第11講二倍角的三角函數(shù)（七大題型）

第11講二倍角的三角函數(shù)【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：知識(shí)點(diǎn)二：升（降）冪縮（擴(kuò)）角公式升冪公式：，降冪公式：，知識(shí)點(diǎn)詮釋：利用二倍角公式的等價(jià)變形：，進(jìn)行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．知識(shí)點(diǎn)三：輔助角公式1、形如的三角函數(shù)式的變形：令，，則（其中角所在象限由的符號(hào)確定，角的值由確定，或由和共同確定．）2、輔助角公式在解題中的應(yīng)用通過(guò)應(yīng)用公式（或），將形如（不同時(shí)為零）收縮為一個(gè)三角函數(shù)（或）．這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個(gè)三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值等．【典型例題】題型一：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求下列各式的值:(1)(2)(3)(4)【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【變式11】（2024·云南·高一?？计谀┮阎?，(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，所以；?）.【變式12】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）利用二倍角公式求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）（4）題型二：給角求值【例2】（2024·廣東佛山·高一統(tǒng)考競(jìng)賽）.【答案】/0.75【解析】故答案為：.【變式21】（2024·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）．【答案】【解析】.故答案為：.【變式22】（2024·河北保定·高一校聯(lián)考期末）．【答案】【解析】.故.故答案為：.題型三：給值求值【例3】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，則．【答案】/0.04【解析】因?yàn)?，所以，所以．故答案為：【變?1】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，則的值為【答案】【解析】由，得，所以.故答案為：.【變式32】（2024·四川樂(lè)山·高一統(tǒng)考期末）若，則．【答案】【解析】由得，故，故答案為：【變式33】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知,則.【答案】/0.8【解析】因?yàn)?所以.故答案為:.題型四：利用倍角公式化簡(jiǎn)及證明【例4】（2024·全國(guó)·高一課堂例題）化簡(jiǎn)．【解析】法1：由倍角公式，得．原式．法2：．【變式41】（2024·全國(guó)·高一課堂例題）化簡(jiǎn)：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式．∵，∴，∴，∴原式．（2）原式．（3）原式．【變式42】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）證明：.【解析】.【變式43】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）證明：.【解析】左邊右邊．∴原等式成立．題型五：輔助角公式的應(yīng)用【例5】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)y＝sinx＋cosx－sinxcosx的值域?yàn)椋敬鸢浮縖－，1]【解析】，令，則，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，，當(dāng)時(shí)取得最小值，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【變式51】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則a的值為.【答案】【解析】由題設(shè)()的對(duì)稱中心為，則，即，所以.故答案為：【變式52】（2024·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，，恒成立，則．【答案】【解析】，取，，當(dāng)，即，取最大值，即，.故答案為：題型六：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例6】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）海安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校訓(xùn)鑲嵌在墻壁上，上端距離地面15米，下端距離地面11米，現(xiàn)小明同學(xué)要拍攝校訓(xùn)照片，相機(jī)鏡頭離地面1米，要使得校訓(xùn)的上下端與鏡頭構(gòu)成的視角最大，問(wèn)相機(jī)鏡頭距離墻面應(yīng)米.【答案】【解析】設(shè)鏡頭距墻面的距離為，則由題意可得，易知，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí).故答案為：【變式61】（2024·山東濟(jì)南·高一山東師范大學(xué)附中?？迹┪簳x南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率約等于，和相比，其誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才被打破．若已知的近似值還可以表示成，則的值約為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將代入，可得.故選：C.【變式62】（2024·河北保定·高一校聯(lián)考期末）著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用.黃金分割比，現(xiàn)給出三倍角公式，則與的關(guān)系式正確的為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由三倍角公式有，化簡(jiǎn)得，，解得（負(fù)值舍去），.故選：B.【變式63】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在解決問(wèn)題“已知，請(qǐng)用m表示的值”時(shí)，甲的結(jié)果為，乙的結(jié)果為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．甲、乙的結(jié)果都正確 B．甲的結(jié)果正確、乙的結(jié)果錯(cuò)誤C．甲的結(jié)果錯(cuò)誤、乙的結(jié)果正確 D．甲、乙的結(jié)果都錯(cuò)誤【答案】A【解析】，故甲的結(jié)果正確；又，故乙的結(jié)果正確.故選：A.題型七：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合【例7】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且(1)求常數(shù)的值；(2)求使成立的實(shí)數(shù)的取值集合．【解析】（1），所以（2）由（1）知，，由，即所以，所以，所以，則使成立的實(shí)數(shù)的取值集合為【變式71】（2024·吉林·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)求在上的最大值；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【解析】（1），，則，故在上的最大值為；（2）；（3）由（1）當(dāng)則，，故.【變式72】（2024·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)求在區(qū)間上的單調(diào)性及最值.【解析】（1），所以的最小正周期.（2）由（1）知，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值為.