第五章 三角函數(shù)章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

第五章三角函數(shù)章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值經(jīng)典題型二：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)經(jīng)典題型三：三角恒等變換經(jīng)典題型四：伸縮變換經(jīng)典題型五：三角函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題經(jīng)典題型六：三角函數(shù)的綜合問(wèn)題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值例1．已知，則的值為（

）A． B．1 C． D．例2．已知，則（

）A． B． C． D．例3．已知，則（

）A． B． C． D．例4．若，則（

）A． B． C． D．例5．如圖，點(diǎn)A為單位圓上一點(diǎn)，，已知點(diǎn)A沿單位圓按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到點(diǎn)，則的值為（

）

A． B． C． D．例6．等于（

）A． B． C． D．例7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角和角的頂點(diǎn)均與原點(diǎn)O重合，始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，若，則（

）A． B． C． D．例8．的值為（

）A． B． C． D．例9．（

）A． B． C． D．例10．若=，則等于（

）A． B． C． D．例11．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．例12．磚雕是我國(guó)古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣.如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形OCD截去同心扇形OAB所得圖形，已知，，，則該扇環(huán)形磚雕的面積為（

）.

A． B． C． D．例13．已知，，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例14．已知，則（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型二：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)例15．已知函數(shù)，若，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為（

）A． B． C． D．1例16．若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例17．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．例18．函數(shù)的部分圖像如圖所示，，且，則（

）

A．1 B． C． D．例19．已知函數(shù)，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．例20．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，則（

）A．， B．，C．， D．，例21．函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．例22．已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．例23．若關(guān)于的函數(shù)的最大值為，最小值為，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例24．（多選題）已知函數(shù)，則說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)例25．（多選題）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的的圖象如圖示，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．B．C．對(duì)，都有D．對(duì)，都有例26．（多選題）函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與函數(shù)的圖象重合，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為；B．的圖象關(guān)于對(duì)稱；C．是的一個(gè)零點(diǎn)；D．在單調(diào)遞減；例27．（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在上單調(diào)遞增 D．在內(nèi)僅有1個(gè)解例28．（多選題）若函數(shù)是偶函數(shù)，則的值不可能為（

）A． B． C． D．例29．（多選題）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的值可以是（

）A． B． C． D．例30．（多選題）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（

）A．0 B．C． D．經(jīng)典題型三：三角恒等變換例31．已知，則.例32．已知角A，B是△ABC的內(nèi)角，且，，則．例33．已知，均為銳角，且，，的值為.例34．化簡(jiǎn)：．例35．設(shè)，且，則．例36．已知α，β都是銳角，，，則.例37．已知，，則.例38．已知?，則?．例39．已知，，且，則．例40．.例41．已知，，，且，則的值為.例42．若，且，則.例43．已知，，，，則.經(jīng)典題型四：伸縮變換例44．將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（）.A． B．C． D．例45．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)（）．A．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，橫坐標(biāo)不變例46．已知曲線C1：，C2：，則錯(cuò)誤的是（

）A．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線B．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C．把向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線D．把向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線例47．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將它的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到了一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則的最小值為（

）A． B． C． D．例48．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則（

）

A． B． C． D．例49．要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度例50．為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的（

）A．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度例51．已知函數(shù)的最小正周期為，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．例52．函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，將該函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（

）

A． B． C． D．例53．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．例54．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點(diǎn)（

）A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度經(jīng)典題型五：三角函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題例55．如圖1，筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖2，將筒車簡(jiǎn)化為圓，以為原點(diǎn)，以與水平平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)時(shí)，盛水筒位于，以為始邊，以為終邊的角為，動(dòng)點(diǎn)每秒鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)，則盛水筒的高度與時(shí)間的關(guān)系是.

