復(fù)變函數(shù)第七講

復(fù)變函數(shù)第七講引言復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)總結(jié)與展望contents目錄01引言回顧上一講內(nèi)容柯西積分公式及其性質(zhì)詳細(xì)闡述了柯西積分公式在復(fù)變函數(shù)理論中的重要地位，以及如何利用該公式求解復(fù)變函數(shù)的積分問(wèn)題。解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示介紹了泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)兩種解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示方法，并討論了它們的收斂性和適用范圍。學(xué)習(xí)輻角原理的基本內(nèi)容，了解其在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用。目標(biāo)主題：復(fù)變函數(shù)的留數(shù)與輻角原理掌握留數(shù)的概念及計(jì)算方法，理解留數(shù)在復(fù)變函數(shù)理論中的意義。通過(guò)具體實(shí)例，加深對(duì)留數(shù)和輻角原理的理解和應(yīng)用能力。本講主題與目標(biāo)010302040502復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性設(shè)函數(shù)$f(z)$在點(diǎn)$z_0$的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$epsilon$，總存在正數(shù)$delta$，使得當(dāng)$0<|z-z_0|<delta$時(shí)，有$|f(z)-A|<epsilon$，則稱(chēng)常數(shù)$A$為函數(shù)$f(z)$當(dāng)$ztoz_0$時(shí)的極限，記作$lim_{ztoz_0}f(z)=A$。極限的定義唯一性、局部有界性、保號(hào)性、四則運(yùn)算法則等。極限的性質(zhì)極限的定義與性質(zhì)連續(xù)性的定義如果函數(shù)$f(z)$在點(diǎn)$z_0$及其鄰域內(nèi)有定義，且$lim_{ztoz_0}f(z)=f(z_0)$，則稱(chēng)函數(shù)$f(z)$在點(diǎn)$z_0$處連續(xù)。如果函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)該函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。連續(xù)性的性質(zhì)局部有界性、介值性、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性等。連續(xù)性的定義與性質(zhì)極限與連續(xù)性的關(guān)系01如果函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值。02如果函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在且等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都有極限，且極限值等于函數(shù)值。0303復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)$w=f(z)$在點(diǎn)$z_0$的某鄰域內(nèi)有定義，若極限$lim_{Deltazto0}frac{f(z_0+Deltaz)-f(z_0)}{Deltaz}$存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)$f(z)$在點(diǎn)$z_0$處的導(dǎo)數(shù)，記作$f'(z_0)$?？蓪?dǎo)必連續(xù)若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則該點(diǎn)必定連續(xù)。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)均可導(dǎo)，則其和、差、積、商在該點(diǎn)也可導(dǎo)，且滿足相應(yīng)的四則運(yùn)算法則。鏈?zhǔn)椒▌t若復(fù)合函數(shù)的內(nèi)外層函數(shù)在某點(diǎn)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在該點(diǎn)也可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)滿足鏈?zhǔn)椒▌t。01020304導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)微分的定義設(shè)函數(shù)$w=f(z)$在點(diǎn)$z_0$處可導(dǎo)，則稱(chēng)$Deltaw=f'(z_0)Deltaz+o(Deltaz)$為函數(shù)在點(diǎn)$z_0$處的微分，其中$o(Deltaz)$表示$Deltaz$的高階無(wú)窮小。微分是增量的線性部分，即$Deltaw=f'(z_0)Deltaz+o(Deltaz)$。若函數(shù)在某點(diǎn)可微，則該點(diǎn)必定可導(dǎo)。若兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)均可微，則其和、差、積、商在該點(diǎn)也可微，且滿足相應(yīng)的四則運(yùn)算法則。微分與增量的關(guān)系可微必可導(dǎo)微分的四則運(yùn)算法則微分的定義與性質(zhì)若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則該點(diǎn)必定可微，且導(dǎo)數(shù)等于微分的商，即$f'(z_0)=frac{dw}{dz}|_{z=z_0}$。導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系微分是增量的線性部分，因此當(dāng)$Deltaz$很小時(shí)，可以用微分近似代替增量，即$Deltawapproxf'(z_0)Deltaz$。微分與增量的關(guān)系在復(fù)變函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)與微分是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，如判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值、拐點(diǎn)等。