1第六章平面向量及其應(yīng)用（知識(shí)歸納題型突破）（原卷版）

第六章平面向量及其應(yīng)用（知識(shí)歸納+題型突破）1．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．2．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．5．靈活應(yīng)用正余弦定理解三角形,會(huì)運(yùn)用正（余）弦定理，解決三角形中的邊，角問(wèn)題．6．能靈活運(yùn)用正余弦定理解決生活中的三角形問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)01：向量的加法（1）向量加法的定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量，我們規(guī)定.（2）向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱(chēng)為向量加法的三角形法則.（3）向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線(xiàn)）已知兩個(gè)不共線(xiàn)向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對(duì)角線(xiàn))就是向量與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.知識(shí)點(diǎn)02：向量的減法（1）相反向量與向量長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，記作.①零向量的相反向量仍是零向量②任意向量與其相反向量的和是零向量，即:③若,互為相反向量,則，，.（2）向量減法定義向量加上的相反向量，叫做與的差，即.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義,可以把向量的減法轉(zhuǎn)化為向量的加法進(jìn)行運(yùn)算.（3）向量減法的幾何意義已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示如果把兩個(gè)向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.知識(shí)點(diǎn)03：向量三角不等式①已知非零向量，，則（當(dāng)與反向共線(xiàn)時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與同向共線(xiàn)時(shí)右邊等號(hào)成立）；②已知非零向量，，則（當(dāng)與同向共線(xiàn)時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與反向共線(xiàn)時(shí)右邊等號(hào)成立）；記憶方式：（“符異”反向共線(xiàn)等號(hào)成立；“符同”同向共線(xiàn)等號(hào)成立）如中，中間連接號(hào)一負(fù)一正“符異”，故反向共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立；右如：中中間鏈接號(hào)都是正號(hào)“符同”，故同向共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立；知識(shí)點(diǎn)04：向量的數(shù)乘（1）向量數(shù)乘的定義一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.知識(shí)點(diǎn)05：向量共線(xiàn)定理內(nèi)容：向量與非零向量共線(xiàn)，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.知識(shí)點(diǎn)06：平面向量數(shù)量積的概念（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積).記作：，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0（2）投影如圖,設(shè),是兩個(gè)非零向量,,,作如下變換:過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn),分別作所在直線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為,,得到,我們稱(chēng)上述變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.知識(shí)點(diǎn)07：平面向量基本定理（1）平面向量基本定理如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),,使.若,不共線(xiàn),我們把,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.知識(shí)點(diǎn)08：平面向量的坐標(biāo)表示（1）兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.坐標(biāo)表示：，則：；（2）向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).坐標(biāo)表示:,則.知識(shí)點(diǎn)09：平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示設(shè),,其中,則當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù),使得；用坐標(biāo)表示,可寫(xiě)為,即：消去得到：.這就是說(shuō),向量()共線(xiàn)的充要條件是.知識(shí)點(diǎn)10：兩個(gè)向量平行、垂直的坐標(biāo)表示已知非零向量，（1）．（2）知識(shí)點(diǎn)11：向量模的坐標(biāo)表示向量模的坐標(biāo)表示若向量，由于，所以．其含義是：向量的模等于向量坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根．知識(shí)點(diǎn)12：兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示已知非零向量，是與的夾角，則．知識(shí)點(diǎn)13：平面幾何中的向量方法①平面兩個(gè)向量的數(shù)量積：；②向量平行的判定:；③向量平行與垂直的判定:；④平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：（其中，）⑤求模：；；知識(shí)點(diǎn)141：余弦定理（1）余弦定理的描述①文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.②符號(hào)語(yǔ)言：在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別是,則：；（2）余弦定理的推論；；知識(shí)點(diǎn)15：正弦定理（1）正弦定理的描述①文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.②符號(hào)語(yǔ)言：在中，若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，則有（2）正弦定理的推廣及常用變形公式在中，若角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，及，其外接圓半徑為，則①②；；；③④⑤④，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）⑥⑤，，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）知識(shí)點(diǎn)16：解決幾何問(wèn)題的常見(jiàn)公式三角形面積的計(jì)算公式：①；②；③（其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的內(nèi)切圓半徑）；④(其中，是三角形的各邊長(zhǎng)，是三角形的外接圓半徑).題型一：平面向量基本概念【例1】（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四邊形，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形C．若，且，則四邊形為矩形D．若，且，則四邊形為梯形【例2】（2023下·北京·高一北京市第九中學(xué)校考期中）給出下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若且，則 D．若，，則【例3】（2019·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）給出下列命題：①兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量；②若是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若與同向，且，則>；④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λ＝μ，則與共線(xiàn)．其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4鞏固訓(xùn)練1．（2023上·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，都是非零向量，下列四個(gè)條件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022下·四川遂寧·高一遂寧中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等D．若，則與方向相同或相反3．（2020下·四川涼山·高一四川省越西中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：（1）與相等的向量共有幾個(gè)；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；題型二：平面向量共線(xiàn)定理及推論【例1】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)，分別是，邊上的中點(diǎn)，線(xiàn)段，交于點(diǎn)D，則的值為（

