直線斜率為，直線斜率為，求．【解析】（1）設(shè)，則有，①②得③均在直線上，，又中點(diǎn)為，則有，代入③有拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知，設(shè)，同理有，④聯(lián)立直線與拋物線，易得，則有，代入④式有.3．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OFP的面積為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，橢圓C的左頂點(diǎn)為A，求直線AM與直線AN的斜率之積．【解析】（1）因?yàn)椤鱋FP的面積為，則有，解得，又因?yàn)樵跈E圓C上，則，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，，又因?yàn)?，所以，，所以；?dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，消去y得：，則，由韋達(dá)定理得，，所以，，綜上所述，直線AM與直線AN的斜率之積為．4．（2023·遼寧鞍山·高二鞍山一中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求拋物線C方程及其準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)作斜率不為0的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線分別交于兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn).【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得，所以的方程為，準(zhǔn)線方程為.（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)點(diǎn)，則.直線的方程為，令，得，所以，同理得，設(shè)以線段為直徑的圓與軸的交點(diǎn)為，則，因?yàn)?，則，即，所以，解得或.故以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn)和.5．（2023·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的上頂點(diǎn)為P，過(guò)P的兩條直線，分別與C交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若直線，的斜率之和為，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意知解得，，，所以橢圓C的方程為；（2）顯然，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，,由得，所以，所以，所以，所以直線的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)6．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為.(1)求的方程.(2)已知點(diǎn)是上不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且滿足（表示斜率），判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)榈闹行脑谧鴺?biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)橢圓的方程為，半焦距為.由題可得，所以，所以的方程為.（2）如圖所示，由題可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，，則，所以，化簡(jiǎn)得，所以，即，將代入得，因?yàn)?，所以，所以直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn).7．（2023·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┮阎p曲線，點(diǎn)在E上．(1)求E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交E于不同的兩點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)P），求直線PA，PB的斜率之和．【解析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線方程可得，，解得，所以，E的方程為.（2）由已知易得直線的斜率一定存在，設(shè)斜率為，則的方程為.聯(lián)立直線與雙曲線的方程，整理可得，則，解得且.設(shè)，由韋達(dá)定理可得，則.8．（2023·陜西咸陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線C：的右頂點(diǎn)為，且雙曲線C的一條漸近線恰好與直線垂直.(1)求雙曲線C的方程(2)若直線：與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為雙曲線C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)D在雙曲線C上，且軸.求證：直線過(guò)點(diǎn)F.【解析】（1）由右頂點(diǎn)為，得，由雙曲線C：的一條漸近線恰好與直線垂直，得，即，∴，∴雙曲線C的方程為.（2）由（）可知，右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），由題意可知直線的斜率存在且不為0，∴，設(shè)，，則，由（）可知，雙曲線的漸近線方程為，又直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，則，即，且直線過(guò)定點(diǎn)作出圖像如上，聯(lián)立消去得，則，得，，，則，又，∴，，∴，∴，又，有公共點(diǎn)F，∴B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，∴直線過(guò)點(diǎn)F9．（2023·福建莆田·高二莆田第四中學(xué)?？计谥校┘褐獧E圓離心率，設(shè)點(diǎn)M和N分別是橢圓上不同的兩動(dòng)點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線MN過(guò)點(diǎn)，且，線段MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的斜率的取值．【解析】（1）因?yàn)椋蕶E圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，由，得；設(shè)，則，則，因?yàn)?，所以，即，設(shè)直線OP的斜率為，因?yàn)?，兩式相減得，即，則，故直線OP的斜率的取值范圍為.10．（2023·陜西漢中·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線橢圓交于、兩點(diǎn)，且，求的值.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，解得，∴橢圓的方程為.（2）聯(lián)立，消去得.由，解得.設(shè)，，則，，∴，，易知，，∵，∴，∴，即，∴，解得或（舍）.∴.11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，若記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且．求證直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，點(diǎn)與點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離相等，由拋物線定義知：點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，即曲線的方程為：.（2）設(shè)，，，由得：，則，即；，，，；，，即；當(dāng)時(shí)，，恒過(guò)定點(diǎn).12．（2023·云南保山·高二統(tǒng)考期末）已知為拋物線：的焦點(diǎn)，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)且．（1）求拋物線的方程；（2）若直線：與拋物線交于，兩點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，且向量，，證明：為定值．【解析】（1）設(shè)，，聯(lián)立方程，得，則，從而，解得，故的方程為．（2）證明：設(shè)，，且點(diǎn)，聯(lián)立方程，得，則，同理得，因?yàn)橄蛄?，，所以，兩式相加得，即，由于，所以．所以為定值?3．（2023·四川南充·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn).求證：為定值.【解析】（1）由題意，可得，即，∴拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線有，消去x得，則，∴，，又，.∴.∴為定值.14．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線，．焦距為，浙近線方程為．（1）求雙曲線C的方程．（2）已知M，N是雙曲線C上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是C上異于M，N的任意一點(diǎn)直線PM、PN分別交x軸于點(diǎn)了T、S，試問(wèn)：是否為定值．