2021新高考數(shù)學新課程一輪復習學案第十章解答題專項突破（六）概率與統(tǒng)計的綜合問題

解答題專項突破(六)概率與統(tǒng)計的綜合問題通過對近幾年高考試題分析，在高考解答題中，概率與回歸分析、獨立性檢驗、隨機變量及其分布列相結(jié)合的綜合問題既是考查的熱點又是重點，設計成包含概率、隨機變量的數(shù)學期望與方差、統(tǒng)計圖表的識別與應用等知識的綜合題，以實際應用問題為載體，考查考生應用數(shù)學知識和基本方法分析問題和解決問題的能力．試題難度一般不大，為中、低檔類題目．熱點題型1概率與統(tǒng)計圖表的綜合應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2019·河南模擬)“學習強國”平臺于2019年1月1日上線，它是由中宣部主管以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端＋客戶端”兩大終端二合一模式的學習平臺，上線后便成了黨員干部學習的“新助手”．為了調(diào)研某地黨員對“學習強國”App的了解程度，研究人員隨機抽取了200名該地的黨員進行調(diào)查，將他們?nèi)靸?nèi)在“學習強國”分數(shù)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)601002020頻率(1)請完善上表中的數(shù)據(jù)；(2)若該地區(qū)的黨員在“學習強國”App上的得分服從正態(tài)分布Z～N(μ，σ2)，其中μ近似為這200名黨員三天內(nèi)得分的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，σ2近似為這200名黨員三天內(nèi)得分的方差，求P(57.4<Z≤83.8)；(3)以表格中的頻率估計概率，若從該地區(qū)所有黨員中隨機抽取4人，記這4人在“學習強國”App三天內(nèi)的得分不低于80分的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：eq\r(5)≈2.2，eq\r(6)≈2.4，eq\r(7)≈2.6.若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.解題思路(1)根據(jù)頻率＝eq\f(頻數(shù),樣本容量)計算、填表．(2)先根據(jù)平均數(shù)和分差的計算公式及提示，求出μ和σ，再利用正態(tài)曲線的對稱性求概率．(3)先根據(jù)題意判斷隨機變量X是否服從二項分布，并確定獨立重復試驗次數(shù)和事件發(fā)生的概率；再寫出X的分布列，最后由二項分布的期望公式求值．規(guī)范解答(1)根據(jù)題意填寫統(tǒng)計表如下．分數(shù)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)601002020頻率0.30.50.10.1(2)在Z～N(μ，σ2)中，μ＝65×0.3＋75×0.5＋85×0.1＋95×0.1＝75；σ2＝(65－75)2×0.3＋(75－75)2×0.5＋(85－75)2×0.1＋(95－75)2×0.1＝80；∴σ＝4eq\r(5)≈4×2.2＝8.8，∴P(57.4<Z≤83.8)＝P(μ－2σ<Z≤μ＋σ)＝1－P(Z≤μ－2σ)－P(Z>μ＋σ)＝1－eq\f(1,2)×(1－0.9544)－eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.8185.(3)由題意知，得分不低于80分的頻率為0.2，則X～B(4,0.2)，計算P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)·0.84＝0.4096，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)·0.2·0.83＝0.4096，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)·0.22·0.82＝0.1536，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)·0.23·0.8＝0.0256，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)·0.24＝0.0016，則X的分布列如下，X01234P0.40960.40960.15360.02560.0016數(shù)學期望為E(X)＝4×0.2＝0.8.熱點題型2概率與回歸分析的綜合應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2020·安徽省江南十校聯(lián)考)某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產(chǎn)部門當年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司2012～2019年的相關數(shù)據(jù)如表：年份20122013201420152016201720182019年生產(chǎn)臺數(shù)x/萬臺2345671011該產(chǎn)品的年利潤y/百萬元2.12.753.53.2534.966.5年返修臺數(shù)/臺2122286580658488部分計算結(jié)果：＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,x)i＝6，＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,y)i＝4，eq\i\su(i＝1,8,)(xi－)2＝72，eq\i\su(i＝1,8,)(yi－)2＝18.045，eq\i\su(i＝1,8,)(xi－)(yi－)＝34.5注：年返修率＝eq\f(年返修臺數(shù),年生產(chǎn)臺數(shù)).