青海省海東市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題_第1頁(yè)
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高二數(shù)學(xué)試卷(理科)一?選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為a+bi的形式,得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),即可得到選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,所以?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算,復(fù)數(shù)的幾何意義,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.命題,則為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合特稱命題的否定為全稱命題,即可得解.【詳解】因?yàn)槊}為特稱命題,所以為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了特稱命題的否定,牢記特稱命題的否定方法是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3.曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,則()A. B. C.1 D.或2【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后可建立方程求解.【詳解】因?yàn)椋?,因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線垂直,所以,即,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,較簡(jiǎn)單.4.已知的展開(kāi)式中第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出展開(kāi)式的第九項(xiàng),令的指數(shù)為0,可以求出n,再將代入即可求出系數(shù)和.【詳解】,所以,則,令,可得,所以展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和,屬于基礎(chǔ)題.5.某同學(xué)對(duì)如圖所示的小方格進(jìn)行涂色(一種顏色),若要求每行、每列中都恰好只涂一個(gè)方格,則不同的涂色種數(shù)為()A.12 B.36 C.24 D.48【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用排列的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知:不同的涂色種數(shù)為:,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了排列的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6.已知直線m,n和平面,且,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】結(jié)合直線與直線,直線與平面位置關(guān)系,利用充分條件和必要條件的定義求解.【詳解】若,則或直線m與直線n異面,故不充分;若,則或,故不必要;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查邏輯條件的判斷以及直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.7.已知,若,則()A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】首先可通過(guò)題意求出正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸,然后根據(jù)得出,最后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋詫?duì)稱軸方程為,因?yàn)椋?,解得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義,主要考查正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,考查計(jì)算能力,是簡(jiǎn)單題.8.已知函數(shù)滿足,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性得到關(guān)于的不等式,解出即可.【詳解】的定義域是,,故在遞增,,,解得:或,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想,是一道常規(guī)題.9.數(shù)列6,15,28,45,…中的每一項(xiàng)都可用如圖所示的六邊形表示出來(lái),故稱它們?yōu)榱呅螖?shù),那么第11個(gè)六邊形數(shù)為()A.190 B.276 C.231 D.【答案】B【解析】【分析】首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)分別為6,15,28,45,…,所以,,,,所以,故.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.10.某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬(wàn)元,每年最大規(guī)模的種植量是10萬(wàn)斤,每種植1斤藕,成本增加1元.銷售額(單位:萬(wàn)元)與蓮藕種植量(單位:萬(wàn)斤)滿足(為常數(shù)),若種植3萬(wàn)斤,利潤(rùn)是萬(wàn)元,則要使銷售利潤(rùn)最大,每年需種植蓮藕()A.6萬(wàn)斤 B.8萬(wàn)斤 C.7萬(wàn)斤 D.9萬(wàn)斤【答案】B【解析】【分析】建立銷售利潤(rùn)與種植量的函數(shù)關(guān)系,通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性,進(jìn)而可求出答案.【詳解】設(shè)銷售利潤(rùn)為,則.因?yàn)?,所以,則,求導(dǎo)得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則時(shí),取得最大值.所以要使銷售利潤(rùn)最大,每年需種植蓮藕8萬(wàn)斤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,注意利用已知條件建立函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11.