）A． B． C． D．【例2】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)O是的內(nèi)心，，，則（

）A． B． C．2 D．【例3】（2023下·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，E為AC上一點(diǎn)，，P為線(xiàn)段BE上任一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．8鞏固訓(xùn)練1．（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若均為正數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2．（2023下·廣東深圳·高一翠園中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)P在邊BC上，且，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與射線(xiàn)AB，AC分別交于不同的兩點(diǎn)M，N，若，，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．3．（2022下·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市明德中學(xué)階段練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，．(1)試用向量來(lái)表示;(2)AM交DN于O點(diǎn)，求的值．題型三：平面向量基本定理【例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知分別為的邊上的中線(xiàn)，設(shè)，,則＝（

）A．＋ B．＋C． D．＋【例2】（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊和邊上，，分別為和的三等分點(diǎn)，點(diǎn)靠近點(diǎn)，點(diǎn)靠近點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【例3】（2023下·江西·高一校聯(lián)考期中）如圖，在中，為重心，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，.(1)若，求的值；(2)若，求的值.鞏固訓(xùn)練1．（2022上·海南·高三校聯(lián)考期末）已知長(zhǎng)方形中，，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上靠近的三等分點(diǎn)，線(xiàn)段，交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．2．（多選）（2020上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）在梯形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，與交于，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023下·山東·高一濱州一中校聯(lián)考期中）如圖，在梯形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AC與DE相交于點(diǎn)O，設(shè)，．(1)用，表示；(2)用，表示．題型四：平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示【例1】（2022下·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）已知，且三點(diǎn)共線(xiàn)，則（

）A． B． C． D．【例2】（2023下·云南大理·高一大理白族自治州民族中學(xué)?？计谥校┮阎獌蓚€(gè)非零向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例3】（2023上·陜西寶雞·高三校聯(lián)考階段練習(xí)），且，則.鞏固訓(xùn)練1．（2023上·湖南·高二邵陽(yáng)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，且，則.2．（2023上·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知向量，若，則；若，則.3．（2023下·安徽宿州·高一統(tǒng)考期中）平面內(nèi)給定三個(gè)向量，且.(1)求實(shí)數(shù)關(guān)于的表達(dá)式；題型五：平面向量的數(shù)量積（含定值，最值，范圍）【例1】（2023上·廣東中山·高三中山一中?？茧A段練習(xí)）正三角形中，，為上的靠近的四等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【例2】（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是半徑為2的圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦所對(duì)的圓心角為，則的最大值為（