同時(shí)，在復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)展開(kāi)等方面也有廣泛應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系04復(fù)變函數(shù)的積分積分定義復(fù)變函數(shù)的積分是沿給定路徑對(duì)函數(shù)進(jìn)行積分，其結(jié)果是一個(gè)復(fù)數(shù)。積分性質(zhì)復(fù)變函數(shù)的積分具有線性性、可加性和路徑無(wú)關(guān)性等基本性質(zhì)。積分的定義與性質(zhì)柯西積分公式及其應(yīng)用柯西積分公式是復(fù)變函數(shù)論中的一個(gè)重要公式，用于計(jì)算復(fù)平面上單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)的積分?？挛鞣e分公式柯西積分公式在復(fù)變函數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用，如計(jì)算復(fù)變函數(shù)的原函數(shù)、證明某些函數(shù)的解析性等。應(yīng)用VS若復(fù)變函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)滿足一定的條件，則其積分與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。條件分析復(fù)變函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)的條件包括函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)解析、單連通區(qū)域等。在滿足這些條件的情況下，可以選擇任意路徑進(jìn)行積分計(jì)算。路徑無(wú)關(guān)條件積分與路徑無(wú)關(guān)的條件05復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)是將一個(gè)復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的形式。定義f(z)=Σ[n=0,∞](f^n(a)/n!)*(z-a)^n，其中f^n(a)表示函數(shù)f在點(diǎn)a處的n階導(dǎo)數(shù)。展開(kāi)公式泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的收斂性與展開(kāi)點(diǎn)的選擇有關(guān)，一般需要在函數(shù)的解析域內(nèi)進(jìn)行。收斂性泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)定義洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)是將一個(gè)復(fù)變函數(shù)在一個(gè)圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成雙邊冪級(jí)數(shù)的形式。展開(kāi)公式f(z)=Σ[n=-∞,∞]a_n*(z-c)^n，其中a_n是洛朗系數(shù)，c是圓環(huán)域的中心。收斂性洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)的收斂性與圓環(huán)域的選擇有關(guān)，一般需要在函數(shù)的解析域內(nèi)進(jìn)行。洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)030201級(jí)數(shù)展開(kāi)的應(yīng)用舉例計(jì)算復(fù)變函數(shù)的值通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)或洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)，可以近似計(jì)算復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)或某一區(qū)域內(nèi)的值。判斷復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)通過(guò)級(jí)數(shù)展開(kāi)可以判斷復(fù)變函數(shù)的解析性、周期性等性質(zhì)。解決復(fù)變函數(shù)的方程某些復(fù)變函數(shù)的方程可以通過(guò)級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法求解。在物理學(xué)和工程學(xué)中的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)在電磁學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用，如求解電場(chǎng)、磁場(chǎng)、流場(chǎng)等問(wèn)題。06總結(jié)與展望復(fù)變函數(shù)的積分介紹了復(fù)變函數(shù)的積分概念，包括復(fù)積分的定義、性質(zhì)、計(jì)算方法以及與實(shí)積分的聯(lián)系與區(qū)別?？挛鞣e分公式與柯西積分定理深入講解了柯西積分公式與柯西積分定理，包括其證明過(guò)程、應(yīng)用舉例等。復(fù)變函數(shù)的可微性與解析性詳細(xì)探討了復(fù)變函數(shù)的可微性與解析性，包括柯西-黎曼方程、解析函數(shù)的性質(zhì)等。本講內(nèi)容總結(jié)03留數(shù)定理及其應(yīng)用將深入講解留數(shù)定理及其應(yīng)用，包括在實(shí)積分計(jì)算、輻角原理等方面的應(yīng)用舉例。01泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)將介紹復(fù)變函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)，包括其定義、性質(zhì)、收斂性判別等。02孤立奇點(diǎn)與留數(shù)將探討復(fù)變函數(shù)的孤立奇點(diǎn)以及與之相關(guān)的留數(shù)概念，包括孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)、留數(shù)的定義與計(jì)算等。下一講內(nèi)容預(yù)告建議同學(xué)們課后認(rèn)真復(fù)習(xí)本講內(nèi)容，加深對(duì)復(fù)變函數(shù)可微性、解析性、積分等概念的理解。復(fù)習(xí)鞏固提前預(yù)習(xí)下一講內(nèi)容，了解泰勒級(jí)數(shù)、洛朗級(jí)數(shù)、孤立奇點(diǎn)與