已知雙曲線的右焦點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn),以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),延長(zhǎng)交右支于點(diǎn),若,則雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出圖形,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為點(diǎn),連接、,設(shè),則,利用雙曲線的定義及勾股定理求得,進(jìn)而可得出,,然后利用勾股定理可求得的值,進(jìn)而可求得的值,由此可求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】如下圖所示,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為點(diǎn),連接、,設(shè),則,由雙曲線的定義可得,,由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且、,則四邊形為矩形,在中,有勾股定理得,即,解得,,,由勾股定理得,即,,所以,,則.因此,雙曲線的漸近線方程是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求解,考查了雙曲線定義的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)是,若,則不等式的解集是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)后可推出在上單調(diào)遞減,而可等價(jià)于,即,故而得解.【詳解】令,則,,,即在上單調(diào)遞減,,可等價(jià)于,即,,不等式的解集為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、解不等式,構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.二?填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在答題卡中的橫線上.13.復(fù)數(shù)的實(shí)部為a,虛部為b,則_________.【答案】1【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù),即可得出,求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,故.故答案為?.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)概念的理解,屬于基礎(chǔ)題.14.由一組觀測(cè)數(shù)據(jù),,…,得回歸直線方程為,若,則____________.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合樣本中心點(diǎn)在回歸直線上,代入即可得解.【詳解】因?yàn)?,,回歸直線方程為,所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程性質(zhì)的應(yīng)用,考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)、是拋物線上不同的兩點(diǎn),線段的垂直平分線為,若,則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線方程可得出直線的斜率,由此利用點(diǎn)差法可得出關(guān)于的等式,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題知,,,兩式相減得,所以,由題知,所以,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程中參數(shù)的求解,涉及點(diǎn)差法的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16.兩對(duì)夫妻準(zhǔn)備周末出去旅游,有甲?乙?丙?丁四輛順風(fēng)車可以搭乘,其中甲?乙兩車每輛最多可搭乘兩人,丙?丁兩車每輛最多可搭乘一人,不是夫妻的兩個(gè)人不能搭乘同一輛車,若不考慮座位順序,且這兩對(duì)夫妻都要坐上車.則不同的搭乘方案共有___________種.【答案】50【解析】【分析】分情況討論使用兩輛車、三輛車、四輛車、利用排列組合知識(shí)即可求解【詳解】當(dāng)使用兩輛車時(shí),不同的搭乘方案有種;當(dāng)使用三輛車時(shí),不同的搭乘方案有種;當(dāng)使用四輛車時(shí),不同的搭乘方案有種.故不同的搭乘方案共有50種.故答案為:50【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.三?解答題:本題共6大題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與圓C交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),求.【答案】(1);;(2).【解析】【分析】(1)(1)由消元可得橢圓的普通方程,由可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;(2)利用幾何法可求圓的弦長(zhǎng).【詳解】解:(1)∵曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),∴曲線C的普通方程為.∵,∴曲線C的極坐標(biāo)方程為.∵直線l的極坐標(biāo)方程為,即,∴直線l的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)知曲線C是以為圓心,半徑為4的圓,則圓心到直線l的距離,故.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,考查幾何法求圓的弦長(zhǎng).屬于基礎(chǔ)題.18.如圖,在正四棱柱中,,,,,是棱的中點(diǎn),平面與直線相交于點(diǎn).(1)證明:直線平面.(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】【分析】(1)推導(dǎo)出,,設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn),連結(jié),,推導(dǎo)出平面,平面,從而平面平面,由此能證明平面.(2)以為原點(diǎn),為軸,為軸,為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的正弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,平面平面,,由題意得,設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn),連結(jié),,是棱的中點(diǎn),,平面,平面,平面,,,,平面,平面,平面,,所以平面平面,平面,平面.(2),,如圖,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,,所以設(shè)平面的法向量,則,取,得,設(shè)平面的法向量,則,取,得,設(shè)二面角的平面角為,由,,二面角的正弦值為.

