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山東省青島市平度朝陽(yáng)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知,則(
)A. B. C. D.參考答案:A【分析】由題意可求出的值,再由三角函數(shù)同角基本關(guān)系式解出,即可?!驹斀狻俊?,且,∴,∴或.不妨設(shè),,.由解得.∴.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和正切公式,以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用。2.設(shè),則的值為()A.0
B.
C.
D.參考答案:A略3.由點(diǎn)P(2,3)向圓x2+y2+6x+4y-3=0引切線,則切線長(zhǎng)是(
)
A.
B.34
C.4
D.32參考答案:A4.命題“對(duì)任意,都有”的否定為(
)A.對(duì)任意,使得
B.存在,使得
C.存在,都有
D.不存在,使得
參考答案:B因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題,∴命題“對(duì)任意,都有”的否定為“存在,使得”,故選B.
5.某生產(chǎn)基地有五臺(tái)機(jī)器,現(xiàn)有五項(xiàng)工作待完成,每臺(tái)機(jī)器完成每項(xiàng)工作后獲得的效益值如表所示,若每臺(tái)機(jī)器只完成一項(xiàng)工作,且完成五項(xiàng)工作后獲得的效益值總和最大,則下列敘述正確的是()
工作效益機(jī)器一二三四五甲1517141715乙2223212020丙913141210丁7911911戊1315141511A.甲只能承擔(dān)第四項(xiàng)工作 B.乙不能承擔(dān)第二項(xiàng)工作C.丙可以不承擔(dān)第三項(xiàng)工作 D.丁可以承擔(dān)第三項(xiàng)工作參考答案:B【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.【分析】由表知道,五項(xiàng)工作后獲得的效益值總和最大為17+23+14+11+15=80,但不能同時(shí)取得,再分類討論,得出乙若不承擔(dān)第二項(xiàng)工作,承擔(dān)第一項(xiàng),甲承擔(dān)第二項(xiàng)工作,則戊承擔(dān)第四項(xiàng)工作,即可得出結(jié)論.【解答】解:由表知道,五項(xiàng)工作后獲得的效益值總和最大為17+23+14+11+15=80,但不能同時(shí)取得.要使總和最大,甲可以承擔(dān)第一或四項(xiàng)工作,丙只能承擔(dān)第三項(xiàng)工作,丁則不可以承擔(dān)第三項(xiàng)工作,所以丁承擔(dān)第五項(xiàng)工作;乙若承擔(dān)第四項(xiàng)工作;戊承擔(dān)第一項(xiàng)工作,此時(shí)效益值總和為17+23+14+11+13=78;乙若不承擔(dān)第二項(xiàng)工作,承擔(dān)第一項(xiàng),甲承擔(dān)第二項(xiàng)工作,則戊承擔(dān)第四項(xiàng)工作,此時(shí)效益值總和為17+22+14+11+15=79,所以乙不承擔(dān)第二項(xiàng)工作,故選:B.6.在△ABC中,若a=2,,,則B等于
(
)A.
B.或
C.
D.或參考答案:B7.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是
(
)A.
B.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
C.
D.參考答案:A8.過(guò)點(diǎn)M(﹣2,0)的直線m與橢圓+y2=1交于P1、P2兩點(diǎn),線段P1P2的中點(diǎn)為P,設(shè)直線m的斜率為k1(k≠0),直線OP的斜率為k2,則k1k2的值為()A.2 B.﹣2 C. D.﹣參考答案:D【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用;直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.【分析】點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線m的方程,代入橢圓的方程化簡(jiǎn),利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)公式求出P的橫坐標(biāo),再代入直線m的方程求出P的縱坐標(biāo),進(jìn)而求出直線OP的斜率k2,計(jì)算k1k2的值.【解答】解:過(guò)點(diǎn)M(﹣2,0)的直線m的方程為
y﹣0=k1(x+2),代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得(2k12+1)x2+8k12x+8k12﹣2=0,∴x1+x2=,∴P的橫坐標(biāo)為,P的縱坐標(biāo)為k1(x1+2)=,即點(diǎn)P(,),直線OP的斜率k2=,∴k1k2=﹣.故選D.9.已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,若,則=(
)A.1
B.2
C.3
D.4參考答案:B10.有一段“三段論”,推理是這樣的:對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),如果,那么是函數(shù)的極值點(diǎn),因?yàn)樵谔幍膶?dǎo)數(shù)值,所以是函數(shù)的極值點(diǎn).以上推理中(
)A.大前提錯(cuò)誤
B.小前提錯(cuò)誤
C.推理形式錯(cuò)誤
D.結(jié)論正確參考答案:A導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),而極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定為0.所以本題是大前提錯(cuò)誤。
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,若,則的最小值為
▲
.參考答案:略12.已知回歸直線方程y=+x,如果x=3時(shí),y的估計(jì)值是17,x=8時(shí),y的估計(jì)值是22,那么回歸直線方程是________.參考答案:略13.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cosC=,則BC=________.參考答案:4或514..已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,,雙曲線上點(diǎn)P滿足,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.參考答案:15.一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù),則DX=.參考答案:1.96【考點(diǎn)】CH:離散型隨機(jī)變量的期望與方差.【分析】判斷概率滿足的類型,然后求解方差即可.【解答】解:由題意可知,該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),是一個(gè)二項(xiàng)分布模型,其中,p=0.02,n=100,則DX=npq=np(1﹣p)=100×0.02×0.98=1.96.故答案為:1.96.16.等比數(shù)列中,若,,則的值為
▲
