2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第27講解三角形應(yīng)用舉例（講）（原卷版）

第27講解三角形應(yīng)用舉例（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3．方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類似．區(qū)分兩種角(1)方位角：從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角．(2)方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．題型歸納題型1解三角形的實(shí)際應(yīng)用【例11】（2020春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測(cè)得，，，，則，兩點(diǎn)的距離為A． B．80 C．160 D．【例12】（2020春?威寧縣期末）小華想測(cè)出操場(chǎng)上旗桿的高度，在操場(chǎng)上選取了一條基線，請(qǐng)從測(cè)得的數(shù)據(jù)①，②處的仰角，③處的仰角，④，⑤中選取合適的，計(jì)算出旗桿的高度為A． B． C． D．【例13】（2019秋?黃山期末）新安江某段南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭出發(fā)航行到北岸，假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在的正北方向，游船正好抵達(dá)處時(shí)，A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練11】（2020春?湖北期末）為了測(cè)量河對(duì)岸兩地、之間的距離，先在河這岸選擇一條基線，測(cè)得米，再測(cè)得，，，，據(jù)此計(jì)算、兩地之間的距離是A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練12】（2020春?德州期末）如圖所示，為了測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂作為測(cè)量基點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角，，從點(diǎn)測(cè)得．已知山高，則山高（單位：為A．750 B． C．850 D．【跟蹤訓(xùn)練13】（2020春?萍鄉(xiāng)期末）俗語(yǔ)云：天王蓋地虎，寶塔鎮(zhèn)河妖．萍鄉(xiāng)塔多，皆因舊時(shí)萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪鎮(zhèn)邪．坐落在萍城小西門汪公潭境內(nèi)的寶塔嶺上就有這么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后該塔曾因久失修倒塌，在清道光年間重建．某興趣小組為了測(cè)量塔的高度，如圖所示，在地面上一點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，在塔底處測(cè)得處的俯角為．已知山嶺高為36米，則塔高為A．米 B．米 C．米 D．米【跟蹤訓(xùn)練14】（2020?全國(guó)Ⅱ卷模擬）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一平面上．一人在公路上向東行走，在點(diǎn)處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫椋凶?0米到點(diǎn)處，測(cè)得仰角為，再行走80米到點(diǎn)處，測(cè)得仰角為．則．【名師指導(dǎo)】1.測(cè)量距離問題的2個(gè)策略(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．2.高度也是兩點(diǎn)之間的距離，其解法同測(cè)量水平面上兩點(diǎn)間距離的方法是類似的，基本思想是把要求解的高度(某線段的長(zhǎng)度)納入到一個(gè)可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識(shí)求出該高度．3.測(cè)量角度問題的基本思路測(cè)量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．題型2正、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用【例21】（2020春?墊江縣校級(jí)期末）如圖，在平面四邊形中，的面積為，，，，，則，．【例22】（2020春?天河區(qū)期末）如圖，在四邊形中，，且，，．（1）求的面積；（2）若，求的長(zhǎng)．【跟蹤訓(xùn)練21】（2019秋?珠海期末）如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為A． B． C．8 D．【跟蹤訓(xùn)練22】（2020?漳州模擬）如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，且，，，則的值為A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練23】（2020春?泰州期末）如圖，在中，角的平分線交于，且．若，，則．【跟蹤訓(xùn)練24】（2020?青島模擬）如圖，在平面四邊形中，，，．（1）若，求四邊形的面積；（2）若，求．【名師指導(dǎo)】與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計(jì)算問題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系．具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果．題型3解三角形與三角函數(shù)的綜合問題【例31】（2020春?溫州期中）設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）已知，，函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（Ⅱ）設(shè)的三邊，，所對(duì)的角分別為，，，若，，求的面積的最大值．【跟蹤訓(xùn)練3