【變式73】（2024·寧夏銀川·高一校考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【解析】（1），所以函數(shù)的最小正周期.（2）令，則，故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（3）因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為0，最大值為3.【變式74】（2024·吉林·高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)試討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解析】（1），∴的最小正周期是由，，解得，，所以該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，；（2）函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即方程在上的解的個(gè)數(shù)，∵，，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，無(wú)解，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，有兩解，綜上可得，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┤?，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，即，故選：B.2．（2024·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┮阎瑒t（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】由可得：，解得：，因，，故.故選：C.3．（2024·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，故選：D.4．（2024·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】原式，故選：C.5．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選:B6．（2024·河北邯鄲·高一?？计谀┤?，則等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】因?yàn)椋瑒t，所以．故選：D．7．（2024·陜西銅川·高三?？计谀┮阎c(diǎn)是的終邊與單位圓的交點(diǎn)，，若在第三象限，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)锳是的終邊與單位圓的交點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的定義可知，A的橫坐標(biāo)為，又因?yàn)锳在第三象限，所以為第三象限角，即，又因?yàn)?，解得，故選：B.8．（2024·黑龍江佳木斯·高三?？计谀┮阎?，，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?所以，所以.故選：A.二、多選題9．（2024·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）下列化簡(jiǎn)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不正確；B：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)樗员具x項(xiàng)正確；D：因?yàn)椋员具x項(xiàng)正確，故選：BCD10．（2024·湖南邵陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．函數(shù)f(x)的最小正周期為C．函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程為 D．函數(shù)f(x)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】ABC【解析】由對(duì)于選項(xiàng)A,由上分析可知，A項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因最小正周期,故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由，可知其對(duì)稱軸可由求得，故函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到而不是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11．（2024·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）下列式子計(jì)算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A中，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?，所以，即，所以D正確.故選：BCD.12．（2024·山東青島·高三青島二中?？计谥校┮阎瘮?shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的周期是B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．要得到的圖象，只需把的圖象向右平移的單位【答案】AC【解析】由，對(duì)于A，的周期為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；對(duì)于D，的圖象向右平移的單位后，解析式為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13．（2024·福建泉州·高三福建省德化第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．【答案】【解析】由題意得，.故答案為：14．（2024·吉林·高一統(tǒng)考期末）已知，則；．【答案】【解析】，.故答案為：；.15．（2024·廣東深圳·高一?？计谀┮阎?，則.【答案】/【解析】，，，，即，，.故答案為：16．（2024·云南曲靖·高二?？计谀┮阎瑒t的值為.【答案】【解析】由得，平方可得，所以.故答案為：.四、解答題17．（2024·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┮阎?1)化簡(jiǎn)；(2)若，且滿足，求的值.【解析】（1）.（2），解得或，即或，，當(dāng)時(shí)，且，有，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，且，有，解得，此時(shí)；綜上.18．（2024·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）若.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）因?yàn)椋?（2），又，所以.故.19．（2024·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知，是第三象限角.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）由題意：，，，其中，；；（2）由（1）得，，.20．（2024·黑龍江雞西·高一?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最小值．【解析】（1）因?yàn)樗院瘮?shù)的最小正周期，由，得：，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）因?yàn)椋运?，所以，即時(shí).21．（2024·吉林·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知銳角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為.(1)求；(2)在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)條件補(bǔ)充在下面（把序號(hào)填在答題卡對(duì)應(yīng)位置的橫線上）并解答問(wèn)題.問(wèn)題：已知，，求．（注：如