2.2.2 一元二次方程的解法-因式分解法、公式法-八年級數(shù)學(xué)下冊同步課堂（浙教版）

一元二次方程解法ONE

探索利用公式法解一元二次方程的一般步驟．TWO能夠利用公式法解一元二次方程．THREE會用因式分解法解一元二次方程.學(xué)習(xí)目標(biāo)FOUR能根據(jù)具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題的多樣性．交流合作問題1

你能用配方法解下列方程嗎？（1）（2）解：（1）移項(xiàng)，得．配方，得，．由此可得，．，．二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得．解：移項(xiàng)，得．配方，得，，．由此可得，交流合作化：把原方程化成x2+px+q=0的形式．移項(xiàng)：把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，如x2+px=-q．配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，如

x2+px+

()2=-q+

()2(x+)2=-q+

()2

問題2

用配方法解一元二次方程的步驟？求解：解一元一次方程．定解：寫出原方程的解．知識講解解：移項(xiàng)，得．配方，得，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得．．

此時(shí)可以直接開平方嗎？需要注意什么？

知識講解1、當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；2、當(dāng)Δ=0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；3、當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實(shí)數(shù)根．歸納知識講解

一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.知識講解一般地，對于一元二次方程

ax2+bx+c=0

(a≠0)，

這個(gè)式子稱為一元二次方程的求根公式．

解一個(gè)具體的一元二次方程時(shí)，把各系數(shù)直接代入求根公式，可以避免配方過程而直接得出根.

用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法．當(dāng)

b2-4ac≥0時(shí)，方程

ax2+bx+c=0(a≠0)

的根是行業(yè)PPT模板http:///hangye/典例精講例1

用公式法解下列方程：（1）x2-4x-7=0解：（1）a=1，b=-4，c=-7．b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即，．

確定a，b，c的值時(shí)，要注意符號．典例精講當(dāng)b2－4ac=0時(shí)，x1=x2，即方程的兩根相等．（2）b2－4ac=()2－4×2×1=0．解：a=2，b=，c=1．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根即．．典例精講（3）a=5，b=－4，c=－1．b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0．解：方程可化為5x2－4x－1=0．，即，．典例精講（4）x2+17=8xa=1，b=－8，c=17．b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0．∵

b2－4ac＜0，∴方程無實(shí)數(shù)根．當(dāng)b2－4ac＜

0時(shí)，x1，x2不存在，即方程無實(shí)數(shù)根．解：方程化為x2－8x+17=0．

用公式法解一元二次方程的一般步驟：（1）把一元二次方程化成一般形式，并寫出該方程的各項(xiàng)系數(shù)；（2）求出Δ的值，特別注意：當(dāng)

Δ＜0時(shí)，方程無解；（3）代入求根公式；（4）寫出方程的解．歸納總結(jié)交流合作我們已經(jīng)學(xué)過對一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法為：①提公因式法：

pa+pb+pc=p(a+b+c)②平方差公式：

a2-b2=(a+b)(a-b)③完全平方公式：

a2±2ab+b2=(a±b)2④“十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)情境思考

根據(jù)物理學(xué)規(guī)律,如果把一個(gè)物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么物體經(jīng)過xs離地面的高度(單位：m)為

10x-4.9x2

根據(jù)上述規(guī)律,物體經(jīng)過多少秒落回地面(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)?

設(shè)物體經(jīng)過x秒落回地面,即10x-4.9x2=0①小球最終回到地面，此時(shí)離地高度為0嘗試用配方法和公式法求方程的解？情境思考配方法10x

-

4.9x2

=0公式法10x

-

4.9x2

=

0

情境思考除配方法或公式法以外,能否找到更簡單的方法解方程①?10x

-

4.9x2=0①觀察方程結(jié)構(gòu)，其右邊為0,左邊可以因式分解,

整理，得x(10-4.9x)=0若ab=0，則a=0或b=0

如果兩個(gè)因式的積為0,那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；反之,如果兩個(gè)因式中任何一個(gè)為0,那么它們的積也等于0.∴x=0或10﹣4.9x=0.②這兩個(gè)根中,x2≈2.04表示物體約在2.04s落回地面,而x1=0表示物體被上拋離開地面的時(shí)刻,即在0s時(shí)物體被拋出,此刻物體的高度是0m.

知識講解解方程①時(shí)，二次方程是如何降為一次的?上述解法中，由①到②的過程，不是用開平方降次，而是先因式分解，使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.知識講解①移項(xiàng),使一元二次方程等式右邊為0;②分解，把左邊運(yùn)用因式分解法化為兩個(gè)一次因式的積;③賦值，分別令每個(gè)因式等于0,得到兩個(gè)一元一次方程;④求解，分別解這兩個(gè)一元一次方程，得到方程的解。歸納：右化零，左分解，兩因式，各求解.因式分解法解一元二次方程的一般步驟典例精講(1)x(x-2)=0例2

用因式分解法解下列方程：(2)(y+2)(y-3)=0(3)(3x+6)(2x-4)=0(4)x2=x解：x1=

0,

x2=

2解：y1=-2,

y2=

3解：3x+6=0,2x-4=0

x1=-2,

x2=

2解：

x2-x=0x(x-1)=0

x1=

0,

x2=

1典例精講例3

用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）3x（x+5）=5（x+5）

（2）(5x+1)2=1分析：該式左右兩邊可以提取公因式，所以用因式分解法解答較快.分析：方程一邊以平方形式出現(xiàn)，另一邊是常數(shù)，可直接開平方法.

典例精講（3）x2

-

12x=4;

（4）3x2=4x+1；分析：二次項(xiàng)的系數(shù)為1，可用配方法來解題較快.分析：二次項(xiàng)的系數(shù)不為1，且不能直接開平方，也不能直接因式分解，所以適合公式法.

知識講解(x+m)2＝n（n≥0）x2+px+q=0（p2-4q≥0）ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)(x+m)(x+n)=0舉一反三1．方程的根是（

）．A．x1=，x2=B．x1=6，x2=C．x1=2，x2=D．x1=x2=-

2．若(m2－n2)(m2－n2－2)－8=0，則m2－n2的值（

）．A．4B．－2C．4或－2D．－4或2DC3．一元二次方程

ax2＋bx＋c=0（a≠0）的求根公式是____

___，條件是_

_______．4．當(dāng)x=

時(shí)，代數(shù)式

x2－8x＋12

的值是

－4．5．若關(guān)于x的一元二次方程

(m－1)x2＋x＋m2＋2m－3=0

有一根為0，則

m

的值是

．

6．解方程，最簡便的方法是（

）

A．配方法

B．公式法 C．因式分解法 D．直接開平方法4b2－4ac≥0-3C①x2-3x+1=0

②3x2-1=0

③-3t2+t=0④x2-4x=2

⑤2x2-x=0

⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0

⑧2x2+4x-1=0