2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型13 統(tǒng)計(jì)概率（數(shù)學(xué)文化）（解析版）

2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文

化、新定義）專題13統(tǒng)計(jì)概率專題（數(shù)學(xué)

文化）

一、單選題

1.（2021春.河北滄州.高一統(tǒng)考期末）洛書古稱龜書，傳說有神魚出于洛水，其甲殼上有此圖案，由表示

1-9的圈點(diǎn)組成，數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四

隅黑點(diǎn)為陰數(shù)，即九宮圖，如圖，在5個陽數(shù)中隨機(jī)選取3個,則3個數(shù)的和為15的概率為（）

?

D.2^

2.（2022秋?全國?高三興國中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）我國古代學(xué)者余道安在他著的《海潮圖序》一書中說：“潮

之漲落，海非增減，蓋月之所臨，則之往從之”.哲學(xué)家王充在《論衡》中寫道：“濤之起也，隨月盛衰.“

指出了潮汐跟月亮有關(guān)系.到了17世紀(jì)80年代，英國科學(xué)家牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律之后，提出了潮汐

是由于月亮和太陽對海水的吸引力引起的假設(shè)，科學(xué)地解釋了產(chǎn)生潮汐的原因.船只在漲潮時駛進(jìn)航道，

靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋.下圖是某港口某天記錄的時刻（X軸）與水深（y軸）關(guān)系的散點(diǎn)

圖，若某貨船需要的安全水深為5米，則下列說法正確的是（）

A.該船在凌晨3點(diǎn)零6分駛?cè)牒降?，靠近碼頭，9點(diǎn)18分返回海洋或15點(diǎn)30分駛?cè)牒降?，靠近碼頭,

21點(diǎn)42分返回海洋

B.該船這一天能進(jìn)入航道，靠近碼頭的時間可以是0時到凌晨6點(diǎn)12分或12時24分到18點(diǎn)36分

C.海水漲落潮周期是12小時

D.該船最多在碼頭停留時間不能超過6小時

3.（2022.江西贛州.高三?？茧A段練習(xí)）2022年是香港回歸祖國25周年，香港是一座高度繁榮的國際大都

市，有著東方之珠的美譽(yù)，同時香港的區(qū)徽也帶上了香港特有的浪漫.香港特別行政區(qū)區(qū)徽，呈圓形，位于

徽面內(nèi)圓中央的動態(tài)紫荊花圖案為白色，由五片花瓣組成，每片花瓣中均有一顆紅色五角星及一條紅色花

蕊鑲在其間，香港特別行政區(qū)區(qū)徽代表祖國，白色紫荊花代表香港，紫荊花紅旗寓意香港是祖國不可分離

的一部分，并將在祖國懷抱中興旺發(fā)達(dá).花蕊上的五星象征香港同胞熱愛祖國，采用紅、白不同顏色，象征“一

國兩制其中紫荊花外輔助圓直徑為區(qū)徽直徑的］，現(xiàn)從區(qū)徽內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的

概率為（）

4.（2022春?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊101中學(xué)?？计谀└怕收撈鹪从?6-17世紀(jì)對賭博問題的研究,

概率的要義在17世紀(jì)中葉由法國數(shù)學(xué)家帕斯卡與費(fèi)馬的討論才明確.當(dāng)時有個叫梅羅騎士因賭注分配的問

題寫信求教于帕斯卡.背景：“甲乙兩人賭注共有144收金，賭局分為五局三勝制，誰先贏得3局，即可獲

得全部賭注，現(xiàn)已知在甲獲得2局勝乙獲得1局勝利時，因某種原因賭局被中止了，給甲乙倆人怎樣分配

賭注才合理"，已知甲乙每局獲勝的概率均為0.5,且每局輸贏相互獨(dú)立.你認(rèn)為乙應(yīng)該獲得多少妝金才合理

（）

A.24B.36C.48D.72

5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）PHss在分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學(xué)家西莫恩?德尼?泊

松首次提出，AiSSO”分布的概率分布列為P（X=K）=+e-"k=0,1,2,…），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，幾是

Poisson分布的均值.當(dāng)二項(xiàng)分布的n很大（〃220）而P很小（p≤0.05）時，Poisson分布可作為二項(xiàng)分布的近

似.假設(shè)每個大腸桿菌基因組含有IoOOO個核甘酸對，采用0.05J/〃/紫外線照射大腸桿菌時，每個核甘酸

對產(chǎn)生喀呢二體的概率均為0.0003,已知該菌株基因組有一個噓噬二體就致死，則致死率是（）

3333

A.l-e^B.e^C.l-3e-D.∣-4e-

6.（2022春.廣東茂名.高一統(tǒng)考期末）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，激發(fā)