.參考答案:17.如圖,正方形BCDE的邊長(zhǎng)為a,已知AB=BC,將△ABE沿邊BE折起,折起后A點(diǎn)在平面BCDE上的射影為D點(diǎn),則翻折后的幾何體中有如下描述:①AB與DE所成角的正切值是;②AB∥CE③VB﹣ACE體積是a3;④平面ABC⊥平面ADC.其中正確的有.(填寫(xiě)你認(rèn)為正確的序號(hào))參考答案:①③④【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.【分析】作出直觀圖,逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷.【解答】解:作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示:∵AB=a,BE=a,∴AE=.∴AD=.∴AC=.在△ABC中,cos∠ABC===.∴sin∠ABC==.∴tan∠ABC==.∵BC∥DE,∴∠ABC是異面直線AB,DE所成的角,故①正確.連結(jié)BD,CE,則CE⊥BD,又AD⊥平面BCDE,CE?平面BCDE,∴CE⊥AD,又BD∩AD=D,BD?平面ABD,AD?平面ABD,∴CE⊥平面ABD,又AB?平面ABD,∴CE⊥AB.故②錯(cuò)誤.三棱錐B﹣ACE的體積V===,故③正確.∵AD⊥平面BCDE,BC?平面BCDE,∴BC⊥AD,又BC⊥CD,∴BC⊥平面ACD,∵BC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ACD.故答案為①③④.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分13分)已知函數(shù)(是常數(shù))在處的切線方程為,且.(Ⅰ)求常數(shù)的值;(Ⅱ)若函數(shù)()在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:(Ⅰ),,;(Ⅱ)(Ⅰ)由題設(shè)知,的定義域?yàn)?,因?yàn)樵谔幍那芯€方程為,所以,且,即,且,又,解得,,………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知因此,所以………………7分令.(?。┊?dāng)函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)極值時(shí),在內(nèi)有且僅有一個(gè)根,即在內(nèi)有且僅有一個(gè)根,又因?yàn)?,?dāng),即時(shí),在內(nèi)有且僅有一個(gè)根,當(dāng)時(shí),應(yīng)有,即,解得,所以有.(ⅱ)當(dāng)函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值時(shí),在內(nèi)有兩個(gè)根,即二次函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不等根,所以,解得.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是………………13分19.已知a,b是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f'(x)和g'(x)是f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù),若f'(x)g'(x)≥0在區(qū)間I上恒成立,則稱f(x)和g(x)在區(qū)間I上單調(diào)性一致(1)設(shè)a>0,若函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[﹣1,+∞)上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;(2)設(shè)a<0,且a≠b,若函數(shù)f(x)和g(x)在以a,b為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上單調(diào)性一致,求|a﹣b|的最大值.參考答案:解:f'(x)=3x2+a,g'(x)=2x+b.(1)由題得f'(x)g'(x)≥0在[﹣1,+∞)上恒成立.因?yàn)閍>0,故3x2+a>0,進(jìn)而2x+b≥0,即b≥﹣2x在[﹣1,+∞)上恒成立,所以b≥2.故實(shí)數(shù)b的取值范圍是[2,+∞)(2)令f'(x)=0,得x=.若b>0,由a<0得0∈(a,b).又因?yàn)閒'(0)g'(0)=ab<0,所以函數(shù)f(x)和g(x)在(a,b)上不是單調(diào)性一致的.因此b≤0.現(xiàn)設(shè)b≤0,當(dāng)x∈(﹣∞,0)時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x∈(﹣∝,﹣)時(shí),f'(x)>0.因此,當(dāng)x∈(﹣∝,﹣)時(shí),f'(x)g'(x)<0.故由題設(shè)得a≥﹣且b≥﹣,從而﹣≤a<0,于是﹣<b<0,因此|a﹣b|≤,且當(dāng)a=﹣,b=0時(shí)等號(hào)成立,又當(dāng)a=﹣,b=0時(shí),f'(x)g'(x)=6x(x2﹣),從而當(dāng)x∈(﹣,0)時(shí)f'(x)g'(x)>0.故函數(shù)f(x)和g(x)在(﹣,0)上單調(diào)性一致,因此|a﹣b|的最大值為.略20.銳角△ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量,,且∥.(1)求B的大小;(2)如果b=2,求△ABC的面積S△ABC的最大值.參考答案:(1)∵=(2sinB,﹣),=(cos2B,2cos2﹣1)且∥,∴2sinB(2cos2﹣1)=﹣cos2B,∴2sinBcosB=﹣cos2B,即sin2B=﹣cos2B,∴tan2B=﹣,又B為銳角,∴2B∈(0,π),∴2B=,則B=;
(2)當(dāng)B=,b=2時(shí),由余弦定理cosB=得:a2+c2﹣ac﹣4=0,又a2+c2≥2ac,代入上式得:ac≤4(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立),∴S△ABC=acsinB=ac≤(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立),則S△ABC的最大值為.21.(本小題滿分12分)數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,數(shù)列滿足
,(1)
求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值;(2)
求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案:(1)由題意:,∴,∴數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為的等差數(shù)列,∴,∴由,得,∴數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為……4分(2)由(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,∴當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),∴………8分22.在中,角所對(duì)的邊分別為且.(1)求角;(2)已知,求的值.參考答案:解:(1)在中,
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