）A．6 B．3 C． D．【例3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，已知，，，點(diǎn)在邊上，則的最小值為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·浙江湖州·高二湖州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為的正方形中，是中點(diǎn)，則；若點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是.2．（2023上·天津·高三天津市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，E、F分別為、上的點(diǎn)．，，點(diǎn)M在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足，；若點(diǎn)N為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為．3．（2023上·天津薊州·高三天津市薊州區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直角三角形△中，，，，點(diǎn)在以為圓心且與邊相切的圓上，若與圓的切點(diǎn)為，則，則的取值范圍為.題型六：向量的模（含定值，最值，范圍）【例1】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量，的夾角為，則．【例2】（2023上·上海·高二上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）單位向量，，兩兩之間的夾角都是，求.【例3】（2016上·湖南·高三階段練習(xí)）已知為單位向量，且，向量滿(mǎn)足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【例4】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知不平行的兩個(gè)向量滿(mǎn)足，．若對(duì)任意的，都有成立，則的最小值等于．【例5】（2023下·山西朔州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量滿(mǎn)足，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，則的最小值為.鞏固訓(xùn)練1．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，滿(mǎn)足，，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．42．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿(mǎn)足，，則.3．（2023上·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？计谥校┤?，與、的夾角都是60°，且，，，則.4．（2023上·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，為中點(diǎn)，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若，則的最大值為．5．（2023下·浙江紹興·高二紹興一中校考學(xué)業(yè)考試）已知向量，為單位向量，且?jiàn)A角為，若向量滿(mǎn)足，則的取值范圍是.題型七：向量的夾角（含定理，最值，范圍）【例1】（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）如圖，在中，，，，，邊上的兩條中線(xiàn)，相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【例2】（2021下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）中，若，，點(diǎn)滿(mǎn)足，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【例3】（2022上·上海寶山·高二上海交大附中校考階段練習(xí)）若平面向量，，滿(mǎn)足，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例4】（2022·上?！ば？既＃┰谥校?，點(diǎn)滿(mǎn)足,則的最大值是鞏固訓(xùn)練1．（2019上·廣東深圳·高三深圳市南頭中學(xué)校考期末）在中，、分別是邊、的中點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，則向量與的夾角為．3．（2019上·浙江杭州·高三杭州四中?？计谥校┮阎?，向量滿(mǎn)足，設(shè)與的夾角為θ，則的最小值為．4．（2023下·新疆伊犁·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，向量，，，且∥，．(1)求；(2)求向量與夾角的大小.題型八：向量的投影【例1】（2024·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【例2】（多選）（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考二模）若過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，則稱(chēng)向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上的投影向量為B．在上的投影向量為C．在上的投影向量為D．在上的投影向量為【例3】（2022上·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，已知，，，若，且，則在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2022上·湖南懷化·高二統(tǒng)考期中）已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（2022下·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？计谀┮阎庑蔚倪呴L(zhǎng)為1，設(shè)，若恒成立，則向量在方向上數(shù)量投影的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022下·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）已知，，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f（x）有最小值，則在上的投影向量為（

）A． B． C．－ D．－題型九：向量平行垂直的坐標(biāo)表示【例1】（2023下·廣東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，．(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【例2】（2023下·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知向量，．(1)若，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若，求實(shí)數(shù)t的值．【例3】（2022下·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知向量，.(1)若，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若非零向量滿(mǎn)足，求與的夾角.鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河北秦皇島·高二校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)向量，滿(mǎn)足，，．(1)求向量，的夾角及；(2)若，則實(shí)數(shù)k的值．2．（2023下·寧夏銀川·高一賀蘭縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩個(gè)非零向量與不共線(xiàn)，(1)試確定實(shí)數(shù)k，使得與共線(xiàn)；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的值．3．（2023下·陜西西安·高一高新一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)向量，互相垂直，試求的值．4．（2021下·天津西青·高一統(tǒng)考期末）已知向量，．(1)求；(2)若向量，且，求向量的坐標(biāo)；(3)若向量與相互垂直，求實(shí)數(shù)的值．題型十：兩個(gè)向量所成角為銳角或鈍角【例1】（2023上·山東·高二濟(jì)南市歷城第二中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知且與的夾角為銳角，則的取值范圍是.【例2】（2023下·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┤粝蛄?，的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【例3】（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，且與的夾角為.(1)求及；(2)若與所成的角是銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.鞏固訓(xùn)練1．（2023上·安徽蕪湖·高二蕪湖市第二中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．（2023下·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量，，向量與的夾角為銳角，則x的范圍為.3．（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知平面向量，，．(1)①若，求；②若，求；(2)若向量與的夾角為鈍角，求x的取值范圍．題型十一：利用正（余）弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)【例1】（2023下·天津河西·高一統(tǒng)考期中）根據(jù)下列情況，判斷三角形解的情況，其中正確的是（