青少年學(xué)生的愛國、愛黨熱情，引導(dǎo)青少年學(xué)生深入地了解黨的光輝歷史，加強(qiáng)愛國主義教育，甲、乙兩

所學(xué)校均計(jì)劃于2021年7月組織師生參加“觀看一部紅色電影”活動.據(jù)了解，《1921》、《革命者》、《紅船》、

《三灣改編》等多部電影將陸續(xù)上映.甲、乙兩校分別從這4部電影中任選一部電影觀看，則甲、乙兩校

選擇不同電影觀看的概率是（）

,4C5Clr3

A.-B.—C.—D.一

9944

7.（2022春?河南?高二統(tǒng)考期末）“霍姆斯馬車?yán)碚摗笔侵父鞣N資源都得到最合理配置和使用的一種理論.一

個富有效率的團(tuán)隊(duì)不需要每一個人都是最有能力的，而在于每個人的能力都能得到最合理的使用和發(fā)揮.某

科研團(tuán)隊(duì)共有10名研究人員，編號分別為1,2,…,9,10,要均分成甲、乙兩個科研小組，其中1,2號研究員組

合在一起，3,4號研究員組合在一起，其余研究員隨意搭配就能達(dá)到最佳效果，那么達(dá)到最佳效果的不同的

分組方式共有（）.

A.26種B.46種C.52種D.126種

8.（2022春?江西宜春?高二統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)史上記載了眾多科學(xué)家根據(jù)生活中的一些數(shù)學(xué)問題制作了許多

經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，如研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的“高爾頓釘板”模型.某游樂場根據(jù)“高爾頓釘板”模型，仿作了一款

如圖的游戲機(jī)，玩家投入一枚游戲幣后，機(jī)器從上方隨機(jī)放下一顆半徑適當(dāng)?shù)男∏?，假設(shè)小球從最上層3

個縫隙落下的概率都相等，小球第一次與第2層的一障礙物隨機(jī)（圖中圓點(diǎn)）碰撞且碰撞下落過程中等可

能地從左邊或右邊繼續(xù)下落，于是又碰到下一層的一障礙物，如此繼續(xù)下去，最后落入編號①，②，…,

⑧的槽內(nèi).設(shè)小球落入編號②的槽內(nèi)概率為《，落入編號⑥的槽內(nèi)概率為尸2,則（）

3②③④⑤⑥⑦?

A.P2=P1B.P2>PlC.P2<PlD.P1,烏大小關(guān)系不定

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾QFIOrenee

Nightingale1820-1910）設(shè)計(jì)的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了

近幾年中國知識付費(fèi)用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯誤

A.2015年至2022年，知識付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加

B.2016年至2022年，知識付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多

C.2022年知識付費(fèi)用戶數(shù)量超過2015年知識付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍

D.2016年至2022年，知識付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增

10.（2021秋?山東臨沂?高二統(tǒng)考開學(xué)考試）算盤是我國古代一項(xiàng)偉大的發(fā)明，是一類重要的計(jì)算工具.下圖

是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（簡稱上珠）

代表5,下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1,五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒

上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機(jī)撥動一粒珠子

至梁上，設(shè)事件A="表示的四位數(shù)含2個數(shù)字5"，則P（A）=（）

11.（2022?高二課時練習(xí)）由于用具簡單，趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動.某棋局的一部分

如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且"馬''和"炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一

格，從"兵''吃掉"馬"的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（）

A.IO條B.8條C.6條D.4條

12.（2022秋.山東濟(jì)寧.高二?？茧A段練習(xí)）據(jù)史書記載，古代的算籌是由--根根同樣長短和粗細(xì)的小棍制

成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千

十相望，萬百相當(dāng).即在算籌計(jì)數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫

式，以此類推.例如Jjl表示62,二T表示26,現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余

且個位不為0）,則這個兩位數(shù)大于30的概率為（）

≡IHinmiιιιιιτπιι

??it:——≡≡=1??=

123456789

A.-B.?-C.-D.-

3235

13.（2022秋.浙江?高二浙江省衢州第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）魔方又叫魯比克方塊（RubKsCiibe）,是由匈

牙利建筑學(xué)教授暨雕塑家魯比克?艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具，與華容道、獨(dú)立鉆石棋?起被國外

智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議.三階魔方可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的棱三

等分，然后沿等分線把正方體切開所得，現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱為中心方塊，2面有色的小

正方體稱為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱為邊角方塊，若從所有的小正方體中任取一個，恰好抽到中心

方塊的概率為（）

14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）“回文聯(lián)”是對聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀.比如，一副描繪廈門鼓浪

嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天.由此定義“回文數(shù)”，〃為自然數(shù)，且”的各位數(shù)字反

向排列所得自然數(shù)"'與"相等，這樣的"稱為“回文數(shù)”,如：1221,2413142.則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”

且各位數(shù)字不全相同的共有（）

A.648個B.720個C.810個D.891個

15.（2022春?江蘇揚(yáng)州?高二統(tǒng)考期末）托馬斯?貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率'’的問題中得到了