若不是定值，說(shuō)明理由，若是定值，請(qǐng)求出定值（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）【解析】（1）又因?yàn)闈u近線方程為，，，，.（2）是定值，定值為2設(shè)直線的方程為，，則，將直線方程代入得，因?yàn)闈u近線方程為，與漸近線不平行，.設(shè)點(diǎn)，，則，由韋達(dá)定理可得，，由N，S，P三點(diǎn)共線得，故，，即為定值且定值為2.15．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且，e是橢圓的離心率，點(diǎn)（e，）在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且P與A，B不重合，直線l垂直于x軸，l與直線AP，BP分別交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線AN，BM的斜率分別為k1，k2，證明：k1k2為定值.【解析】（1）由題意易知：，解得：橢圓方程為：（2）由（1）知，設(shè)直線，且設(shè)，由三點(diǎn)共線，有，即；同理可得，即.所以.而，所以為定值.16．（2023·內(nèi)蒙古通遼·?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線：，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是線段與軸的交點(diǎn)，，．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線與曲線交于，兩點(diǎn)，是否為定值，若是求出該定值，若不是說(shuō)明【解析】（1）是線段與軸的交點(diǎn)，直線和軸平行，則是線段的中點(diǎn)，如圖：又，于是是線段的中垂線，即得，而，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是開(kāi)口向右的拋物線，是焦點(diǎn)，是準(zhǔn)線，依題意動(dòng)點(diǎn)不能與重合，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)，，，，由得，則，，則有，所以為定值．17．（2023·四川·校聯(lián)考二模）已知點(diǎn)，直線，為軸右側(cè)或軸上動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離比線段的長(zhǎng)度大1，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求曲線的方程；（2）已知直線交曲線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），，為曲線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求證：直線的斜率為定值.【解析】（1）依題意，線段的長(zhǎng)度等于到的距離，由拋物線定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以的方程為；（2）將代入得，則，，如圖：設(shè)拋物線E上動(dòng)點(diǎn)，顯然直線AC，AD斜率存在，，同理，因?yàn)?，則，，直線的斜率，即直線的斜率為定值-1.18．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．（1）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，證明：直線AB的斜率為定值．【解析】（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則由點(diǎn)P(1，2)在拋物線上，得22＝2p×1，解得p＝2，故所求拋物線的方程是y2＝4x，準(zhǔn)線方程是x＝－1．（2）證明：因?yàn)镻A與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，所以kPA＝－kPB，即＝－．又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，所以x1＝，x2＝，從而有，即，得y1＋y2＝－4，故直線AB的斜率kAB＝．19．（2023·福建三明·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過(guò)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）求證：為定值，并求出該定值.【解析】（1）設(shè)過(guò)的直線為，，聯(lián)立得，，得，因?yàn)闉閽佄锞€的焦點(diǎn)，所以，，即，所以，因此，直線的方程為：或；法二：當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線與軸垂直時(shí)，與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，又，所以，不合題意舍去：當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立得，所以，得，因此，直線的方程為：或.（2），所以定值為1.20．（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：的離心率，點(diǎn)，為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為3．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于不同兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)P，若，且點(diǎn)Q滿足，求的最小值．【解析】（1）由題意，，解得，，所以橢圓的方程為．（2）由（1）得，若直線的斜率為0，則為與直線無(wú)交點(diǎn)，不滿足條件．設(shè)直線：，若，則則不滿足，所以．設(shè)，，，由得：，，．因?yàn)?，即，則，，所以，解得，則，即，直線：，聯(lián)立，解得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立∴的最小值為5．21．（2023·安徽亳州·高二安徽省渦陽(yáng)第一中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的焦距為2，離心率.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，求的方程.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，焦距為2，得，，離心率，，解得，，C的方程為.（2）設(shè)，，顯然直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線的方程為.由，得，，，，，即，，解得，故，解得，直線的方程為，即直線的方程為或.22．（2023·安徽阜陽(yáng)·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┮阎p曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.當(dāng)l經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.(1)求C的方程；(2)設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過(guò)M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由已知C：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，得，焦點(diǎn)，，.所以，，故C：.（2）設(shè)l的方程為，則，故，由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，故.與雙曲線方程聯(lián)立得：，由已知得，，設(shè)，，則，①由，得：，，消去得：，即②由①②得：，由已知，故存在定直線l：滿足條件.23．（2023·浙江杭州·高二杭州高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎p曲線C：的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若F是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，且，求直線l的斜率．【解析】（1）因?yàn)殡p曲線C：的漸近線方程為，所以，又因?yàn)殡p曲線C：過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線的方程為；（2）由（1）知：，則，由題意設(shè)直線方程為，令，得，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，解得，因?yàn)辄c(diǎn)Q在雙曲線上，所以，解得，所以直線l的斜率為.24．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為，且點(diǎn)在C上．(1)求C的方程；(2)設(shè)C的上焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且，求l的斜率．【解析】（1）由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知，其漸近線方程為，所以，可得，將代入可得，解得；所以雙曲線C的方程為.（2）由（1）可知，上焦點(diǎn)，設(shè)直線l的斜率為，，則直線l的方程為，聯(lián)立整理得；所以又，即，可得，所以，即，解得；所