中考數學解題技巧 37 幾何模型正方形的存在性問題

正方形的存在性問題一、方法突破作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質，因此坐標系中的正方形存在性問題變化更加多樣，從判定的角度來說，可以有如下：（1）有一個角為直角的菱形；（2）有一組鄰邊相等的矩形；（3）對角線互相垂直平分且相等的四邊形．依據題目給定的已知條件選擇恰當的判定方法，即可確定所求的點坐標．從未知量的角度來說，正方形可以有4個“未知量”，因其點坐標滿足4個等量關系，考慮對角線性質，互相平分（2個）垂直（1個）且相等（1個）．比如在平面中若已知兩個定點，可以在平面中確定另外兩個點使得它們構成正方形，而如果要求在某條線上確定點，則可能會出現不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個數，可能無解．從動點角度來說，關于正方形存在性問題可分為：（1）2個定點+2個全動點；（2）1個定點+2個半動點+1個全動點;甚至可以有：（3）4個半動點．不管是哪一種類型，要明確的是一點，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點坐標！常用處理方法：思路1：從判定出發(fā)若已知菱形，則加有一個角為直角或對角線相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或對角線互相垂直；若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．思路2：構造三垂直全等若條件并未給關于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構成正方形的4個頂點中任取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點．總結：構造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點的情形，若題目給了4個動點，則考慮從矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關系．正方形的存在性問題在中考中出現得并不多，正方形多以小題壓軸為主．例：在平面直角坐標系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是正方形．如圖，一共6個這樣的點C使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形．至于具體求點坐標，以為例，構造△AMB≌△，即可求得坐標．至于像、這兩個點的坐標，不難發(fā)現，是或的中點，是或的中點．題無定法，具體問題還需具體分析，如上僅僅是大致思路．二、典例精析例一：兩動點：構造等腰直角定第3點如圖，拋物線與軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在過A、B兩點的拋物線，其頂點P關于x軸的對稱點為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）已知A（-1，0）、B（3，0），故構造以AB為斜邊的等腰直角△APB，如下：若四邊形APBQ是正方形，易得P點坐標為（1，2）或（1，-2），當P點坐標為（1，2）時，易得拋物線解析式為；當P點坐標為（1，-2）時，易得拋物線解析式為．綜上所述，拋物線解析式為或．【小結】看到兩個定點，不管題目如何描述第3個點的位置，均可通過構造等腰直角三角形確定第3個點，再求得第4個點．

例二：兩定兩動：拋物線+拋物線如圖，在平面直角坐標系中，將一個正方形ABCD放在第一象限斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2）、點B（1，0），拋物線經過點C．（1）求點C的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在點P與點Q（點C、D除外）使四邊形ABPQ為正方形？若存在求出點P、Q兩點坐標，若不存在說明理由．【分析】（1）C（3，1）；（2）拋物線：；（3）考慮A、B、P構成等腰直角三角形且∠B為直角，故可作出點P如下：構造三垂直全等：△AMB≌△BNP，即可求得P點坐標為（-1，-1），將點P代入拋物線解析式，成立，即點P在拋物線上．根據點P構造點Q，通過點的平移易得點Q坐標為（-2，1），代入拋物線解析式，成立，即點Q也在拋物線上，故存在，點P坐標為（-1，-1），點Q坐標為（-2，1）．【小結】本題數據設計得巧妙，由A、B確定的點P恰好在拋物線上，由A、B、P確定的點D恰好也在拋物線上，故存在這樣的一組P、Q，當然若適當調整數據，則答案完全可以變成不存在．三、中考真題對決1.（2017·雅安）如圖，已知拋物線的圖象經過點A（1，0），B（-3，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸相交于點E，連接BD．（1）求拋物線的解析式．（2）若點P在直線BD上，當PE=PC時，求點P的坐標．（3）在（2）的條件下，作PF⊥x軸于F，點M為x軸上一動點，點N為直線PF上一動點，G為拋物線上一動點，當以點F、N、G、M四點為頂點的四邊形為正方形時，求點M的坐標．【分析】（1）拋物線：；（2）求CE的直線解析式或設P點坐標表示PE=PC，可得P點坐標為．（3）考慮FN⊥FM，故四邊形為MFNG，若要成為正方形，則GN∥FM，GM⊥x軸，即四邊形MFNG為矩形．設FN長度為m，則NG=FN=m，故G點橫坐標為m-2，代入解析式得：，故，解得：，（舍），，（舍）．則M點坐標為或．【小結】根據題目描述可知四邊形是矩形，考慮四邊形的邊均與坐標軸平行或垂直，故構造一組鄰邊相等求得點坐標．2.（2017·棗莊）如圖，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；（2）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標平面內，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標．【分析】（1）拋物線：；（2）考慮MN∥x軸且MN為對角線，故MN與PQ互相垂直平分且相等，根據垂直可知：PQ⊥x軸；根據平分可知：；根據相等可知：設MN與PQ交于H點，則MN=2PH．設M點坐標為，則N點坐標為，，，由MN=2PH，可得，解得：或．當或時，，此時Q點坐標為；當或時，，此時Q點坐標為．綜上所述，Q點坐標為或．【小結】考慮到本題對角線是與坐標軸平行或垂直，故構造對角線垂直平分且相等，3.（2018·南充刪減）如圖，拋物線頂點P（1，4），與y軸交于點C（0，3），與軸交于點A，B．（1）求拋物線的解析式．（2）若M、N為拋物線上兩個動點，分別過點M、N作直線BC的垂線段，垂足分別為D、E．是否存在點M、N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）由題意可得：MN∥BC，四邊形MNED是矩形，若要變?yōu)檎叫?，可考慮①對角線互相垂直；②有一組鄰邊相等．思路1：考慮對角線連接ME，則△MDN為等腰直角三角形，∠MED=45°，即ME⊥x軸，設M點坐標為，則E點坐標為，①當M點在E點上方時，可推得N點坐標為，將點N坐標代入拋物線：，得：，化簡得：，解得：，（舍）此時ME=2，正方形邊長為；②當M點在E點下方時，同理可解：m=6．此時ME=18，正方形邊長為．綜上，正方形邊長為或．思路2：考慮鄰邊相等考慮M、N兩點均未知，但MN∥BC，故可設直線MN解析式為y=-x+b，聯立方程：，化簡為：，MN=∵MN=MD，∴解得：，代入得邊長為或．【小結】其實只要能將計算進行下去，在已知矩形的前提下，無論選邊還是選對角線，都能解決問題．4．（2021?撫順）直線與軸相交于點，與軸相交于點，拋物線經過點，，與軸的另一個交點為．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點是第一象限內拋物線上的一個動點，過點作軸交于點，于點，軸于點．當時，求點的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，直線與相交于點，點在拋物線上，過作軸，交直線于點．是平面內一點，當以點，，，為頂點的四邊形是正方形時，請直接寫出點的坐標．解：（1）令，則，，令，則，，拋物線經過點，，，，拋物線解析式為；（2）設，軸交于點，，，，，，，連接，延長交軸于點，四邊形是平行四邊形，，，為等腰直角三角形，，，，點橫坐標為，，，，解得或（舍，；（3）令，則，解得