2023年中考數學幾何模型-動點最值之瓜豆模型（講+練）（解析版）

專題16動點最值之瓜豆模型

模型一、運動軌跡為直線

問題1:如圖，P是直線BC上一動點，連接AP,取AP中點Q,當點P在BC上運

動時，Q點軌跡是？

A

解析：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線.

理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為AP=2AQ,

所以QN始終為AM的一半,即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線.

問題2：如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ,且NPCQ為定值，當點P

在直線AB上運動，Q的運動軌跡是？

住)(A)

解析：當CP與CQ夾角固定，且AP=4。時，P、。軌跡是同一種圖形，且PP產QQi

理由：易知△CPPgZ\CPP1，則NCPP尸CQQi，故可知Q點軌跡為一條直線.

模型總結：

條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量.

結論：①主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形；

②主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角

③當主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運

動路徑長；

例1.如圖，在平面直角坐標系中，A(-3,0),點B是y軸正半軸上一動點，點C、

D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊4ABP,點B在y軸上運動時，求

OP的最小值.

【解析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據AABP是等邊三角形且B點在直線

上運動，故可知P點軌跡也是直線.

取兩特殊時刻：(1)當點B與點。重合時，作出P點位置Pi;(2)當點B在x軸

上方且AB與x軸夾角為60。時，作出P點位置P2.連接P1P2，即為P點軌跡.

根據NABP=60。，可知：￡2與y軸夾角為60。，作OP_LPi2，所得OP長度即

為最小值，

OP2=OA=3,所以

例2.如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為2g的一個定點，AC±x軸于點M,

交直線y=-x于點N,若點P是線段ON上的一個動點，ZAPB=30°,BAJ_PA,

則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動.求當點P從點。運動到點

N時，點B運動的路徑長是

答案答】2^/2

【分析】VZPAB=90",/APB=30。，.?.可得：AP:AB=，3:1,故B點軌跡也是

線段，

且P點軌跡路徑長與B點軌跡路徑長之比也為，3：1,P點軌跡長ON為2通，

故B點軌跡長為.

【變式訓練1】如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點，且BE=1,F為AB邊

上的一個動點，連接EF,以EF為邊向右側作等邊AEFG,連接CG,求CG的最小值是多

少？

A

【答案】I

【解析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將

F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：

考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，

初始時刻G點在Gi位置，最終G點在Gz位置（G2不一定在CD邊），G&2即為G

點運動軌跡.

CG最小值即當CG_LGIG2的時候取到，作CH_LG62于點H,CH即為所求的最小

值.

根據模型可知：6儲2與AB夾角為60。，故GIG2，E&.過點E作EF1CH于點F,

則HF=EGI=1,CF=*CE=*,所以而=5,因此CG的最小值為

【變式訓練2】如圖，AABC是邊長為6的等邊三角形，點E在AB上，點。為BC的中點,

【解答】解：當點E在8時，M在48的中點N處，當點E與A重合時，M的位置如圖所

z5.

所以點E從點B運動到點A,則M點所經歷的路徑為MN的長，

「△ABC是等邊三角形，。是BC的中點，J.ADVBC,/84。=30。，

'：AB=6,."。={62_“=3遍,?.?△￡￡)〃是等邊三角形，.?.AM=AO=3?,ZDAM

=60°,

...NM4M=30°+60°=90°,'：AN^^AB^3,在Rs中，

2

由勾股定理得：MN={卜/呼+⑶2=6,則M點所經歷的路徑長為6,故

答案為：6.

【變式訓練3】如圖，在矩形ABCC中，AB=4,ZDCA=30°,點尸是對角線AC上的一個

動點，連接DF,以DF為斜邊作N￡>FE=30。的直角三角形DEF,使點E和點A位于DF

兩側，點尸從點A到點C的運動過程中，點E的運動路徑長是.

【解答】解：E的運動路徑是線段EE的長；

：AB=4,ZDCA=30°,；.BC=^^,

3

當尸與A點重合時，在RsACE中，AO=-^S,ZDAE=30°,ZADE=60°,

3

；.￡)￡=&!.,/C￡)E=30。，

3

當尸與。重合時，ZEDC=60°,:./EDE=90。,NOEE=30。，

在RtAOEE中，返；故答案為生區(qū).

33

【變式訓練4】如圖，已知線段AB=12,點C在線段AB上，且4ACD是邊長為4的等邊三

角形，以CD為邊的右側作矩形CDEF,連接DF,點M是DF的中點，連接MB,則線段MB

的最小值為_______________.