,這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理）,其中SZ（A）P（BIAJ

稱為8的全概率.假設(shè)甲袋中有3個白球和3個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球

放入乙袋，再從乙袋中任取2個球.己知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概

率為（）

A.?B.—C.3D.-

137585

16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）花窗是--種在窗洞中用鏤空圖案進(jìn)行裝飾的建筑結(jié)構(gòu)，這是中國古代建筑

中常見的美化形式，既具備實(shí)用功能，又帶有裝飾效果.如圖所示是一個花窗圖案，點(diǎn)E,F,G,，分別

為AB,BC,CD,OA上的三等分點(diǎn)；點(diǎn)P,M,N,。分別為EF,FG,GH,4E上的三等分點(diǎn)；同樣，點(diǎn)

Q,R,S,T分別為PM,MN,NO,OP上的三等分點(diǎn).若在大正方形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分

的概率為（）

?25125CloOc5

A.—dB.C.L).一

817297299

二、多選題

17.（2022.全國?高三專題練習(xí)）端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱

為中國四大傳統(tǒng)節(jié)日.扒龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國自古傳承，至今不輟.在一

個袋中裝有大小一樣的6個豆沙粽，4個咸肉粽，現(xiàn)從中任取4個粽子，設(shè)取出的4個粽子中咸肉粽的個數(shù)

為X,則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（X=2）=/B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布

IQ

C.隨機(jī)變量X服從超幾何分布D.P（1<X<4）=-

18?（2022?全國?高三專題練習(xí)）“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”構(gòu)型雜交水稻，成功研究出“兩

系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系.某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高（單

[（X-IOo尸

位：cm）服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)廠，x<γ,y>）,則（）

10√2π

A.該地雜交水稻的平均株高為IOOcm

B.該地雜交水稻株高的方差為10

C.該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80Cm以下的數(shù)量一樣多

D.隨機(jī)測量該地的一株雜交水稻，其株高在（80,90）和在（IOO,110）的概率一樣大

19.（2022秋?廣東廣州?高三廣州市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了解決傳統(tǒng)的3D人臉識別方法中存在的

問題，科學(xué)家提出了一種基于視頻分塊聚類的格拉斯曼流形自動識別系統(tǒng).規(guī)定：某區(qū)域內(nèi)的m個點(diǎn)

夕（X"M,zJ的深度Z,的均值為〃=-2z,?,標(biāo)準(zhǔn)偏差為Cr=J一允（z,,深度Zie[〃-3<T,〃+3b]的點(diǎn)視

m<=ιVwtf

為孤立點(diǎn).則根據(jù)下表中某區(qū)域內(nèi)8個點(diǎn)的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）

PiP?P?舄PsPl

xi15.115.215.315.415.515.415.413.4

15.114.214.314.414.515.414.415.4

yi

Zj2012131516141218

A.〃=16B.=-C.［不是孤立點(diǎn)D.6是孤立點(diǎn)

σ2

20.（2022?全國?高三專題練習(xí)）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，

這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.這是因?yàn)榘⒒椎抡J(rèn)為這個“圓柱容球''是他最為得意的發(fā)現(xiàn)，于是留下

遺言：他死后，墓碑上要刻上一個“圓柱容球''的幾何圖形.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m,圓柱的表面

積與球的表面積之比為〃，若〃力=（：/一￡|二則（）

A./（x）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是56

B./（x）的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為（）

C./（x）的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是70

D./（0=-16,其中i為虛數(shù)單位

21.（2022?高二課時練習(xí)）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)。力,根（〃?>0）

為整數(shù)，若。和6被"，除得的余數(shù)相同，則稱。和b對模也同余,記為“三伙mod⑼.若

22

a=C≡0+?×3+C?×3++C∞×3°,。三伏mod5）,則b的值可以是（）

A.2005B.2006C.2020D.2021

22.（2022?全國?高三專題練習(xí)）根據(jù)中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載，我國古代諸侯的等級自

低到高分為：男、子、伯、侯、公五個等級，現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)地全部分給5

位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級別每高一級就多分〃，處（機(jī)為正整數(shù)），按這種分法，下列結(jié)論正確

的是（）

A.為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是1

B.為“子''的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是!

C.為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1

D.為“公''的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是!