例56．水車（如圖1）是一種圓形灌溉工具，它是古代中國(guó)勞動(dòng)人民充分利用水力發(fā)展出來(lái)的一種運(yùn)轉(zhuǎn)機(jī)械.根據(jù)文獻(xiàn)記載，水車大約出現(xiàn)于東漢時(shí)期.水車作為中國(guó)農(nóng)耕文化的重要組成部分，體現(xiàn)了中華民族的創(chuàng)造力，為水利研究史提供了見(jiàn)證.圖2是一個(gè)水車的示意圖，它的半徑為2m，其中心（即圓心）O距水面1m.如果水車每60s逆時(shí)針轉(zhuǎn)1圈，在水車輪邊緣上取一點(diǎn)P，我們知道在水車勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，P點(diǎn)距水面的高度h（單位：m）是一個(gè)變量，它是關(guān)于時(shí)間t（單位：s）的函數(shù).為了方便，不妨從P點(diǎn)位于水車與水面交點(diǎn)Q時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，則我們可以建立函數(shù)關(guān)系式（其中，，）來(lái)反映h隨t變化的周期規(guī)律.

則.例57．筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如圖，將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形（圓），筒車半徑為，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車每分鐘沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)3圈.規(guī)定：盛水筒對(duì)應(yīng)的點(diǎn)從水中浮現(xiàn)（即時(shí)的位置）時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，且以水輪的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的水平直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)盛水筒從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（單位：），且此時(shí)點(diǎn)距離水面的高度為（單位：）（在水面下則為負(fù)數(shù)），則與時(shí)間之間的關(guān)系為.①；②點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間為；③在轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)，點(diǎn)在水中的時(shí)間是；④若在上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.例58．水車在古代是進(jìn)行灌溉的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖，一個(gè)半徑為米的水車逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，水輪圓心O距離水面米.已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，如果當(dāng)水輪上一點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn))開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)秒后，水車旋轉(zhuǎn)到點(diǎn).給出下列結(jié)論：

①在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)的高度在水面米以上的持續(xù)時(shí)間為秒；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)距水面的最大距離為米；③當(dāng)秒時(shí)，；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.例59．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號(hào)為號(hào)的個(gè)座艙.開(kāi)啟后摩天輪按照逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要.若甲、乙兩人分別坐在號(hào)和號(hào)座艙里且t=0時(shí)，1號(hào)座艙位于距離地面最近的位置，當(dāng)時(shí)，兩人距離地面的高度差（單位：）取最大值時(shí)，時(shí)間的值是.

例60．如圖，在扇形中，半徑，圓心角，矩形內(nèi)接于扇形OPQ，其中點(diǎn)B，C都在弧PQ上，則矩形ABCD的面積的最大值為.

例61．如圖點(diǎn)為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為，周期為，且物體向左運(yùn)動(dòng)到平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，則物體對(duì)平衡位置的位移和時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為．

例62．如圖，一根絕對(duì)剛性且長(zhǎng)度不變?質(zhì)量可忽略不計(jì)的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動(dòng)，沙漏擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為.

例63．一半徑為3.6米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面1.8米．已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水面浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)位置）開(kāi)始計(jì)時(shí)，則P點(diǎn)離開(kāi)水面的高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式為．

經(jīng)典題型六：三角函數(shù)的綜合問(wèn)題例64．已知在區(qū)間上最大值為6.(1)求單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，關(guān)于不等式有解，求實(shí)數(shù)取值范圍.例65．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求的最大值和最小值.例66．已知函數(shù).(1)請(qǐng)用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，后畫圖）(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)零點(diǎn)情況.例67．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值2，的圖象上與該最大值點(diǎn)相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)．(1)求的解析式；(2)將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的值域．例68．設(shè)函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(3)已知函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)，求相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離．例69．設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；例70．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.例71．已知函數(shù)的最大值為，與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為.將的圖象先向右平移個(gè)單位，保持縱坐標(biāo)不變，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù).(1)求的解析式.(2)若，且方程在上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例72．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，關(guān)于x的方程有三個(gè)不等的實(shí)根，求a的取值范圍．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類討論思想例73．已知a為常數(shù)，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則常數(shù)a的值形成的集合是．（

）A． B． C． D．例74．設(shè)函數(shù)，則的最小正周期（

）A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)C．與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān) D．與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)例75．已知，若存在正整數(shù)n，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有2023個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a所有可能的值為（

）A．1 B． C．0 D．1或例76．已知函數(shù)，滿足，且對(duì)于任意的都有，若在上單調(diào)，則的最大值為（

）A．5 B．7 C．9 D．11例77．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．例78．若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是

（

）A． B．C． D．例79．若，，則終邊所在象限為（

）A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限②轉(zhuǎn)化與化歸思想例80．函數(shù)的最小值為（

）A．