【答案】6

【解析】如圖所示，：NFCB=309,的路徑是定射線DF,又?.?點M是DF的中點，二

DM=^DF,

；D點為定點，F(xiàn)點為主動點，M點為從動點，由瓜豆原理內容可知M點的路徑亦是一條射

線，

取CD的中點N,連接NM并延長，則射線NM就是M點的路徑，目NM〃CF,

作BG_LNM于點G,交CF于點H,則BGJ_CF,故BG=BH+HG=BH+CN=4+2=6,

線段BM的最小值即為BG,最小值為6.

模型二、運動軌跡為圓

問題L如圖，P是圓0上一個動點，A為定點，連接AP,Q為AP中點.當點P在圓。上運

動時，Q點軌跡是？

0

解析：。點軌跡是一個圓

理由：。點始終為AP中點，連接A。，取A。中點M,則M點即為。點軌跡圓圓心，半徑

MQ是0P一半，任意時刻，均有△AMQS/\AOP,0￡=d&=J..

POAP2

問題2.如圖，AAPCl是直角三角形，NPAQ=90。且AP=2AQ,當P在圓0運動時，Q點軌跡是？

解析：。點軌跡是一個圓

理由：?.,AP_LA0,，Q點軌跡圓圓心M滿足AMJ_4。；

又：，AP：AQ=2：1,；.Q點軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2：1.

即可確定圓M位置，任意時刻均有△APOSAAQM,且相似比為2.

模型總結：

條件：兩個定量

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量(NPAQ是定值)；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量(AP:AQ是定值).

結論：(1)主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：NPAQ=/OAM；

(2)主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM,也等于

兩圓半徑之比.

例1.如圖，點P(3,4),圓P半徑為2,A(2.8,0),B(5.6,0),點M是圓P上的動點，

點C是MB的中點，則AC的最小值是

【答案】1.5

【解析】由題意可知M點為主動點，C點為從動點，B點為定點.

VC是BM中點，可知C點軌跡為取BP中點F,以F為圓心，F(xiàn)C為半徑作圓，即為點C軌

跡，如圖所示：

由題中數據可知0P=5,又；點A、F分別是OB、BP的中點，，AF是△BPO的中位線，，

AF=2.5,

當M運動到如圖位置時，AC的值最小，此時A、C、。三點共線，；.AC=2.5—1=1.5.

例2.如圖，A是配上任意一點，點C在期外，已知AB=2,BC=4,團ACD是等邊三角形，

則△BCD的面積的最大值為（）

【答案】A

【詳解】解：如圖，以BC為邊向上作等邊三角形BCM,連接DM,

0Z￡）C4=：ZMCB=6OO,^\ZDCA-ZACM=ZMCB-ZACM,BPZDCM=ZACB

DC^AC

在/和zMCB中，■NDCM=NACB,回，DCM三，ACB(S4S),0DM=AB=2,

MC=BC

團點D的運動軌跡是以點M為圓心，DM長為半徑的圓，

要使△BCD面積最大，則求出點D到線段BC的最大距離，

是邊長為4的等邊三角形，回點M到BC的距離是,

團點D至4BC的最大距離是2港+2,回△BCD的面積最大值是TX4X（2G+2）=4K+4.故

選：A.

例3.如圖，正方形ABC力中，AB=2亞,。是BC邊的中點，點E是正方形內一

動點，0E=2,連接OE,將線段。E繞點。逆時針旋轉90。得QF,連接AE、CF.求

線段。尸長的最小值.

【解析】E是主動點，尸是從動點，。是定點，E點滿足￡。=2,

故E點軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓.

考慮尸且DE=DF,故作DM1DO且DM=DO,F點軌跡是以點M為圓心，

2為半徑的圓.

直接連接OM,與圓M交點即為尸點，此時。尸最小.可構造三垂直全等求線段

長，再利用勾股定理求得。M,減去M尸即可得到。F的最小值.答案為50-2

【變式訓練1】如圖，在等腰R3ABC中，AC=BC=2&,點P在以斜邊AB為直徑的半圓

上，M為PC的中點,當半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為.

B

【答案】n

【解析】當點P位于弧AB的中點時，M為AB的中點，

■：AC=BC=2V2,：.AB=4,CM=2,

設河卜河2分別為AC、BC的中點，連接交CP于點0,如圖所示:

MiM2^2,OMi^OM2=OC=OM=l,

當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M的運動路徑是以。為圓心，1為半徑的半圓，如

圖藍色半圓，

???點M的運動路徑長為”.

【變式訓練2】如圖，AB為。的直徑，C為。上一點，其中A8=6,ZAOC=120。，P

為：。上的動點，連AP,取AP中點Q,連CQ,則線段CQ的最大值為（）

33G

C.2+3不D.-+-V7

22

【答案】D

【詳解】如圖，連接0Q，作CHEIAB于H.