23.（2022秋?遼寧鐵嶺?高二昌圖縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解

九章算法》給出了著名的楊輝三角，在楊輝三角（左圖）中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的

和，第〃行所有數(shù)之和為2";右圖是英國生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的模型高爾頓板，在一塊木板上釘著若干排

相互平行且相互錯開的圓柱形釘子，釘子之間留有空隙作為通道，讓一個小球從高爾頓板上方的入口落下，

小球在下落的過程中與釘子碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉到下方的某一球槽內(nèi)，如圖，小球從

高爾頓板第1行的第一個縫隙落下的概率是g，第二個縫隙落下的概率是從第2行第一個縫隙落下的

概率是5，第二個縫腺落下的概率是:，第三個縫隙落下的概率是:，小球從第〃行第，"個縫隙落下的概

率可以由楊輝三角快速算出，那么小球從第6行某個縫隙落下的概率可能為（）

B.9

C.-D.-

163232

三、填空題

24.（2022秋?江西?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）中國的“五岳”是指在中國境內(nèi)的五座名山：東岳泰山、西岳華山、

南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，坐落于東、西、南、北、中五個方位.在甲決定從幽山、泰山、華山、

廬山、黃山這5座名山中，選擇2座名山在2022年國慶期間前去旅游，則甲至少選中一座屬于“五岳”的名

山的概率為（用數(shù)字作答）.

25.（2022?高一課時練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534

石.驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為石.（精確到整

數(shù)）

26.（2022?全國?高三專題練習(xí)）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列

的6個爻組成，爻分為陽爻"------”和陰爻“--------”，如圖就是一重卦.如果某重卦中恰有3個陰爻，則

該重卦可以有種.（用數(shù)字作答）

27.（2021秋?陜西榆林?高二?？茧A段練習(xí)）在信息論中，設(shè)某隨機(jī)事件發(fā)生的概率為P,稱log?,為該隨

P

機(jī)事件的自信息.若隨機(jī)拋一枚均勻的硬幣1次，則“正面朝上”這一事件的自信息為.

28.（2022?高二單元測試）公元前6世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道五種正多面體，即正四面體、正

六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.后來，柏拉圖學(xué)派的泰阿泰德（Theaetetus）證明出正多面

體總共只有上述五種.如圖就是五種正多面體的圖形.現(xiàn)有5張分別畫有上述五種多面體的不同卡片（除畫

有的圖形不同外沒有差別），若從這5張不同的卡片中任取2張，則沒有取到畫有“正四面體”卡片的概率為

Ili十二而體

29.（2022?全國?高三專題練習(xí)）太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對

統(tǒng)一的形式美.按照太極圖的構(gòu)圖方法，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，圓O被函數(shù)y=3singx的圖象

分割為兩個對稱的魚形圖案，其中小圓的半徑均為1,現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率

為________

30.（2021.高二課時練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳所著，該書主要記述了

積算（即籌算）、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計(jì)數(shù)14

種計(jì)算器械的使用方法，某研究性學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁、戊五人.該小組搜集兩儀、三才、五行、八

卦、九宮5種計(jì)算器械的資料.每人搜集一種，每種資料都要有人搜集，其中甲乙不搜集兩儀，丙丁不搜集

三才，戊不搜集八卦和九宮，則不同的分配方案的種數(shù)一.（用數(shù)字填寫答案）

31?（2021?全國?高三專題練習(xí)）明朝著名易學(xué)家來知德創(chuàng)立了以太極圖解釋一年、一日之象的圖式，一年

氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說明一年之氣象.他認(rèn)為“萬古之人事，一年之氣象也，春作夏長秋收冬藏，

一年不過如此下圖是來氏太極圖，其大圓半徑為6,大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為2,兩圓之間的圖案是對

稱的，若在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在空白區(qū)域的概率為.

32.（2021春?江蘇?高二專題練習(xí)）早在宋代，我國著名學(xué)者沈括編著的《夢溪筆談》中，就有對排列組合

問題的研究：在一個3x4的棋盤中，布局4顆相同的棋子，且每一行只有1顆棋子，則不同的棋局總數(shù)為

33.（2021春?黑龍江哈爾濱?高二哈九中?？茧A段練習(xí)）圣宋元寶，是中國古代錢幣之一，宋徽宗趙估建中

靖國元年（公元IOl年）始鑄，是仁宗“皇宋通寶”之后又一種不以年號命名的非年號錢，種類主要有小平和

折二兩種.小明同學(xué)珍藏有小平錢2枚，折二錢3枚，現(xiàn)隨機(jī)抽取2枚贈好友，則贈送的兩枚為不同種類

的概率為.

34.（2021秋?陜西榆林?高二陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）嫦娥五號的成功發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了中國航天史上的

五個“首次”，某中學(xué)為此舉行了“講好航天故事”演講比賽.若將報(bào)名的30位同學(xué)編號為01,02,30,利

用下面的隨機(jī)數(shù)表來決定他們的出場順序，選取方法是：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始，

由左到右依次選取兩個數(shù)字，重復(fù)的跳過.則選出來的第2個個體的編號為.

45673212123102010452152001125129

32049234493582003623486969387481

35.（2022秋?浙江?高二浙江省衢州第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一衰分

問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役二百五十人，

則北鄉(xiāng)遣人.