）A．，，，有兩解B．，，，有一解C．，，，有一解D．，，，無(wú)解【例2】（2023下·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┮阎谥?，，若滿(mǎn)足條件的三角形有且只有一個(gè)，則a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【例3】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答.問(wèn)題：在中，角所對(duì)的邊分別為，且__________.(1)求角的大??；(2)已知，且角有兩解，求的范圍.【例4】（2022下·北京大興·高一統(tǒng)考期末）在中，.(1)若，求；(2)若存在且唯一確定，求的取值范圍.鞏固訓(xùn)練1．（2023下·江蘇連云港·高一?？计谥校┯上铝袟l件解，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2022上·北京·高三北京四中?？奸_(kāi)學(xué)考試）在下列關(guān)于的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角被唯一確定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④3．（2023下·江西宜春·高二校考階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)已知，且角有兩解，求的范圍.4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，．分別根據(jù)下列條件，求邊長(zhǎng)a的取值范圍．(1)有一解；(2)有兩解；(3)無(wú)解．題型十二：利用正（余）弦定理判定三角形的形狀【例1】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，已知．若，，成等比數(shù)列，則是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．不確定【例2】（2023下·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）在中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【例3】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則的形狀為.鞏固訓(xùn)練1．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）中，，，分別是角，，的對(duì)邊，且，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．銳角三角形C．直角或鈍角三角形 D．鈍角三角形2．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足，若，則的形狀為.3．（2023下·上海松江·高一上海市松江一中?？茧A段練習(xí)）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別是，滿(mǎn)足，則該三角形的形狀是．題型十三：求三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（含定值，最值，范圍）【例1】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，且，則：（1）．（2）若的中點(diǎn)為，則的取值范圍為．【例2】（2023上·安徽淮南·高三?？茧A段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別是,若是銳角三角形且角，則的取值范圍為.【例3】（2023下·遼寧錦州·高一渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角中，角所對(duì)的邊為，若，且，則的取值范圍是.【例4】（2023上·江西吉安·高三吉安一中?？计谥校┰谥?，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，若D為邊上一點(diǎn)，，．(1)求角；(2)求的取值范圍．【例5】（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在銳角中，為角所對(duì)的邊，.(1)求角；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.鞏固訓(xùn)練1．（2023下·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí)）在中，，，則銳角周長(zhǎng)的范圍是.2．（2023下·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足，，則的取值范圍是.3．（2023上·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值；(2)已知分別為中角的對(duì)邊，且滿(mǎn)足，求的周長(zhǎng)的最大值．4．（2023上·黑龍江牡丹江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若為的內(nèi)心，求的取值范圍.5．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求的取值范圍.題型十四：求三角形（四邊形）面積（含定值，最值，范圍）【例1】（2023下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高二校聯(lián)考期末）如圖為矩形與半圓的組合圖形，其中，為半圓弧上一點(diǎn)，，垂足為，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，設(shè)，則的面積的最大值為．【例2】（2023下·河北保定·高一統(tǒng)考期中）如圖，某公園內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域，點(diǎn)處有一個(gè)路燈，，，現(xiàn)過(guò)點(diǎn)建一條直路分別交正方形區(qū)域兩邊，于點(diǎn)和點(diǎn)，若對(duì)五邊形區(qū)域進(jìn)行綠化，則此綠化區(qū)域面積的最大值為．【例3】（2023上·河北秦皇島·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．(1)求角B的大小和邊長(zhǎng)b的值；(2)求面積的取值范圍．【例4】（2023上·重慶九龍坡·高三重慶市楊家坪中學(xué)校考階段練習(xí)）彩云湖畔擬建造一個(gè)四邊形的露營(yíng)基地，如圖所示.為考慮露營(yíng)客人娛樂(lè)休閑的需求，在四邊形區(qū)域中，將三角形區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊、、、修建觀賞步道，邊修建隔離防護(hù)欄，其中米，米，.(1)如果燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長(zhǎng)的屬離防護(hù)欄（用根號(hào)表示）？(2)考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形區(qū)域時(shí)，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，再使得花卉觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道？鞏固訓(xùn)練1．（2023下·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）為滿(mǎn)足群眾就近健身和休閑的需求，很多城市開(kāi)始規(guī)劃建設(shè)“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”O(jiān)PQ中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道OAB，已知扇形的半徑，圓心角，A是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，B是半徑OQ上的動(dòng)點(diǎn)，，則面積的最大值為.2．（2022上·安徽·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足．若的外接圓的面積為，則三角形面積的取值范圍是．3．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.(1)在①；②；③中選一個(gè)作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.4．（2023下·陜西咸陽(yáng)·高一校考期中）如圖所示，某公路AB一側(cè)有一塊空地△OAB，其中OA=3km，OB=km，，∠AOB=，當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在中間開(kāi)挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上(M，N不與A，B重合，M在A，N之間)，且．(1)若M在距離A點(diǎn)2km處，求點(diǎn)M，N之間的距離；(2)為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小，設(shè)∠AOM=，，試確定，當(dāng)θ為多大時(shí)△OMN的面積最小，并求出最小面積值．題型十五：利用正（余）弦定理解決實(shí)際問(wèn)題【例1】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，相距的之間是一條馬路（可近