團AQ=QP,0OQ0PA,00AQO=9O°,

團點Q的運動軌跡為以A0為直徑的團K,連接CK,

當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大MNAOC=120。般COH=60。

在Rtl30cH中，00COH=6OO,0C=yAB=3,

?OH=!OC=3,CH^yJoC2+OH2=—,

222

在RtSCKH中，0<=卜+(￥)=|"，回CQ的最大值為|+|夜，故選：D.

【變式訓練3】如圖，ABC中，AB=AC,BC=6,A。，8C于點￡),AZ)=4,P是半徑

為2的A上一動點，連結PC,若E是PC的中點，連結。E,則OE長的最大值為

()

【答案】B

【詳解】解：如圖，可知P在曲延長線與|A的交點時此時OE氏的最大，證明如下：

連接BP,0AB=AC,BC=6,AO_LBC,S!BD=DC,

ISE是PC的中點，

QDE//BP,DE=^BP,

所以當8P的長最大時，OE氏的最大，

由題意可知P在班延長線與：A的交點時BP的長最大此時DE長的最大，

EIBC=6,AD=4,回8D=DC=3,8A=5,

04的半徑為2,BPAP=2,

團8P=5+2=7,

0DE=-BP=3.5.

2

故選：B.

課后訓練

1.如圖，在^ABC中，ZACB=909,/A=30。，BC=2,D是AB上一動點，以DC為斜邊向

右側作等腰Rt/WCE,使NCED=903連接BE,則線段BE的最小值為.

ADB

E

【解答】呼

【解析】由題意可知C為定點，D點為主動點，路徑為線段AB,點E為從動點,

EC

?..△DCE是等腰直角三角形，，/DCE=45%京=萬

結合瓜豆原理內容可知從動點E的路徑為一條線段，可以看成是由線段AB先繞著定點C逆

時針旋轉45。，再以定點C為位似中心，以噂為位似比縮小來的,

如圖，將BE的最小距離轉化為點到線的最小距離（點B到43'的最短距離），

由旋轉相似可得放sRtAA'CB',：.^CB'A'=ZCBA=60°,

.-.ZXB,B=30°,在及△9E5中，有B，B=6,則8E=噂，

...線段BE的最小值為殍.

3.如圖，AB=6,點。在線段AB上，AO=2,。的半徑為1,點P是。上一動點，以BP

為一邊作等邊VBP。，則A。的最小值為

Q

【答案】2V7-1

【詳解】解：如圖，在AB上方以。8為一邊作等邊Q3C,連接OP,CQ,AC,

OBC和VBPQ都是等邊三角形,；.OB=CB,BP=BQ/OBC=ZPBQ=60°,

ZOBC-ZPBC=ZPBQ-ZPBC,即NOBP=ZCBQ,

OB=CB

在，OBP和△C8Q中，-NOBP=NCBQ,:NOBP^VCBQ(SAS),:.CQ=OP=\,

BP=BQ

.??點Q在以點C為圓心，C。長為半徑的圓上，如圖，設AC與OC交于點￡),過點C作

則C￡>=1,則當點。與點。重合時，42取得最小值，最小值為AO,

QAO=2,A8=6,..O8=AB—AO=4,O8C是等邊三角形，CMA.AB,

???OC=OB=4,OM=；OB=2,CM=4OC2-OM2=2^,AM=AO+OM=4^

在mAACM中，AC=siAM2+CM2=277>則AL>=AC-C￡>=2療-1,

即AQ的最小值為25-1,故答案為：2"-1.

4

4.點A是雙曲線沙=二在第一象限上的一個動點，連接A。并延長交另一交令一分支點B,

以AB為斜邊作等腰RtZ\ABC,點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變

化，但始終在某函數圖像上運動，則這個函數的解析式為_______________________.

【解析】連接0C,作CD_La；軸于點D,AE2.X軸于點E,如圖所示:

設點A的坐標為卜，；)，

「A、B兩點是正比例函數圖像與反比例函數圖像的交點，

.,.點A與點B關于原點對稱，.?.OA=OB,

:△ABC為等腰直角三角形，；.OC=OA,0C10A,二ZDOC+NAOE=90。,

VZDOC+ZDCO=909,，NDCO=/AOE,

ZCDO=ZOEA

在△COD與AOAE中，＜4DC0=NEOA,.".ACOD^AOAE(AAS),

CO=OA

4

：.OD=AE=^,CD=OE=a,：.C9a

44

:?a=-4,.?.點C在反比例函數g=的圖像上.

7.如圖，AB為回0的直徑，C為團。上一點，其中AB=2,由AOC=120。，P為回。上的動點,

連AP,取AP中點Q,連CQ,則線段CQ的最大值為.

【詳解】解：如圖，連接。Q,作CHI3AB于H.mAQ=QP,

0OQ0PA,0EIAQO=9OO

團點Q的運動軌跡為以A0為直徑的回K,連接CK

當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，