36.（2022春?江蘇揚(yáng)州?高二揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）考古發(fā)現(xiàn)，在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857,

因?yàn)?42857x2=285714,142857x3=428571..........所以這組數(shù)字又叫走馬燈數(shù).該組數(shù)字還有如下規(guī)律:

142+857=999,571+428=999,……若從1,4,2,8,5,7這6個數(shù)字中任意取出3個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)x,

則999-x的結(jié)果恰好是剩下3個數(shù)字構(gòu)成的一個三位數(shù)的概率為.

37.（2022?全國?高三專題練習(xí)）三分損益法是古代中國發(fā)明制定音律時所用的生律法.三分損益包含“三分損

一”“三分益一”兩層含義，三分損一是指將原有長度作3等分而減去其1份，即原有長度X?=生得長度;

而三分益一則是指將原有長度作3等分而增添其1份，即原有長度X管=生得長度，兩種方法可以交替運(yùn)

用、連續(xù)運(yùn)用，各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生,假設(shè)能發(fā)出第一個基準(zhǔn)音的樂器的長度為243,每次損益的概率為T,

則經(jīng)過5次三分損益得到的樂器的長度為128的概率為.

38.（2023?上海?高三專題練習(xí)）“田忌賽馬”的故事千古流傳，故事大意是：在古代齊國，馬匹按奔跑的速度

分為上、中、下三等.一天，齊王找田忌賽馬，兩人都從上、中、下三等馬中各派出一匹馬，每匹馬都各賽

一局，采取三局兩勝制.已知田忌每個等次的馬，比齊王同等次的馬慢，但比齊王較低等次的馬快.若田忌事

先打探到齊王第一場比賽會派出上等馬，田忌為使自己獲勝的概率最大，采取了相應(yīng)的策略，則其獲勝的

概率最大為.

39.(2022春?河南駐馬店?高二新蔡縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))數(shù)學(xué)家波利亞說：“為了得到一個方程,

我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關(guān)系''這就是算兩次原

理，又稱為富比尼原理.由等式(l+χ)"'(l+χ)"=(l+無嚴(yán)"利用算兩次原理可得

Ce+C+CC-2++=—.

40.(2022春.云南昭通.高二校聯(lián)考期末)二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩度克?牛頓于1664年、

1665年間提出，據(jù)考證，我國至遲在11世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲就已經(jīng)知道了二項(xiàng)式系數(shù)法則.在卜。11的

二項(xiàng)式展開式中，X的系數(shù)為.

四、解答題

41.(2022春?湖北十堰?高二丹江口市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))飛天夢永不失重，科學(xué)夢張力無限.“天宮課

堂”是我國推出的全球首個太空科普教育活動，2022年3月23日15時40分，“天宮課堂”第二課如約而至，

航天員王亞平在翟志剛、葉光富的協(xié)助下，成功演示了太空“冰雪”、液橋演示、水油分離、太空拋物等實(shí)驗(yàn)，

激發(fā)了青少年學(xué)生追夢航天的飛天夢、科學(xué)夢.受“天宮課堂”啟發(fā)，某學(xué)生分別在實(shí)驗(yàn)室的正常環(huán)境、失重

環(huán)境下進(jìn)行某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，其中正常環(huán)境下試驗(yàn)100次，成功40次；失重環(huán)境下試驗(yàn)10次，失敗3次.

(1)用頻率估計(jì)概率，求該同學(xué)在失重環(huán)境下實(shí)驗(yàn)成功的概率；

(2)請根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為該實(shí)驗(yàn)成敗與選擇的實(shí)驗(yàn)環(huán)境有關(guān).

成功次數(shù)失敗次數(shù)合計(jì)

正常環(huán)境

失重環(huán)境

合計(jì)

附：K?=S+處,5)A?C)(Hd)‘其中"=α+"c+d?

MKbE)0.100.050.0100.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

42.(2022?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測)籃球誕生美國馬薩諸塞州的春田學(xué)院.1891年，春田學(xué)院的體育教師

加拿大人詹姆斯奈史密斯博士(JamesNaismith)為了對付冬季寒冷的氣溫，讓學(xué)生們能夠在室內(nèi)有限的空

間里繼續(xù)進(jìn)行有趣的傳球訓(xùn)練.現(xiàn)有甲、乙、丙3名同學(xué)在某次傳球的訓(xùn)練中，球從甲開始，等可能地隨

機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，

假設(shè)傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲手里的概率為/，〃，第n次傳球之前球在乙手里的概率為

qn,顯然p∕=l,q∣=0.

(1)求囚+2卯的值；

(2)比較pg,俏的大小.

專題13統(tǒng)計(jì)概率專題(數(shù)學(xué)文化)

一、單選題

1.(2021春.河北滄州.高一統(tǒng)考期末)洛書古稱龜書，傳說有神魚出于洛水，其甲殼上有此圖案，由表示

1-9的圈點(diǎn)組成，數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四

隅黑點(diǎn)為陰數(shù)，即九宮圖，如圖，在5個陽數(shù)中隨機(jī)選取3個，則3個數(shù)的和為15的概率為()

洛書九宮

D.