(1)從該公司2012～2019年的相關數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，用ξ表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望；(2)根據(jù)散點圖發(fā)現(xiàn)2016年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤y(百萬元)關于年生產(chǎn)臺數(shù)x(萬臺)的線性回歸方程(精確到0.01)．附：線性回歸方程＝x＋中，＝＝，＝－.解題思路(1)先根據(jù)題意確定哪些年份的考核優(yōu)秀，明確ξ所有可能的取值，然后計算有關概率，寫出分布列，最后求數(shù)學期望．(2)先根據(jù)公式和部分計算結(jié)果求原來8組數(shù)據(jù)中eq\i\su(i＝1,8,x)iyi和eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)，再計算去掉2016年數(shù)據(jù)之后的和.規(guī)范解答(1)由數(shù)據(jù)可知該部門2013,2014,2017,2018,2019五個年份的考核優(yōu)秀，故ξ的所有可能取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(0,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(10,56)＝eq\f(5,28)，故ξ的分布列如下，ξ0123Peq\f(1,56)eq\f(15,56)eq\f(15,28)eq\f(5,28)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,56)＋1×eq\f(15,56)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,28)＝eq\f(15,8).(2)由eq\i\su(i＝1,8,)(xi－)2＝72，得eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝eq\i\su(i＝1,8,)(xi－)2＋8×2＝360.由eq\i\su(i＝1,8,)(xi－)(yi－)＝34.5，得eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝eq\i\su(i＝1,8,)(xi－)(yi－)＋8＝226.5.故去掉2016年的數(shù)據(jù)之后′＝eq\f(6×8－6,7)＝6，′＝eq\f(4×8－3,7)＝eq\f(29,7)，eq\i\su(i≠5,8,)(xi－′)2＝eq\i\su(i≠5,8,x)eq\o\al(2,i)－7′2＝360－62－7×62＝72，eq\i\su(i≠5,8,)(xi－′)·(yi－′)＝eq\i\su(i≠5,8,x)iyi－7′′＝226.5－6×3－7×6×eq\f(29,7)＝34.5，所以＝eq\f(34.5,72)≈0.48，＝′－′＝eq\f(29,7)－eq\f(34.5,72)×6≈1.27，所以線性回歸方程為＝0.48x＋1.27.熱點題型3概率與獨立性檢驗的綜合應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2020·淄博實驗中學模擬)隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡已逐漸融入了人們的生活．網(wǎng)購是非常方便的購物方式，為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況，某調(diào)查機構(gòu)進行了有關網(wǎng)購的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機抽取了男、女各100人進行分析，從而得到下表(單位：人)：經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購總計男性50100女性70100總計(1)完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為我市市民網(wǎng)購與性別有關；(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人贈送優(yōu)惠券，求抽取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取10人贈送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為X，求隨機變量X的數(shù)學期望和方差．附：K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解題思路(1)先根據(jù)2×2列聯(lián)表的特點完成表格，再計算K2并作出推斷．(2)①根據(jù)第(1)問的2×2列聯(lián)表可知，分層抽樣的抽樣比為eq\f(1,10)，進而可確定抽取的10人中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)和偶爾或不用網(wǎng)購的人數(shù)，然后用古典概型的概率公式和組合數(shù)公式求概率．②確定隨機變量X服從二項分布，求試驗次數(shù)和事件發(fā)生的概率，用二項分布的期望、方差公式求值．規(guī)范解答(1)補全的2×2列聯(lián)表如下，經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購總計男性5050100女性7030100總計12080200由列聯(lián)表可得K2＝eq\f(200×(50×30－50×70)2,100×100×120×80)＝eq\f(25,3)≈8.333>7.879，所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為我市市民網(wǎng)購與性別有關．(2)①由題意得所抽取的10名女市民中經(jīng)常網(wǎng)購的有70×eq\f(10,100)＝7(人)，偶爾或不用網(wǎng)購的有30×eq\f(10,100)＝3(人)，所以抽取的3人中至少