【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.19.某科研小組為了驗(yàn)證一種治療新冠肺炎的新藥的效果,選名患者服藥一段時(shí)間后,記錄了這些患者的生理指標(biāo)和的數(shù)據(jù),并統(tǒng)計(jì)得到如下的列聯(lián)表(不完整):合計(jì)合計(jì)在生理指標(biāo)的人中,設(shè)組為生理指標(biāo)的人,組為生理指標(biāo)的人,將他們服用這種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位:天)記錄如下:A組:10,11,12,13,14,15,16,17,19.B組:12,13,14,15,16,17,20,21,25.(1)填寫上表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為患者的兩項(xiàng)生理指標(biāo)x和y有關(guān)系;(2)從A,B兩組人中隨機(jī)各選人,A組選出的人記為甲,B組選出的人記為乙,求乙的康復(fù)時(shí)間比甲的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率.附:,其中.0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見(jiàn)解析,沒(méi)有;(2).【解析】【分析】(1)補(bǔ)全列聯(lián)表,然后計(jì)算進(jìn)行分析;(2)設(shè)甲的康復(fù)時(shí)間為,乙的康復(fù)時(shí)間為,用列舉法寫出求乙的康復(fù)時(shí)間比甲的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的情況,然后利用古典概率模型概率計(jì)算公式求解.【詳解】解:(1)填表如下:合計(jì)合計(jì)所以.故沒(méi)有的把握認(rèn)為患者的兩項(xiàng)生理指標(biāo)和有關(guān)系.(2)設(shè)集合.設(shè)甲康復(fù)時(shí)間為,乙的康復(fù)時(shí)間為,則選取病人的康復(fù)時(shí)間的基本事件空間為,共81個(gè)基本事件,其中的基本事件為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共27個(gè),從而.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)及古典概型的計(jì)算,難度一般.獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題只需準(zhǔn)確計(jì)算出的值,然后利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想進(jìn)行檢驗(yàn)即可;對(duì)于古典概型,分析清楚基本事件總數(shù)及某事件A成立時(shí)所包含的基本事件數(shù)是關(guān)鍵.20.在某公司舉行的年會(huì)中,為了表彰年度優(yōu)秀員工,該公司特意設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié),其規(guī)則如下:一個(gè)不透明的箱子中裝有形狀大小相同的兩個(gè)紅色和四個(gè)綠色的小球,從箱子中一次取出兩個(gè)小球,同色獎(jiǎng)勵(lì),不同色不獎(jiǎng)勵(lì),每名優(yōu)秀員工僅有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).若取出的兩個(gè)均為紅色,獎(jiǎng)勵(lì)2000元;若兩個(gè)均為綠色,獎(jiǎng)勵(lì)1000元(1)求優(yōu)秀員工小張獲得2000元的概率;(2)若一對(duì)夫妻均為年度優(yōu)秀員工,求這對(duì)夫妻獲得的獎(jiǎng)勵(lì)總金額的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1);(2)分布列見(jiàn)詳解,數(shù)學(xué)期望為元.【解析】【分析】(1)優(yōu)秀員工小張獲得2000元,說(shuō)明取出的都是紅色,簡(jiǎn)單計(jì)算即可.(2)列出的所有可能取值,并計(jì)算相應(yīng)的概率,然后列出分布列,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式計(jì)算即可.【詳解】(1)由題可知:優(yōu)秀員工小張獲得2000元的概率為(2)每名優(yōu)秀員工沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì)的概率為,每名優(yōu)秀員工獲得1000元獎(jiǎng)勵(lì)的概率為的所有可能取值為0,1000,2000,3000,4000,所以的分布列為01000200030004000數(shù)學(xué)期望為所以(元)【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望,關(guān)鍵在于審清題意,細(xì)心計(jì)算,考查閱讀理解能力以及分析能力,屬基礎(chǔ)題.21.設(shè)橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)作一條直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),分別過(guò)P,Q作直線l:的垂線,垂足依次為S,T.試問(wèn):直線與是否交于定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo),否則說(shuō)明理由.【答案】(1);(2)交于定點(diǎn),.【解析】【分析】(1)根據(jù)條件求出,即可寫出橢圓方程;(2)分軸時(shí)和不垂直于x軸時(shí)兩種情況討論,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理得出與的方程特點(diǎn),可以判斷.【詳解】解:(1)因?yàn)?,所以.又,所以.由,得.即.所以,從而橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)當(dāng)軸時(shí),不妨設(shè),直線的方程為,即,直線的方程為,即,直線與交于定點(diǎn).當(dāng)不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組得.設(shè),,因?yàn)?,所以直線為,令,得.因?yàn)?,所以直線與x軸的交點(diǎn)為.同理可得直線與x軸的交點(diǎn)也為,故與交于定點(diǎn).綜上所述,直線與交于定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系,考查橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題,屬于較難題.22.已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),設(shè),且

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