2

【答案】A

【分析】先得到5個陽數(shù)中隨機(jī)選取3個所有基本事件的個數(shù)，然后得到所求事件包含基本事件個數(shù)，最

后根據(jù)古典概型概念計(jì)算即可.

【詳解】5個陽數(shù)為1,3,5,7,9,從5個數(shù)中隨機(jī)選取3個數(shù)，所有基本事件有:

(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),

(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9),共IO個,

事件”3個數(shù)的和為15”所包含的基本事件有(1,5,9),(3,5,7),共2個，

因此，所求概率尸=木2=：1

故選：A

2.(2022秋.全國.高三興國中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))我國古代學(xué)者余道安在他著的《海潮圖序》一書中說：“潮

之漲落，海非增減，蓋月之所臨，則之往從之哲學(xué)家王充在《論衡》中寫道：“濤之起也，隨月盛衰.”

指出了潮汐跟月亮有關(guān)系.到了17世紀(jì)80年代，英國科學(xué)家牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律之后，提出了潮汐

是由于月亮和太陽對海水的吸引力引起的假設(shè)，科學(xué)地解釋了產(chǎn)生潮汐的原因.船只在漲潮時駛進(jìn)航道，

靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋.下圖是某港口某天記錄的時刻（X軸）與水深（y軸）關(guān)系的散點(diǎn)

A.該船在凌晨3點(diǎn)零6分駛?cè)牒降?，靠近碼頭，9點(diǎn)18分返回海洋或15點(diǎn)30分駛?cè)牒降?，靠近碼頭，

21點(diǎn)42分返回海洋

B.該船這一天能進(jìn)入航道，靠近碼頭的時間可以是0時到凌晨6點(diǎn)12分或12時24分到18點(diǎn)36分

C.海水漲落潮周期是12小時

D.該船最多在碼頭停留時間不能超過6小時

【答案】B

［分析］根據(jù)散點(diǎn)圖分析各時刻水深判斷各選項(xiàng).

【詳解】由圖可知一天內(nèi)在凌晨到6點(diǎn)12分水深超過5米，在12點(diǎn)24分到18點(diǎn)36分水深超過5米，故

A錯誤，B正確；

漲落潮周期為12.4小時即12小時24分鐘，故C錯誤；

海水水深保持在5米以上的時間為3.1+3.1=6.2小時，故D錯誤.

故選：B.

3.（2022.江西贛州.高三校考階段練習(xí)）2022年是香港回歸祖國25周年，香港是一座高度繁榮的國際大都

市，有著東方之珠的美譽(yù)，同時香港的區(qū)徽也帶上了香港特有的浪漫.香港特別行政區(qū)區(qū)徽，呈圓形，位于

徽面內(nèi)圓中央的動態(tài)紫荊花圖案為白色，由五片花瓣組成，每片花瓣中均有一顆紅色五角星及一條紅色花

蕊鑲在其間，香港特別行政區(qū)區(qū)徽代表祖國，白色紫荊花代表香港，紫荊花紅旗寓意香港是祖國不可分離

的一部分，并將在祖國懷抱中興旺發(fā)達(dá).花蕊上的五星象征香港同胞熱愛祖國，采用紅、白不同顏色，象征“一

國兩制''.其中紫荊花外輔助圓直徑為區(qū)徽直徑的；3，現(xiàn)從區(qū)徽內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的

概率為（）

16

D.

25

【答案】C

【分析】根據(jù)幾何概型面積比公式計(jì)算.

3

【詳解】設(shè)區(qū)徽直徑為d,則紫荊花外輔助圓直徑為,

所以區(qū)徽的面積為=苧，

紫荊花外輔助圓的面積為=過，

UoJloo

9πd2

根據(jù)幾何概型的公式得該點(diǎn)取自紫荊花外輔助圓內(nèi)的概率為卑=?.

πa25

故選：C

4.（2022春.新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊101中學(xué)?？计谀└怕收撈鹪从?6-17世紀(jì)對賭博問題的研究，

概率的要義在17世紀(jì)中葉由法國數(shù)學(xué)家帕斯卡與費(fèi)馬的討論才明確.當(dāng)時有個叫梅羅騎士因賭注分配的問

題寫信求教于帕斯卡.背景：“甲乙兩人賭注共有144收金，賭局分為五局三勝制，誰先贏得3局，即可獲

得全部賭注，現(xiàn)已知在甲獲得2局勝乙獲得1局勝利時，因某種原因賭局被中止了，給甲乙倆人怎樣分配

賭注才合理“，己知甲乙每局獲勝的概率均為0.5,且每局輸贏相互獨(dú)立.你認(rèn)為乙應(yīng)該獲得多少妝金才合理

（）

A.24B.36C.48D.72

【答案】B

【分析】根據(jù)題意計(jì)算出乙勝出的概率，從而可求出乙應(yīng)該獲得的妝金.

【詳解】因?yàn)榧撰@得2局勝乙獲得1局勝利，

所以根據(jù)題意可知乙第四五局均勝，乙才能勝出，

因?yàn)榧滓颐烤肢@勝的概率均為0.5,

所以乙勝出的概率為:x；=；,

所以乙應(yīng)該獲得的妝金為：X144=36,

故選：B

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))Poisson分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學(xué)家西莫恩?德尼?泊

松首次提出，Poiss?！狈植嫉母怕史植剂袨镻(X=K)=2e-'(k=0,1,2,…)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，幾是

k!

Poisson分布的均值.當(dāng)二項(xiàng)分布的n很大(〃±20)而P很小(p≤0.05)時，Poisson分布可作為二項(xiàng)分布的近

似.假設(shè)每個大腸桿菌基因組含有IOoOO個核甘酸對，采用0.05J/,"2紫外線照射大腸桿菌時，每個核甘酸

對產(chǎn)生喀咤二體的概率均為0.0003,已知該菌株基因組有一個嗑咤二體就致死，則致死率是()

3333

A.l-e^B.e^C.l-3e^D.l-4e^

【答案】A

【分析】結(jié)合題意“=10000≥20,p=0.0003≤0.05,此時Poiss”分布滿足二項(xiàng)分布的近似條件，再計(jì)算

二項(xiàng)分布的均值為Poiss?！ǚ植嫉木?,再代入公式先求不致死的概率，再用對立事件的概率和為1計(jì)算

即可

【詳解】由題，W=IooOo≥20,P=0.0003≤0.05,此時R"ss。〃分布滿足二項(xiàng)分布的近似的條件，此時

λ=l(XXX)x0.0∞3=3,故不致死的概率為P(X=O)=-e-3=e-3,故致死的概率為I-P(X=O)=1—e'

故選：A

6.(2022春?廣東茂名?高一統(tǒng)考期末)2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，激發(fā)

青少年學(xué)生的愛國、愛黨熱情，引導(dǎo)青少年學(xué)生深入地了解黨的光輝歷史，加強(qiáng)愛國主義教育，甲、乙兩

所學(xué)校均計(jì)劃于2021年7月組織師生參加“觀看一部紅色電影”活動.據(jù)了解，《1921》、《革命者》、《紅船》、

《三灣改編》等多部電影將陸續(xù)上映.甲、乙兩校分別從這4部電影中任選一部電影觀看，則甲、乙兩校

選擇不同電影觀看的概率是()

4C5Clr3

Aa.-B.?~C.—D.一

9944

【答案】D

【分析】利用古典概型概率公式即得.

【詳解】分別用1,2,3,4表示《1921》、《革命者》、《紅船》、《三灣改編》，

由題可得基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共有16種，

其中甲、乙兩校選擇不同電影有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),

(4,2),(4,3),共有12種，

所以甲、乙兩校選擇不同電影觀看的概率是尸=912=；3.

164

故選：D.

7.(2022春?河南?高二統(tǒng)考期末)“霍姆斯馬車?yán)碚摗笔侵父鞣N資源都得到最合理配置和使用的一種理論.一

個富有效率的團(tuán)隊(duì)不需要每一個人都是最有能力的，而在于每個人的能力都能得到最合理的使用和發(fā)揮.某

科研團(tuán)隊(duì)共有10名研究人員，編號分別為1,2,…,9,10,要均分成甲、乙兩個科研小組，其中1,2號研究員組

合在一起，3,4號研究員組合在一起，其余研究員隨意搭配就能達(dá)到最佳效果，那么達(dá)到最佳效果的不同的

分組方式共有().

A.26種B.46種C.52種D.126種

【答案】C

【分析】將所有分組方式分成123,4號研究員在同一組和1,2號研究員在一組，3,4號研究院在另一組兩種

情況，由分類加法計(jì)數(shù)原理可加和得到結(jié)果.

【詳解】當(dāng)1,2,3,4號研究員在同一組時，有C；C=I2種情況；

當(dāng)1,2號研究員在?組，3,4號研究院在另一組時，有A；C：=40種情況：

綜上所述：不同的分組方式共有12+40=52種.

故選：C.

8.(2022春?江西宜春?高二統(tǒng)考期末)在數(shù)學(xué)史上記載了眾多科學(xué)家根據(jù)生活中的一些數(shù)學(xué)問題制作了許多

經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，如研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的“高爾頓釘板”模型.某游樂場根據(jù)“高爾頓釘板”模型，仿作了一款

如圖的游戲機(jī)，玩家投入一枚游戲幣后，機(jī)器從上方隨機(jī)放下一顆半徑適當(dāng)?shù)男∏?，假設(shè)小球從最上層3

個縫隙落下的概率都相等，小球第一次與第2層的一障礙物隨機(jī)(圖中圓點(diǎn))碰撞且碰撞下落過程中等可

能地從左邊或右邊繼續(xù)下落，于是又碰到下一層的一障礙物，如此繼續(xù)下去，最后落入編號①，②，…，

⑧的槽內(nèi).設(shè)小球落入編號②的槽內(nèi)概率為2,落入編號⑥的槽內(nèi)概率為鳥，則()

①②③④⑤⑥⑦⑥

A.P2=P1B.P1>P,C.P2<P,D.Pi,鳥大小關(guān)系不定

【答案】B

【分析】結(jié)合相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出由此得出正確答案.

【詳解】依題意：小球從最上層3個縫隙落下的概率都相等，

所以6>7

故選：B

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlOrenCe

Nightingale1820-1910）設(shè)計(jì)的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小.某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了

近幾年中國知識付費(fèi)用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯誤

的是（）

A.2015年至2022年，知識付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加

B.2016年至2022年，知識付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多

C.2022年知識付費(fèi)用戶數(shù)量超過2015年知識付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍

D.2016年至2022年，知識付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增

【答案】D

【分析】利用題中所給的南丁格爾玫瑰圖逐一考查所給選項(xiàng)，即可得解.

【詳解】對于A,由圖可知，2015年至2022年，知識付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加，故A正確；

對于BD,知識付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，0.96-0.48=0.48；

2017年，1.88-0.96=0.92；2018年，2.95-1.88=1.07；2019年，3.56-2.95=0.61；

2020年，4.15-3.56=0.59；2021年，4.77-4.15=0.62；2022年，5.27-4.77=0.5,

可知知識付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，故B正確，D錯誤；

對于C,由5.27>0.48x10,即2022年知識付費(fèi)用戶數(shù)量超過2015年知識付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍，故C正

確；

故選：D

10.（2021秋?山東臨沂?高二統(tǒng)考開學(xué)考試）算盤是我國古代一項(xiàng)偉大的發(fā)明，是一類重要的計(jì)算工具.下圖

是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（簡稱上珠）

代表5,下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1,五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒

上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機(jī)撥動一粒珠子

至梁上，設(shè)事件A=”表示的四位數(shù)含2個數(shù)字5"，則P（A）=（）

檔上珠

_f_~■IIIIII!■I1

梁-

框IiimiOOiii》下珠

1

A.一bcD.-

4?!?i8

【答案】C

【分析】由題意可知基本事件總數(shù)為24=16,然后列舉出四位數(shù)含2個數(shù)字5的情況，再利用古典概型的

概率公式求解即可.

【詳解】現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機(jī)撥動一粒珠子至梁上，每個珠子有兩種情況：1和5,

所以共有2-=16種情況，

其中四位數(shù)含2個數(shù)字5的有：1155,1515,1551,5511,5115,5151,共6種，

所以P（A）=U，

Io0

故選：C

11.（2022?高二課時練習(xí)）由于用具簡單，趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動.某棋局的一部分

如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和"炮"不動，"兵'’只能往前走或左右走，每次只能走一

格，從"兵''吃掉"馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（）

A.10條B.8條C.6條D.4條

【答案】C

【分析】將路線分為兩步，首先確定從“兵”到“炮”的最短路線走法；再確定從“炮”到“馬”的最短路線走法,

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知："兵”吃掉”馬"的最短路線，需橫走三步，豎走兩步；

其中能順帶吃掉“炮”的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有C；=3種走法；第二步，橫走一

步，豎走一步，有C；=2種走法.

能順帶吃掉“炮”的可能路線共有3x2=6（條）.

故選：C.

12.（2022秋?山東濟(jì)寧?高二?？茧A段練習(xí)）據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍制

成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千

十相望，萬百相當(dāng),即在算籌計(jì)數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫

式，以此類推.例如JJl表示62,二T表示26,現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余

且個位不為0）,則這個兩位數(shù)大于30的概率為（）

≡ιHinmiIlinπιι

1

橫式:一=≡≡≡..—JIL.??——?—

123456789

1I23

A.-B.?C.-D.-

3235

【答案】C

【分析】根據(jù)5根算籌，分為四類情況：4+1,3+2,2+3,1+4,逐一分類求解滿足要求的兩位數(shù)，即可求解概

率.

【詳解】根據(jù)題意可知：一共5根算籌，十位和個位上可用的算籌可以分為4+1,3+2,2+3,1+4一共四類情

況；

第一類：4+1,即十位用4根算籌，個位用I根算籌，那十位可能是4或者8,個位為I,則兩位數(shù)為41

或者81；

第二類：3+2,即十位用3根算籌，個位用2根算籌，那十位可能是3或者7,個位可能為2或者6,故兩

位數(shù)可能32,36,72,76；

第三類：2+3,即H立用2根算籌，個位用3